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Schulmathematik » Stochastik und Kombinatorik » Farben in Gummibärchen-Packung
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Kein bestimmter Bereich Farben in Gummibärchen-Packung
Mygma
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 31.01.2016
Mitteilungen: 11
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-03 13:35

\(\begingroup\)
Hallo zusammen!

Ich überlege schon seit längerer Zeit, wie folgende Aufgabe gelöst werden kann: In kleinen Gummibärchen-Packungen sind ja üblicherweise 10 Stück enhalten, wobei die 6 Geschmacksrichtungen zufällig verteilt sind. Wie wahrscheinlich ist es, dass in einer Packung alle 6 Geschmacksrichtungen mindestens einmal vorkommen?

Mein aktueller Ansatz: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Geschmacksrichtung überhaupt nicht vorkommt ist ja \((\tfrac{5}{6})^{10}\). Die Wahrscheinlichkeit, dass sie zumindest einmal vorkommt ist demnach \(1-(\tfrac{5}{6})^{10}\). Ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede Geschmacksrichtung mindestens einmal vorkommt nun \((1-(\tfrac{5}{6})^{10})^6\) oder liegt hier ein Denkfehler vor?

Vielen Dank und liebe Grüße
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 4146
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-03 13:58

\(\begingroup\)
Hallo Mygma,

2018-06-03 13:35 - Mygma im Themenstart schreibt:
Ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede Geschmacksrichtung mindestens einmal vorkommt nun \((1-(\tfrac{5}{6})^{10})^6\) oder liegt hier ein Denkfehler vor?

Die Ereignisse sind nicht unabhängig. Deshalb darfst due die Wahrscheinlichkeiten nicht multiplizieren.
\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 1504
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-06-03 14:31


Ein klassisches Kombinatorikproblem:

Verteile 10 Gummibärchen auf 6 Farben, sodass jede Farbe wenigstens ein Bärchen erhält.


Damit erhält man (wenn ich mich nicht vertue) ... etwas falsches.

Edit: Denkfehler korrigiert. Nochmal überlegen ...


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 953
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-03 16:34


Huhu,

ich erhalte (wenn ich mich nicht vertue) eine Wahrscheinlichkeit von ungefähr 27,2%.

Gruß,

Küstenkind



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JoeM
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 328
Aus: Oberpfalz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-06-08 01:12


Hallo,

per Computer- Simulation komme ich auf den gleichen Wert, wie im Beitrag vorher :

10 Mio Durchläufe ----> p = 0,2718 ;

Hat jemand einen Vorschlag, wie man die Sache rechnet ?

viele Grüße

JoeM



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mire2
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.08.2006
Mitteilungen: 3999
Aus: Köln-Koblenz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-06-08 02:38


Das Zauberwort sind Stirling-Zahlen zweiter Ordnung bzw. hier und dann kommt man schon ziemlich exakt auf das Ergebnis der Computersimulation.  wink

Gruß
mire2


-----------------
Beherrscher der Meta-Sprache
Narr und Weiser des Clans
Einziges Mitglied des Ältestenrates
Bester Freund Metas



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Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 953
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-06-08 14:10


Huhu!

Nur noch als Ergänzung: Das klassische Kombinatorikprinzip, welches hier zugrunde liegt, wird hier gut beschrieben (Beitrag 1). Hier kommt es nun eben in einem Gummibärengewand daher.

Gruß,

Küstenkind



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endy
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 10.01.2011
Mitteilungen: 3086
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-06-08 20:34


Eine Lösung mittels "symbolic combinatorics" und einem CAS:
mathematica
(* In *)
Clear @ "Global`*"
sol1 = SeriesCoefficient[10! (Exp[z] - 1)^6, {z, 0, 10}]/6^10
sol2 = sol1 // N[#, 20] &
 
(* Out *)
 
38045/139968
0.27181212848651120256
 

Gruß endy




-----------------
Peter Scholze Fields Medal 2018 :
Sometimes I have some vague intuitive idea on how things should work, and I try to reconcile this with the known theory. In some cases the new perspective leads to new insights(CMI 2012).



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Bernhard
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.10.2005
Mitteilungen: 5880
Aus: Merzhausen, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-06-12 20:15


2018-06-03 14:31 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 2 schreibt:
Ein klassisches Kombinatorikproblem:

Verteile 10 Gummibärchen auf 6 Farben, sodass jede Farbe wenigstens ein Bärchen erhält.

Wäre das Problem noch klassischer gewesen, dann wäre es unlösbar:

"Verteile 10 Gummibärchen auf 6 Kinder, sodass jedes zufrieden ist!"
Da hilft dann auch keine Kombinatorik mehr!

Sorry, aber das mußte sein, da es hier doch um das Verteilen von Gummibärchen ging... biggrin


Viele Grüße, Bernhard


-----------------
"Wichtig ist, daß man nie aufhört zu fragen"
"Weisheit ist nicht das Ergebnis der Schulbildung, sondern des lebenslangen Versuches, sie zu erwerben"
Albert Einstein



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JoeM
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 328
Aus: Oberpfalz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-06-12 22:57


Hallo Bernhard,

Du schreibst ....

"Verteile 10 Gummibärchen auf 6 Kinder, sodass jedes zufrieden ist!"

Ist mit >jedes< = jedes Gummibärchen gemeint ?  smile

viele Grüße

JoeM



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Bernhard
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.10.2005
Mitteilungen: 5880
Aus: Merzhausen, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-06-12 23:06


2018-06-12 22:57 - JoeM in Beitrag No. 9 schreibt:
Hallo Bernhard,

Du schreibst ....

"Verteile 10 Gummibärchen auf 6 Kinder, sodass jedes zufrieden ist!"

Ist mit >jedes< = jedes Gummibärchen gemeint ?  smile

viele Grüße

JoeM

Hallo Joe!

Typisch Mathematikus: Als erstes sieht er die unexakte Formulierung des Problems ...  
Trotzdem glaube ich, die Gummibärchen sind zufrieden, wenn die Kinder sich um sie reißen, egal bei welchen sie jetzt ankommen. wink

Bernhard


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"Wichtig ist, daß man nie aufhört zu fragen"
"Weisheit ist nicht das Ergebnis der Schulbildung, sondern des lebenslangen Versuches, sie zu erwerben"
Albert Einstein



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
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Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-06-13 09:20


Hier kommt das Prinzip von Inklusion und Exklusion zur Anwendung. Die Zahl der günstigen Fälle beträgt fed-Code einblenden



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Mygma
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Mitteilungen: 11
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-13 16:12


Vielen herzlichen Dank für die zahlreichen Antworten und die Auflösung meiner Fragestellung!

Einerseits beruhigt es mich, zu sehen, dass die Lösung anscheinend doch nicht ganz trivial ist (da ich wirklich lange selbst überlegt habe, bevor ich die Frage veröffentlicht habe). Andererseits überrascht es mich aber sehr, dass diese so einfach klingende Aufgabe nicht mit gewöhnlicher Schulmathematik gelöst werden kann.

Liebe Grüße!



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5376
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-06-14 20:08


2018-06-13 16:12 - Mygma in Beitrag No. 12 schreibt:
Andererseits überrascht es mich aber sehr, dass diese so einfach klingende Aufgabe nicht mit gewöhnlicher Schulmathematik gelöst werden kann.
Inklusion-Exklusion könnte man schon in der Schule machen und selbst wenn nicht, man kann vergleichsweise einfach iterative Formeln aufstellen, die die Wahrscheinlichkeit P(k,m) angeben, mit der nach k gezogenen Bären genau m Farben vorkommen:
P(k,m)= P(k-1,m)*m/6 + P(k-1,m-1)*(6-(m-1))/6
Entweder es waren nach k-1 Bären schon m Farben und man zieht eine dieser m Farben, oder es waren nach k-1 Bären erst m-1 Farben und man zieht eine Farbe, die man nich nicht hatte.

Das Ausrechnen wäre dann nur noch eine Fleißaufgabe.



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