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Analysis » Funktionalanalysis » Existenz eines Funktionals
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Universität/Hochschule J Existenz eines Funktionals
Chaser01
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Dabei seit: 22.05.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-23

\(\begingroup\)
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
Sei X ein Banachraum und seien \( x_1, ..., x_n \in X\) und \(c_1, ... c_n \in \mathbb{R}\)
Zeige, dass genau dann ein lineares Funktional f mit der Norm kleiner gleich 1 und \(f(x_i) = c_i, i = 1 , ..., n\) existiert, wenn für alle \(λ_1 , ..., λ_n \in \mathbb{R}\) gilt:
\[|λ_1 c_1 + ... + λ_n c_n | \leq || λ_1 x_1 + ... + λ_n x_n || \] Die Hinrichtung ist klar.
Für die Rückrichtung wollte ich zunächst ein \(f_0\) auf der linearen Hülle der \(x_k\) definieren, zeigen dass die gewünschten Eigenschaften dafür gelten und es dann mithilfe des Satzes von Hahn-Banach auf X fortsetzen.
Dafür habe ich die ersten \(x_k\) mit \(1 \leq k \leq m \leq n\) ausgewählt, sodass sie eine Basis dieses Teilraums bilden. Dies kann o.B.d.A. getan werden, sonst sollen sie einfach umnummeriert werden, sodass dies der Fall ist.
Das ist dann ein endlichdimensionaler Raum mit einer Basis und so definiere \(f_0\) auf der Basis duch \(f_0 (x_k) = c_k, 1 \leq k \leq m\). Dann ist \(f_0\) wohldefiniert und linear und es muss nur noch gezeigt werden, dass \(f_0\) auch stetig ist und \(f_0(x_k) = c_k, m+1 \leq k \leq n\).
Ist der Körper des Vektorraumes \(\mathbb{R}\), so konnte ich dies auch mithilfe des Voraussetzung zeigen.
Im Fall des Körpers \(\mathbb{C}\) habe ich damit aber ein Problem, hat hier jemand einen Tipp für mich? Oder muss man das hier ganz anders machen?
Außerdem habe ich die Voraussetzung, dass X ein Banachraum ist, nicht gebraucht. Oder habe ich da etwas übersehen?
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-23

\(\begingroup\)
$f_0$ ist eine lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen reellen/komplexen Vektorräumen und daher stetig. Das ist allgemein so. Du musst aber die Voraussetzung anwenden, um $\lVert f_0 \rVert \leq 1$ zu zeigen.

Zur letzten Frage: Wenn die Aussage für Banachräume gilt, dann auch für normierte Räume. (Tipp: Betrachte die Vervollständigung.) Es macht also sowieso keinen Unterschied.
\(\endgroup\)


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Chaser01
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Aus: Bi
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-23

\(\begingroup\)
Mein Problem liegt gerade darin, dass in der Voraussetzung die \(\lambda_i\) nur reell sein dürfen und im komplexen Fall die Koeffizienten auch komplex sein können. Hilft es hier Real- und Imaginärteil zu betrachten?
Im reellen Fall konnte ich das bereits abschätzen, ich habe lediglich das Problem mit den komplexen Koeffizienten.

Zum Banachraum: Ist X lediglich ein normierter Raum und Y seine Vervollständigung, dann kann eine solches Funktional \(f\) in Y gefunden werden, für das das gilt und \(f_{|X}\) ergibt dann das gesuchte Funktional in X. Damit kann die Aufgabe also auch allgemein für normierte Räume formuliert werden.
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-23

\(\begingroup\)
Vermutlich hat der Aufgabensteller sich da einfach nur vertippt, es ist $c_i \in \IK$ und $\lambda_i \in \IK$ gemeint.

Oder, es war vorneherein $\IK=\IR$ gemeint.
\(\endgroup\)


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Chaser01
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-23


Das löst mein Problem, vielen Dank für deine Hilfe!



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