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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Zerfallende exakte Folge wird unter Funktoren erhalten
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Autor
Universität/Hochschule J Zerfallende exakte Folge wird unter Funktoren erhalten
yann
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Dabei seit: 04.01.2015
Mitteilungen: 514
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-13

\(\begingroup\)
Hallo,
Seien $R,S$ Ringe. Angenommen man hat einen covarianten, additiven Funktor $T:Mod(R)\to Mod(S)$  und eine zerfallende exakte Folge in Mod(R)
$$(0)\to X\to M\to Y\to (0)$$
wobei $f:X\to M, g:M\to Y$. dann wird behauptet, dass Anwendung von $T$ wieder eine zerfallende exakte Folge liefert.

Was ich einsehen konnte: $T(f)$ ist injektiv, $T(g)$ ist surjektiv und $im\;T(f)\subseteq ker \;T(g)$. Mir ist aber nicht klar, warum auch $ker\;T(g)\subseteq im\;T(f)$ gilt.

Hat jemand eine Idee?

Viele Grüsse,
yann
\(\endgroup\)


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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3644
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-13

\(\begingroup\)
Eine Folge $0 \to X \xrightarrow{i} M \xrightarrow{p} Y \to 0$ zerfällt genau dann, wenn es Morphismen $q : M \to X$ und $j : Y \to M$ gibt, welche die Gleichungen

$qi = id$
$pj = id$
$pi = 0$
$qj = 0$
$iq + jp = id$
 
erfüllen. Diese Gleichungen werden von additiven Funktoren erhalten.

Das ganze gilt nicht nur für Modulkategorien, sondern für beliebige additive Kategorien.
\(\endgroup\)


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yann
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Dabei seit: 04.01.2015
Mitteilungen: 514
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-14


Mir ist nur nicht klar, warum die Folge dann wieder exakt sein muss, also mein Problem war die Exaktheit.



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 3644
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-14


Aus den Gleichungen folgt die Exaktheit.



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yann
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-20


Danke.



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