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Universität/Hochschule J aperiodic
Lenard92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-05-26

\(\begingroup\)
Guten Tag,

kann mir bitte mal jemand erklären was man unter einem aperiodischen System versteht. Ein Periodisches System \(f(x)\) mit Periode T erfüllt offensichtlich
\[f(x+T)=f(x)\]
Bedeutet jetzt aperiodisch dass ein solches einzelnes T nicht existiert, aber es irgendwie trz periodisch ist  biggrin ? Falls wie definiert man dieses fast periodisch?
\(\endgroup\)


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Berufspenner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-05-26 22:10


Moin

In welchem Kontext bist du denn auf diesen Begriff gestoßen? Meinem Wissen nach gibt es weder periodische noch aperiodische Systeme sondern nur Signale.


-----------------
Grenzen sind zum Überwinden da



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-05-26 22:23


Hallo Lenard92,
meinst Du aperiodische (= nicht periodische) oder
fastperiodische Funktionen?

Servus,
Roland




[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-05-26 22:26


Ich kenne diese Begriffe nur im Zusammenhang mit Kachelungen. smile



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Lenard92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-26 22:34

\(\begingroup\)
In meinem Grundkurs zur nicht linearen Dynamik, haben wir eindimensionale Maps/Abbildungen behandelt. Dabei Handelt es sich um Systeme die diskret in der Zeit sind und in der Form
\[x_{n+1}=f(x_n)\] gegeben sind.

Bei der Behandlung von der logistischen Gleichung, ist dann der Begriff von aperiodischen Orbits gefallen.

Ein Periodischer Orbit mit Periode T, bedeutet

\[x_0,x_1,\dots,x_T, x_0,x_1,\dots\]
Jetzt frage ich mich, was ein aperiodscher Orbit bedeuten soll

Gruß
Lenard

\(\endgroup\)


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holsteiner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-05-27 22:32


Moin Lenard,
wenn man zwei stetige periodische Funktionen unterschiedlicher Frequenz űberlagert, also addiert, entsteht dann wieder eine periodische Funktion, wenn die Frequenzen in einem rationalen Verhältnis zueinander stehen. Wenn das Frequenzverhältnis irrational ist, entsteht keine periodische Funktion mehr. Man kann sich űberlegen, dass die gleiche Phase der beiden Schwingungen nie mehr genau erreicht wird.
Wenn man aber lange genug wartet, kommen Zeitpunkte, an denen die Phase fast wieder erreicht wird. Mit zunehmender Wartezeit gibt es Punkte an denen es immer genauer stimmt. Im Prinzip ist die Annäherung einer irrationalen Zahl durch ein Folge rationaler Zahlen als Grenzwert ein ähnliches Problem, das motiviert dann die mathematische Definition der fastperiodischen Funktionen.

Viele Grűße

holsteiner



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Lenard92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-05-28 17:15

\(\begingroup\)
Hallo holsteiner,

für eine Fkt. f die von zwei Phasen \(\phi_1,\phi_2\) abhängt und die jeweils die Perioden \(T_1,T_2\) haben gilt

\[f(\phi_1,\phi_2)=f(\phi_1+T_1,\phi_2)=f(\phi_1,\phi_2+T_2)=f(\phi_1+T_1,\phi_2+T_2)\]
Ist das Verhältnis rational, so existiert eine Periode \(T\) für die gilt

\[f(\phi_1,\phi_2)=f(\phi_1+T,\phi_2)=f(\phi_1,\phi_2+T)=f(\phi_1+T,\phi_2+T)\]
Ist das Verhältnis irrational, existiert ein solches \(T\) nicht. Es existiert also kein \(t\) für das gilt: \(\phi_1=\phi_2\). Jedoch nähern sich die Phasen für bestimmte Zeitpunkte immer näher an.

Ich habe deine Antwort nochmal mit meinen eignen Worten wieder gegeben.Habe ich das so korrekt verstanden?




\(\endgroup\)


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holsteiner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-05-28 21:53

\(\begingroup\)
Hallo,
ich bin nicht ganz sicher, ob Du es verstanden hast. Dazu müßtest Du hinschreiben, was Du mit $T_1$ und $T_2$ meinst. Ich verstehe darunter die Länge einer Periode. Zunächst gilt ganz allgemein für eine stetige periodische Funktion:

 (1) <math> f(\phi)  = f(\phi+ n*T)</math>

mit der Periode T mit einem beliebigen Wert und einer ganzen Zahl n.

Ich würde daher die erste Zeile anders formulieren:

Lemma:
Sei  f eine zwei Phasen $\phi_i$ und Schingungsdauern $T_i$ ($i={1, 2}$) abhängige Addition von zwei periodischen Funktionen.

Wenn $T_1/T_2\in \mathbb{Q}$  eine  rationale Zahl ist, dann gibt es mindestens ein $k_1\in \mathbb{Z}$ und ein $k_2 \in \mathbb{Z}$, also ganze Zahlen, so dass

(2) <math>f(\phi_1,\phi_2)=f(\phi_1+k_1*T_1,\phi_2)=f(\phi_1,\phi_2+k_2*T_2)=f(\phi_1+k_1*T_1,\phi_2+k_2*T_2)</math>

ist.  

Beweis: Wir brauchen für die Periode $T_g$ der zusammengesetzten Schwingung einen Zeitpunkt, an dem beide Perioden zusammenfallen.
Wenn $T_1/T_2$ rational ist, dann gibt es  eine minimale Lösung für die Gleichung

(3) <math>k_1*T_1= k_2*T_2=T_g</math>,  

Diese minimale Lösung $T_g$ ist das kleinste gemeinsame Vielfache von $T_1$ und $T_2$ und ist dann die Periode des aus zwei periodischen Funktionen entstehenden Resultats. Durch erweitern mit einer ganzen Zahl zeigt man, dass jede weitere Lösung vom (3) ein Vielfaches von $T_g$ ist.

<math>\diamond</math>

Wenn die Perioden ein irrationales Verhältnis habe, dann geht die Gleichung 3 nicht mehr auf. Es gibt zum Beispiel kein ganzes $k_1$, $k_2$ wenn $T_1 = \sqrt{3}\cdot T_2$ ist oder $T_1 = \pi \cdot T_2$ ist.

Wir stellen fest, dass nicht jede Addition von periodischen Funktionen wieder eine periodische Funktion ergibt. Mathematiker arbeiten gerne mit Funktionräumen und mögen es wenn beliebige Additionen und Multiplikationen von Funktionen eines Funktionsraumes wieder eine Funktion des Funktionsraums ergibt.

Das sieht für periodische Funktionen aber schlecht aus. Damit trotzdem eine Vollständigkeit erreicht wird, haben Harald Bohr, Hermann Weyl, J.v. Neumann und andere versucht, fastperiodische Funktionen zu definieren.

Hier ist eine schöne Arbeit, die ich unter dem Stichwort "fastperiodische Funktionen" gefunden habe, mit viel Mathematik und anschaulichen Bildern von fastperiodischen Funktionen:

Jerome Blauth & Felix Frießleben/Uni Mainz

Aus dieser Arbeit und wenn man weiter im Netz sucht, findet man, dass die Theorie dieser Funktionen überhaupt nicht einfach ist und dass die unterschiedlichen Definitionen verschiedene Vor- und Nachteile haben.


Viele Grüße

holsteiner
 






\(\endgroup\)


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Lenard92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-01 16:46


Vielen Dank für die ausführliche Erklärung Holsteiner!



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Lenard92 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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