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Analysis » Folgen und Reihen » Absolute Konvergenz beim Matrixexponential
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Universität/Hochschule Absolute Konvergenz beim Matrixexponential
grezebeze
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.06.2015
Mitteilungen: 110
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-25

\(\begingroup\)
Hallo zusammen,

Ich möchte zeigen, dass $\displaystyle exp(X)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{X^m}{m!} $ für alle $X\in Mat(n,\mathbb{K})$ absolut konvergiert.

Dazu benutze ich die Hilbert-Schmidt Norm, also $\displaystyle \Vert X\Vert=\left(\sum_{j,k=1}^n \vert X_{jk}\vert^2\right)^{\frac{1}{2}}$
Hier gilt die Dreiecksungleichung $\Vert X+Y\Vert\leq \Vert X\Vert+\Vert Y\Vert$ und die Submultiplikativität $\Vert XY\Vert \leq \Vert X\Vert\Vert Y\Vert $
Nun zu dem Beweis der absoluten Konvergenz:
Submultiplikativität verallgemeinert: $\Vert X^m\Vert \leq \Vert X\Vert^m,m>1$. Nun folgt mit einer Indexverschiebung und der Submult. folgende Ungleichung
\begin{center}
$\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}\left\Vert \frac{X^m}{m!}\right\Vert\leq \Vert E\Vert + \sum_{m=1}^{\infty}\frac{\Vert X\Vert^m}{m!}< \infty $
\end{center}
Folglich ist die Reihe absolut konvergent.
Nun finde ich allerdings keine Begründung, warum die letzte Ungleichung, also $...<\infty$ gilt. Kann mir dazu jemand einen Denkimpuls verschaffen?

Mfg
grezebeze
\(\endgroup\)


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MeWi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.03.2011
Mitteilungen: 600
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-25


Entweder erkennst du die skalarwertige Exponentialfunktion und weißt, dass die entsprechende Reihe absolut konvergiert, oder du rechnest es mit dem Quotientenkriterium schnell noch einmal nach.



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