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Analysis » Grenzwerte » Grenzwert einer Nullfolge, die keine ist
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Universität/Hochschule Grenzwert einer Nullfolge, die keine ist
Frege23
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-16

\(\begingroup\)
Hallo miteinander!

Sei \((a_n)_{n \in N}\) eine konvergente Folge in \(\mathbb{R}\) mit Grenzwert a. Zeigen Sie: Die Folge \((b_n)_{n \in N}\)  mit

\(b_n := \frac{1}{n+1}(a_0+...+a_n)\)

konvergiert ebenfalls mit Grenzwert a.

Der Dozent hat mir versichert, dass es kein Druckfehler ist. Ich frage mich halt wieso das nicht gegen 0 konvergiert. \(\frac{1}{n+1}\) ist eine Nullfolge, \((a_n)\) konvergiert gegen a.

\(b_n = \frac{1}{n+1}(a_0+...+a_n) = \frac{1}{n+1} (a_0) + \frac{1}{n+1} (a_1)+ ... \frac{1}{n+1} (a_n)\)

Für mich wäre das ein Fall der Faktorregel für Grenzsätze,

<math>\lim_{n\rightarrow\infty} \lambda \cdot a_n = \lambda \cdot a</math> für alle <math>\lambda \in \R</math>, wobei man halt diese Regel auf jeden der Summanden \(\frac{1}{n+1} (a_0)  + ... \frac{1}{n+1} (a_n)\) anwendet. Das habe ich auch so meinem Dozenten nahegelegt. Antwort: Grinsen und ein Verweis auf folgende Definition des Grenzwerts:

<math>\forall \epsilon > 0\, \exists N\in\N\, \forall n\ge N: |a_n-a| < \epsilon</math>

Aber auch das bringt mir ja nichts, weil ich keinen Trick kenne, der diese sagenhafte Folge in korrekten Schritten in etwas umwandelt, was nicht 0 sondern a ist.

Ich bin platt, ich kann ja einmal eine Folge korrekt lesen!
\(\endgroup\)


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BerndLiefert
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Dabei seit: 21.10.2014
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Aus: Lehramtplanet
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-16


Beachte, dass mit wachsendem n die Anzahl der Summanden steigt.



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Wauzi
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Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11174
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-06-16


fed-Code einblenden


-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



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Frege23
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Dabei seit: 20.11.2016
Mitteilungen: 65
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-16


Erst einmal danke für die Antworten.


@Bernd

Klar, für jeden Schritt wächst meine Anzahl der Summanden um +1.

@Wauzi

Du verstehst mich, das hilft schon einmal. Morgen präsentiere ich euch die Lösungen: Eine richtige und eine, die der Dozent akzeptiert!

Alles Gute!



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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-06-16


2018-06-16 22:53 - Frege23 in Beitrag No. 3 schreibt:
Morgen präsentiere ich euch die Lösungen: Eine richtige und eine, die der Dozent akzeptiert!

Gibt es da einen Unterschied?  eek



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Frege23
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 20.11.2016
Mitteilungen: 65
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-18

\(\begingroup\)
Hallo!

Das war natürlich ein Scherz! Wenn meine Intuition mit dem Wissen der Mathematik in Konflikt steht, dann weiß ich schon, dass meine Intuition den Kürzeren zu ziehen hat.


\(|b_n -a| = |\frac{1}{n+1}(a_0+...+a_n) -a| = |\frac{a_0+...+a_n}{n+1} - a|

= |\frac{a_0+...+a_n}{n+1} - \frac{a(n+1)}{n+1}| = |\frac{a_0+...+a_n - na -a}{n+1}|\)



Bis hierhin müsste es eigentlich stimmen. Nur wie weiter? Ich habe die Dreiecksungleichung ausprobiert, sie scheint aber hier nicht zu helfen. Der Betrag muss ja 0 sein und ich kann die Sachen auch rearrangieren:

\(|\frac{(a_0-a)+(a_1-a)+...+(a_n -a)}{n+1}|\).

Aber hier ist der Zähler auch nur dann 0, wenn \(a_n\) eine konstante Folge ist.

Helfet mir, o Götter!

Alles Gute!
\(\endgroup\)


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MartinN
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Dabei seit: 05.08.2016
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-06-18 13:05


Verwende, dass a_n gegen a konvergiert, also der Betrag deren Differenz wird ab einem M (oder N, aber das verwendest du ja für was anderes) kleiner epsilon. Dann kannst du nach oben die ersten M Summanden abschätzen und die letzten N-M durch epsilon/N. So sollte das klappen, ein N in Abhängigkeit vom epsilon (und M,... ) zu finden ;)



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Nuramon
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Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 497
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-06-18 13:25

\(\begingroup\)
2018-06-18 01:35 - Frege23 in Beitrag No. 5 schreibt:
 Wenn meine Intuition mit dem Wissen der Mathematik in Konflikt steht, dann weiß ich schon, dass meine Intuition den Kürzeren zu ziehen hat.

Intuition ist durchaus sehr nützlich, sofern man denn die richtige Intuition hat ;) Die kann man hier wie folgt bekomment:
Es ist $b_n$ das arithmetische Mittel von $a_0,\ldots, a_n$. Aus der Konvergenz der Folge $(a_n)$ kann man intuitiv folgern: Bis auf Ausreißer am Anfang, sind alle Folgenglieder ungefähr $a$. Die Ausreißer am Anfang haben aber immer weniger Einfluss auf den Durchschnitt, also wird für genügend große $n$ auch $b_n \approx a$ gelten.
Die Kunst ist es jetzt diese Intuition in Formeln umzusetzen.
\(\endgroup\)


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Frege23
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 20.11.2016
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-18 17:48

\(\begingroup\)
Danke für die Antworten. Kann ich dann einfach das hier schreiben?


\(|b_n -a| = |\frac{1}{n+1}(a_0+...+a_n) -a| = |\frac{a_0+...+a_n}{n+1} - a|\)


\(= |a_n - a|\) für  \(n\longrightarrow \infty\)
\(\endgroup\)


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Buri
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Mitteilungen: 45563
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-06-18 17:58


2018-06-18 17:48 - Frege23 in Beitrag No. 8 schreibt:
... Kann ich dann einfach das hier schreiben?
Hi Frege23,
nein, diese Gleichung ist falsch.
Gruß Buri



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Wauzi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.06.2004
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-06-18 18:59


Setze a(n)=a+h(n), mache Dir klar daß h(n) eine Nullfolge ist und setze ein. Dann ergibt sich alles (fast) wie von selbst.
Gruß Wauzi



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
MartinN
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 885
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-06-20 12:32

\(\begingroup\)
Ich mag mal das präsentieren, wie ich es gemacht hätte...


Erst einmal sei:
\(c = \max(|a_n-a|) \in \IR\)
Und da \(a_n\) gegen \(a\) konvergiert, gibt es ein \(M \in \IN\), so dass:
\(|a_n - a| < \frac{\varepsilon}{2} \forall n > M, \varepsilon > 0\)

Nun was wie zeigen wollen...
Es gebe immer ein \(N \in \IN\), so dass:
\(|b_n - a| < \varepsilon\ \forall n > N, \varepsilon > 0\)

\(|b_n - a|\\
= |\frac{\sum_{i=0}^n a_i-a}{n+1}|\\
= \frac{|\sum_{i=0}^n a_i-a|}{n+1}\\
\leq \frac{\sum_{i=0}^n |a_i-a|}{n+1}\\
\leq \frac{M \cdot c + (n+1-M) \cdot \frac{\varepsilon}{2}}{n+1}\)

Dies sei jetzt \(< \varepsilon\):
\(\frac{M \cdot c + (n+1-M) \cdot \frac{\varepsilon}{2}}{n+1} < \varepsilon\\
M \cdot c + (n+1-M) \cdot \frac{\varepsilon}{2} < (n+1) \cdot \varepsilon\\
M \cdot (c - \frac{\varepsilon}{2}) < (n+1) \cdot \frac{\varepsilon}{2}\\
M \cdot (2c/\varepsilon - 1) < n+1\\
n > M \cdot (2c/\varepsilon - 1) - 1\\
\to N = \lfloor M \cdot (2c/\varepsilon - 1) - 1\rfloor\)

Damit lässt sich für alle \(\varepsilon > 0\) immer ein solches \(N\) angeben, so dass der Abstand zwischen \(b_n\) und \(a\) für \(n > N\) kleiner als \(\varepsilon\) wird.

\(\endgroup\)


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