Die Mathe-Redaktion - 17.11.2018 00:05 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt6 im Schwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 421 Gäste und 18 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » |a-b| * |c| ≤ |b-c|*|a| + |c-a|*|b|
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J |a-b| * |c| ≤ |b-c|*|a| + |c-a|*|b|
mischka
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 31.10.2012
Mitteilungen: 95
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-25

\(\begingroup\)
Hallo, ich soll folgendes in euklidischen Vektorräumen beweisen und habe keinen Ansatz und keine Ahnung:

\(
|a-b|\cdot |c| \leq |b-c|\cdot |a|+|c-a|\cdot |b|
\)

Kann mir bitte jemand einen Ansatz geben?
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ingway
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.10.2014
Mitteilungen: 21
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-26


Hi,

du musst die Dreiecksungleichung benutzen.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3648
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-05-26

\(\begingroup\)
Die Dreiecksungleichung kann man zunächst einmal nur nutzen, wenn $|c| \leq |a|$ und $|c| \leq |b|$. Für den allgemeinen Fall muss man sich noch etwas anderes überlegen.

Zu beachten ist, dass man hier nicht $|a| \cdot |b|$ zu $|a \cdot b|$ vereinfachen kann, zumal $a \cdot b$ nicht einmal wohldefiniert ist. Beziehungsweise, sofern es das Skalarprodukt bezeichnen soll, gilt lediglich $|a \cdot b| \leq |a| \cdot |b|$ (Cauchy-Schwarz).
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mischka
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 31.10.2012
Mitteilungen: 95
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26

\(\begingroup\)
Also mit Cauchy-Schwarz habe ich es auch versucht, aber irgendwie bin ich nicht zum Ziel gekommen. Folgendes habe ich versucht:

Ich beweise indirekt, und gehe vom Gegenteil aus:

\(|a-b|\cdot |c| > |b-c|\cdot |a| + |c-a|\cdot |b| \geq (CSU) \left< b-c,a\right> + \left< c-a, b\right> = \left< a,b\right> -\left< c,a\right> + \left< b,c\right> - \left< a,b\right> = \left< b,c\right> - \left< c,a\right> \)

Das hat mir nichts eingebracht, weil ich das nicht mehr ad absurdum führen kann, da ich sogar ein Beispiel gefunden habe, sodass das erfüllt ist (der letzte Teil und das macht das Führen ad absurdum unmöglich), und zwar: \( a=\begin{pmatrix}2\\ 0\end{pmatrix}, b= \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}, c=\begin{pmatrix}0\\ 10\end{pmatrix}\)
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kurtg
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1180
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-05-26


Hi,

nur so eine Idee: Hast du mal die Ausgangsgleichung quadriert und dann alle Normen durch Skalarprodukte ersetzt, die du anschließend vereinfacht hast.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mischka
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 31.10.2012
Mitteilungen: 95
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26


Das habe ich versucht, aber zum Ziel hat es mich nicht gebracht.

Mit viel Mühe habe ich sogar irgendwelche Winkel rein gebracht, aber zum Ziel hat's mich nicht geführt.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
kurtg
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1180
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-05-26

\(\begingroup\)
Im Prinzip kannst du dich ja auf den $\mathbb{R}^3$ zurückziehen und dann in Koordinaten rechnen.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mischka
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 31.10.2012
Mitteilungen: 95
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26

\(\begingroup\)
Nicht wirklich, es geht um den \(\mathbb{R}^n\), und Skalarprodukt muss nicht unbedingt das Standardskalarprodukt sein. Eine Formmatrix eines alternativen Skalarproduktes war z.B. \(\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & k\end{pmatrix}\) mit \(k\in\mathbb{Z}\).

Die offizielle Definition aus der Vorlesung:
Definition: Ein euklidischer Vektorraum ist ein reeller Vektorraum V zusamen mit einem Skalarprodukt (d.h. einer symmetrischen, positiv definiten Bilinearform) F auf V.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
dromedar
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5123
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-05-26

\(\begingroup\)
2018-05-26 16:54 - mischka in Beitrag No. 7 schreibt:
Nicht wirklich, es geht um den \(\mathbb{R}^n\), und Skalarprodukt muss nicht unbedingt das Standardskalarprodukt sein.

Die drei Vektoren $a$, $b$ und $c$ spannen im ${\Bbb R}^n$ einen höchstens dreidimensionalen Unterraum auf, und in dem kann man eine Orthonormalbasis bezüglich des gegebenen Skalarprodukts betrachten. Dann sieht alles aus wie im ${\Bbb R}^3$ mit Standard-Skalarprodukt.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45664
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-05-26

\(\begingroup\)
2018-05-26 16:06 - kurtg in Beitrag No. 6 schreibt:
Im Prinzip kannst du dich ja auf den $\mathbb{R}^3$ zurückziehen ...
Hi kurtg,
das stimmt. Die Vektoren a,b,c spannen einen dreidimensionalen Unterraum auf, in dem alle betrachteten Vektoren liegen.
Ich habe noch eine vielleicht nützliche Feststellung gemacht.
Für ein Sehnenviereck mit den Seiten a,b,c,d und den Diagonalen e und f gilt der Satz des Ptolemäus: ac + bd = ef.
Daraus folgt:
Wenn die Punkte 0,a,b,c die Ecken eines Sehnenvierecks sind, dann gilt die behauptete Ungleichung mit Gleichheit.
Beim Beweis von Ungleichungen kann es nützlich sein, die Grenzfälle zu kennen, in denen die Ungleichung in eine Gleichheit übergeht.
Gruß Buri


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8307
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-05-26


Ich finde es interessant, wie viele gute Mathematiker sich an einer Aufgabe für Lina 2 für Lehramt die Zähne ausbeißen.

Wally



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45664
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-05-26


2018-05-26 17:32 - Wally in Beitrag No. 10 schreibt:
... die Zähne ausbeißen.
Hi Wally,
dann muss es einen Trick geben, den ich nicht sehe. Möchtest du uns einen Ansatz verraten?
Gruß Buri



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3648
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-05-26

\(\begingroup\)
Eine äquivalente Formulierung (man ersetze jede Variable $x$ durch $x-d$) ist:

$|a-b| \cdot |c-d| \leq |b-c| \cdot |a-d| + |c-a| \cdot |b-d|.$
 
Das ist die Ptolemäische Ungleichung (Ptolemy's inequality $\rightarrow$ google-Suche). Sie gilt also in jedem Viereck, und wie Buri sagte, gilt hier Gleichheit für Sehnenvierecke (Satz von Ptolemäus).

Eine Liste von Beweisen gibt es z.B. hier. Auch wenn sich diese auf $\IR^2$ bzw. $\IR^3$ beziehen, lassen sich einige (vielleicht sogar alle) davon auf euklidische Vektorräume übertragen, und außerdem wurde bereits begründet, warum $\IR^3$ ohnehin ausreicht. Der vermutlich kürzeste Beweis (aus Werner Greubs Linear Algebra):




Interessant ist, dass ein normierter Raum genau dann die Ptolemäische Ungleichung erfüllt, wenn er ein euklidischer Vektorraum ist. Andererseits gilt die Ptolemäische Ungleichung auch in jedem CAT(0)-Raum.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mischka
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 31.10.2012
Mitteilungen: 95
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-27


@Triceratops: Danke für den Beweis. Da wäre ich im Leben nicht drauf gekommen. VIELEN DANK!



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mischka hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]