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Analysis » Topologie » z.z. Verschiedene Implikationen zu Häufungspunkten einer Menge
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Universität/Hochschule J z.z. Verschiedene Implikationen zu Häufungspunkten einer Menge
Physics
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 66
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-26 16:25

\(\begingroup\)
Hallo Zusammen,

\(\textbf{Aufgabe 1}\)
Für eine Teilmenge D von ℝ oder ℂ ist äquivalent:
(1) x0 ist Häufungspunkt von D
(2) ∀ϵ >0:∃x∈D∖{x0}:| x−x0| <ϵ
(3) ∀ϵ >0 existieren unendlich viele x∈D mit 0<| x−x0| <ϵ
Auftrag:
a) Es sind verschiedene Implikationen zu zeigen. Identifizieren sie einfache und schwierige.
Beweisen Sie die einfachen. (4 Punkte)
b) Beweisen Sie den „harten“ Rest. (4 Punkte)
--------------------------------------

\(\textbf{Mein Ansatz zu a)}\)
Bin mir hierbei nicht ganz sicher was genau gefragt ist: (1), (2) u. (3) sind nach Angabe ja äquivalente Aussagen. Ich habe mir also überlegt wieso ich diese Aussagen treffen kann, bzw. worauf diese beruhen.

\(\textbf{zu (2)}\)Die Annahme hier, dass für beliebiges \(\epsilon\) gewährleistet ist, dass man ein \(x\in D\) findet so dass \(\vert x-x_0 \vert < \epsilon\) ist ja nur gewährleistet dadurch, dass \(\IR\) ein archimedisch angeordneter Körper ist und es deshalb immer ein \(N\in\IN\) gibt, so dass für \(x>0\land y>0: N*x>y\)
(\(\IR\) arch. angeordnet \(\quad\land\quad D\in\IR\quad\land\quad x_0\) ist Häufungspunkt von D) \(=>\) (2)

\(\textbf{zu (3)}\)Wir wissen dass \(\mathbb{Q}\) dicht in \(\mathbb{R}\) ist. Dass also gilt:
\(\forall a,b \in \IR: a<b => \exists q\in \IQ:a<q<b\)
Mein Gedanke war, dass nur unendlich viele Glieder in einer beliebigen Umgebung liegen können, wenn dies erfüllt ist. Da wir wissen, dass \(D\in\IR\) habe ich mir überlegt:
(\(\IQ\) dicht \(\quad\land\quad D\in\IR\quad\land\quad x_0\)  ist Häufungspunkt von D)  \(=>\) (3)

Bin vermutlich total auf dem Holzweg, deswegen hoffe ich, dass ihr mir da weiterhelfen könnt!

VG,
Physics


\(\endgroup\)


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Buri
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Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45528
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-26 18:26


Hi Physics,
die Äquivalenz (1) ⇔ (2) gilt nach Definition, es ist also nichts zu beweisen. Vom Rest ist (3) ⇒ (2) der leichte Teil.
Gruß Buri



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Physics
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Dabei seit: 29.04.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26 22:18

\(\begingroup\)
Hi Buri,

danke für deine Antwort.
D.h. insgesamt habe ich folgende Implikationen zu beweisen:
(1)=>(3) (schwer)
(2)=>(3) (schwer)
(3)=>(1) (einfach)
(3)=>(2) (einfach)

Kann ich mir hier eigentlich folgende Implikationen sparen:
(2)=>(3) und (3)=>(2)

Denn durch die Äquivalenz von (1)&(2) reicht es doch wenn ich beweise:
(1)=>(3) und (3)=>(1)

Und noch kurz zum Beweis an sich:
Für  (1)=>(3) würde ich erstmal die Äquivalenz  (1)<=>(2) anwenden und dann argumentieren, dass \(\IQ\) dicht ist; wenn \(0 < |x_n-x_0| < \epsilon\) , dann sicherlich auch \(0 <|x_n-x_0|< q_1 < q_2 <... q_n < \epsilon\)
Für (3)=>(1) muss man ja nur sagen, dass wenn unendlich viele Zahlen existieren, die \(0 <|x_n-x_0|< q_1 < q_2 <... q_n < \epsilon\) erfüllen, dann wähle ich mir eben ein bestimmtes \(q_n\) heraus.
\(\endgroup\)


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Physics
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Dabei seit: 29.04.2018
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-28 00:06


Abend!
Hat Jemand noch Anregungen ? Hilfe wird dringend benötigt :-)



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Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-30 23:25


Da ich ungern ein neues Thema aufmachen mag, frag ich nochmal hier nach, ob Jemand über meinen vorletzten Beitrag schauen und mir sagen könnte, ob das so in Ordnung oder vollkommen falsch ist :-)

VG,
Physics



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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-30 23:53


2018-05-30 23:25 - Physics in Beitrag No. 4 schreibt:
Da ich ungern ein neues Thema aufmachen mag, frag ich nochmal hier nach, ob Jemand über meinen vorletzten Beitrag schauen und mir sagen könnte, ob das so in Ordnung oder vollkommen falsch ist smile

Tut mir leid, dir das sagen zu müssen, aber was du da geschrieben hast, ist leider kompletter Nonsense.

Überlege dir zunächst, wie ein Häufungspunkt definiert ist, und wieso dann vielleicht die Äquivalenz (1) <=> (2) "leicht" ist.

Überlege dir dann, wieso die Implikation (3) => (2) trivial ist.

Überlege dir dann, wieso das, was du in #2 zu (1) => (3) und (3) => (1) geschrieben hast, völlig sinnfrei ist.  frown

Grüße
StrgAltEntf



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Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-31 00:55

\(\begingroup\)
Hallo StrgAltEntf,

danke für deine Rückmeldung! Dass das Unfug ist, dachte ich mir fast.

(1)=>(2):
Also laut Skript haben für für einen Häufungspunkt folgende Definition:
Eine reelle Zahl \(x_0\) heisst Häufungspunkt der Menge \(D\subset\IR\quad\) falls es in \(D\setminus(x_0)\quad\) eine gegen \(x_0\)  konvergente Folge gibt: \(\exists (x_n)
:(\forall n: x_n \in D\setminus (x_0)\land  \lim\limits_{n \to \infty}x_n=x_0)\)

Mit dem Epsilon-N-Kriterium erhalte ich:
\(\forall \epsilon > 0 \exists N\in\IN\forall n\geq N: \vert x_n-x_0 \vert  < \epsilon\)

Nach der Definition oben gilt: \(\forall n: x_n \in D\setminus (x_0)\quad\quad\) Also auch \(x_N \in D\). Damit folgt nach dem Epsilon Kriterium:
\(\forall \epsilon > 0 \exists x_N\in D\setminus(x_0)\forall x_n\geq x_N: \vert x_n-x_0 \vert  < \epsilon\quad\quad\)
Vereinfacht folgt dann:
\(\forall \epsilon > 0 \exists x\in D\setminus (x_0): \vert x_n-x_0 \vert  < \epsilon\)

Die Implikation  (3)=>(2) ist trivial, weil wenn unendlich viele \(x\in D\quad\) in einer beliebigen Epsilonumgebung liegen, dann doch auf jeden Fall ein einziges \(x\in D\quad\)

Ist das soweit in Ordnung?

\(\endgroup\)


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Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-31 13:46

\(\begingroup\)
Ansatz zu (2)=>(3)
Einen Anstoss  gibt es laut Aufgabenstellung:

Man soll eine Folge konstruieren, so dass die Folgenglieder in immer kleineren Epsilon-Umgebungen liegen. Angenommen ich habe bereits \(x_n\) gewählt, dann setze ich \(\epsilon_n = min(\vert x_n-x_o \vert, \frac{\epsilon_{n-1}}{2})\quad\quad\quad\) und wähle \(x_{n+1}\in D\setminus (x_0)\quad\quad\) mit  \(\vert x_{n+1}-x_0 \vert < \epsilon_n\)
Nach  (2) gilt: \(\forall\epsilon >0 \exists x\in D\setminus (x_0): \vert x-x_0 \vert < \epsilon\)
Nun wähle ich ein \(x_n\) so dass: \(\vert x_n-x_0 \vert < \epsilon\)
Dies kann ich machen da  nach (2) ja mindestens ein solches \(x\) existiert.
Nun wende ich den Anstoss an und wähle mein \(x_{n+1}\) so dass dieses Folgenglied erfüllt: \(\vert x_{n+1} - x_0 \vert < \epsilon_n\)
Auch dieser Schritt folgt wieder aus (2). Nun wende ich dieses Verfahren ad infinitum an und kann dadurch immer wieder ein neues \(x\) finden, da dies ja direkt aus (2) für beliebige Epsilon-Umgebung folgt.

Wäre der Beweis damit erbracht? Bitte gerne eure Meinung schreiben. Ich kann mit Kritik gut leben :)

VG,
Physics
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-05-31 16:56

\(\begingroup\)
2018-05-31 00:55 - Physics in Beitrag No. 6 schreibt:
Vereinfacht folgt dann:
\(\forall \epsilon > 0 \exists x\in D\setminus (x_0): \vert x_n-x_0 \vert  < \epsilon\)

Die Implikation  (3)=>(2) ist trivial, weil wenn unendlich viele \(x\in D\quad\) in einer beliebigen Epsilonumgebung liegen, dann doch auf jeden Fall ein einziges \(x\in D\quad\)

Ist das soweit in Ordnung?

Den Index n solltest du weglassen. Aber sonst ist das soweit in Ordnung.
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-05-31 17:08

\(\begingroup\)
2018-05-31 13:46 - Physics in Beitrag No. 7 schreibt:
Ansatz zu (2)=>(3)

Deine Idee scheint richtig zu sein. Nur noch nicht schön aufgeschrieben.

Sei \(\epsilon>0\). Du musst unendlich viele \(x\in D\) in der \(\epsilon\)-Umgebung von \(x_0\) finden.

Setze dann \(\epsilon_0=\epsilon\) und \(\epsilon_n\) für n>1, wie du es getan hast. Du könntest auch \(\epsilon_n=|x_n-x_0|\) nehmen. Das liefert die Folge \((x_n)_{n\geq1}\) in D, wobei \(x_{n+1}\) für \(n\geq0\) in der \(\epsilon_n\)-Umgebung von \(x_0\) und damit auch in der \(\epsilon\)-Umgebung von \(x_0\) liegt.

Außerdem sind die \(x_n\) paarweise verschieden.
\(\endgroup\)


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Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-31 21:29

\(\begingroup\)
Hallo StrgAltEntf,

danke für deine Rückmeldung. Dann werde ich das soweit integrieren.
Nun habe ich ja - mit deiner Korrektur - (1)=>(2)=>(3) gezeigt. Dementsprechend ist ja auch (1)=>(3) bewiesen oder?
Was mir noch nicht ganz klar ist, ist wie ich (2)=>(1) zeigen soll.

Ansatz für (2)=>(1)
Nach (2) gilt: \(\forall \epsilon > 0 \exists x\in D\setminus (x_0): \vert x-x_0 \vert < \epsilon \)
Es existiert also eine Folge, deren Grenzwert \(x_0\) ist. Weiterhin gibt es \(\forall \epsilon > 0\) mindestens ein \(x\in D\), welches die Ungleichung: \(\vert x-x_0 \vert < \epsilon\) erfüllt.
Nun muss eine Folge gefunden werden, so dass in jeder Epsilonumgebung mindestens ein Folgenglied liegt und darüber hinaus gilt: \(\forall n: x_n\in D\setminus (x_0)\)
Sei \(\epsilon > 0\) beliebig. Setze \(\epsilon_0 = \epsilon\) und \(\epsilon_n=min(\vert x_n-x_0 \vert, \frac{\epsilon_{n-1}}{2})\) für n>1. Das liefert die Folge \((x_n)_{n\geq1}\).
Für das erste Folgenglied gilt: \(\vert x_1-x_0 \vert < \epsilon_0\), damit ist \(x_1\in D\). Für alle weiteren Folgenglieder \(x_{n+1}\) für \(n>0\) gilt: \(\vert x_{n+1} - x_0 \vert < \epsilon_n\) und damit gilt auch: \(\forall n>0: x_{n+1} \in D\setminus (x_0)\). Damit habe ich eine Folge gefunden, die gegen \(x_0\) konvergiert und deren Glieder alle in \(D\) liegen.

(Wenn ich den Beweisschritt so anschaue würde ich fast sagen, dass (2)=>(1) eher in die Kategorie "schwer" fällt oder? Damit hätte ich dann in der Kategorie schwer: (2)=>(3), (3)=>(2), (3)=>(1))

Mit dem obigen Beweis folgt doch dann auch:  (3)=>(2)=>(1) (sofern korrekt). Damit folgt also auch dass (3)=>(1)  bewiesen wurde.

Also wurde bewiesen:
(1)=>(2)=>(3)=>(2)=>(1)

Gerne würde ich nochmal dein Feedback dazu hören. Die Aufgabe dürfte damit gelöst sein oder?

VG,
Physics
\(\endgroup\)


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