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Lineare Algebra » Eigenwerte » Wann A und A⁻¹ ähnlich?
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Universität/Hochschule J Wann A und A⁻¹ ähnlich?
Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 28.09.2016, Mitteilungen: 819, aus: Erde
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Themenstart: 2018-06-16

Hi,
ich stehe vor einem Problem, wo ich nicht weiter weiß :S
Sei A eine nxn Matrix mit Einträgen aus einem Körper. Außerdem sei A invertierbar mit A^-1. Wann sind A und A^-1 ähnlich?
Ich habe bisher nur notwendige Kriterien :S
Paar triviale wie etwa det(A)^2 = 1 oder folgendes:
Sei \(\mu_A = X^m + a_{m-1}*X^{m-1}+...+a_1*X + a_0 \) das Minimalpolynom von A. Dann ist erstens a_0 != 0, denn sonst wäre 0 ein Eigenwert von A, jedoch ist ker(A)=0. Dann ist das Minimalpolynom von A^-1 gegeben durch \(\mu_{A^{-1}}=X^m + a_1\cdot a_0^{-1}*X^{m-1} +...+ a_{m-1}\cdot a_0^{-1}\cdot X +a_0^{-1}\), was man wohl leicht zeigen kann. Da bei ähnlichen Matrizen die Minimalpolynome gleich sein müssen, folgt durch Koeffizientenvergleich...

Oder einen Ansatz über die Eigenwerte habe ich auch versuch:
Die Eigenwerte von ähnlichen Matrizen sind gleich. Falls \(\lambda \) Eigenwert von A, so ist \(1/\lambda\) Eigenwert von A^-1. Leider muss nicht Gleichheit zwischen diesen beiden gelten, sondern nur zwischen irgendeinem Eigenwert.

Vielleicht könnt ihr mir ja irgendwie weiter helfen  :-)
Und bitte nur ganz kleine Tipps  :-D





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Wally Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 02.11.2004, Mitteilungen: 8925, aus: Dortmund, Old Europe
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Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-16

Hallo, Red_,

beguck dir das Problem doch erst einmal, wenn A in Jordan-Normalform vorliegt. Die Idee mit den Eigenwerten ist doch ganz gut.

Wally



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Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 28.09.2016, Mitteilungen: 819, aus: Erde
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-18

Hey Wally,
danke, ich werde es mir am Wochenende erneut anschauen  😄



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Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 28.09.2016, Mitteilungen: 819, aus: Erde
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22

Na gut, ich habe nun:
Die JNF von A^-1 gleich der JNF von A, wobei wir jedes Element auf der Hauptdiagonalen invertieren (d.h. aus \(\lambda\) wird \(\lambda^{-1}\)). Aber wie soll mir das weiterhelfen :/ A ähnlich zu A^-1 <=> A hat gleiche JNF wie A^-1 bis auf Reihenfolge der Jordanblöcke. Erneut liegt das Problem vor, dass die JNF nicht komplett eindeutig ist.
Könntest du mir vielleicht einen weiteren Tipp geben?



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Ex_Mitglied_4018 Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum ersten Beitrag
Beitrag No.4, eingetragen 2018-06-22

Da der Grundkörper beliebig ist, wird man die JNF nur verwenden können, wenn man über den algebraischen Körper arbeiten will. Sie ist aber sicherlich nützlich, um zu verstehen, was da eigentlich passiert.

Es geht auch ohne JNF. Wie Du bereits erkannt hast, ist jeder Eigenwert von A das Inverse eines anderen Eigenwerts von A. Was haben die Eigenräume dieser beiden Eigenwerte miteinander zu tun?



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Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23

Hi Zaos,
danke nun habe ich es, aber nicht so ganz wie ich es will:
\(A\) ähnlich zu \(A^{-1} \Rightarrow\) Eigenwerte von \(A\) zum Quadrat ergeben 1.

Da sie ähnlich sind, haben sie die gleichen Eigenwerte.
Es gilt \( \textrm{Eig}(A, \lambda ) = \textrm{Eig}(A^{-1}, \lambda^{-1} ) = \textrm{Eig}(A^{-1}, \mu ) = \textrm{Eig}(A, \mu^{-1} )  \). Das \(\mu \) ist also derjenige Eigenwert von \(A\) mit \(\lambda^{-1} = \mu\) (da sie gleiche Eigenwerte haben).
Nun sei \(v\in \textrm{Eig}(A, \lambda ) = \textrm{Eig}(A, \mu^{-1})\), also \(Av = \lambda v = \mu^{-1} v \Leftrightarrow A\cdot (\mu^2 v) = \mu v\). D.h. \( \textrm{Eig}(A, \lambda ) =  \textrm{Eig}(A, \mu )\) (da diese Unterräume bilden). Daraus folgt unmittelbar \(\lambda = \mu\) und somit \(\lambda^2 =1\).

Man bemerke, dass bei der Hinrichtung keine JNF benötigt wurde.

Eigenwerte von \(A\) zum Quadrat ergeben 1 \(\Rightarrow\) \(A\) ähnlich zu \(A^{-1} \)
Diese Richtung kann ich nur zeigen, wenn ich die JNF betrachte (siehe meinen Beitrag davor, denn dann sind die Jordannormalformen gleich). Dafür muss die Hinrichtung aber erst mit der JNF bewiesen werden, was aber analog geht.

Kann man bei der Rückrichtung auch ohne JNF argumentieren?



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Nuramon Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 23.01.2008, Mitteilungen: 2412
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Beitrag No.6, eingetragen 2018-06-23
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2018-06-23 13:08 - Red_ in Beitrag No. 5 schreibt:

\(A\) ähnlich zu \(A^{-1} \Rightarrow\) Eigenwerte von \(A\) zum Quadrat ergeben 1.

Das ist falsch, betrachte z.B. $A=\begin{pmatrix}a &0\\ 0& a^{-1}\end{pmatrix}$ für $a\not=0, a^2\not=1$. Was du danach zur Hinrichtung geschrieben hast, ist also auch falsch.
\(\endgroup\)


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Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 28.09.2016, Mitteilungen: 819, aus: Erde
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Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23

Ahh, danke dir Nuramon. Ich sehe auch den Fehler:

\(A\cdot (\mu^2 v) = \mu v\). D.h. \( \textrm{Eig}(A, \lambda ) =  \textrm{Eig}(A, \mu )\) (da diese Unterräume bilden).
Links müsste nur ein v stehen  😁



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Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 28.09.2016, Mitteilungen: 819, aus: Erde
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-10

Hallo,
die Antwort dient nur zur Vollständigkeit für zukünftige Mathematiker:

OBdA sei $K$ algebraisch abgeschlossen, siehe hier.
Wir wollen die gleiche Jordannormalform. Hierzu sollte man die JNF des Inversen ausrechnen können, siehe hier.
Sei $J_i$ ein Jordanblock mit Eigenwert $\lambda_i \neq 0$. Bezeichne mit $J_i'$ den Jordanblock der selben Länge mit Eigenwert $\lambda_i^{-1}$.
$A$ habe die Jordanblöcke $J_1,...,J_{m},J_{m+1},...,J_{m+r}$ mit der Eigenschaft: $J_{i} \neq J_{i}'$ für $1\leq i\leq m$ und $J_{m+j} = J_{m+j}'$ für $1\leq j\leq r$ (wir sortieren also nach Jordanblöcken mit Eigenwert ungleich $\pm 1$).
Die Jordanblöcke von $A^{-1}$ sind nach dem Link oben $J_1',...,J_{m}',J_{m+1}',...,J_{m+r}'$.
Nun haben beide die gleiche Normalform, gdw. (nach einer geeigneten Umsortierung der Blöcke bzw. Umbenennung der Indizes):
$m$ ist gerade und $J_{2i}' = J_{2i-1}$ für alle $1\leq i \leq m/2$.




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Triceratops Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 28.04.2016, Mitteilungen: 4989, aus: Berlin
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Beitrag No.9, eingetragen 2020-10-11

Analog kann man sich überlegen, wann $A^p$ und $A^q$ ähnlich sind, wobei $A$ invertierbar und $p,q \in \IZ$ sind.



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Gestath Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Mitglied seit: 22.07.2013, Mitteilungen: 190
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Beitrag No.10, eingetragen 2020-10-19

Hallo Red_,

ich sehe nicht, was du in Beitrag 8 überhaupt zeigst. Außer dass fed-Code einblenden



fed-Code einblenden

Ich glaube, dass Kriterium gilt auch, wenn der Grundkörper nicht algebraisch abgeschlossen ist.

MfG
Gestath



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Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Mitglied seit: 28.09.2016, Mitteilungen: 819, aus: Erde
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Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20

Ich habe genau angegeben was für die Jordanblöcke gelten muss, damit sie die gleiche JNF haben, was für die "Praxis" von Relevanz ist.
Du kannst die Frage so verstehen: Ich gebe dir $A$, wobei diese explizit mit irgendwelchen Einträgen aus einem Körper sind. Du willst überprüfen, ob sie ähnlich zu $A^{-1}$ ist. Du musst nicht beide JNF ausrechnen. Die von $A$ reicht aus und dann musst du nur überprüfen, ob die Bedingungen gelten, die ich angegeben habe.

Es geht im Endeffekt darum, dass die Ähnlichkeit äquivalent dazu ist, dass $A$ eine Matrix ist, die konjugiert ist zu einer Matrix, wie ich sie im Beitrag beschrieben habe (und es ist eine genau dann wenn Bedingung! D.h. du kannst beliebig viele Beispiele angeben).
,,$A$ ähnlich zu $A^{-1}$" kann man als abstrakte Aussage auffassen.
,,$A$ ist konjugiert zu einer Matrix mit... (Beschreibung oben)" kann man als eine fassbare/praktische Aussage ansehen. Und beide Aussagen sind äquivalent.


Wenn $K$ nicht algebraisch abgeschlossen ist, dann könntest du nicht unbedingt von Eigenwerten sprechen. Da du eine Aussage angibst die mit ,,für alle Eigenwerte" anfängt kann deine Aussage nicht stimmen ($A$ keine Eigenwerte und nicht ähnlich zu $A^{-1}$ wäre also ein Gegenbeispiel).
D.h. $K$ muss als algebraisch abgeschlossen angenommen werden.

Es könnte sein, dass dein Kriterium hinreichend ist (und vielleicht auch notwendig), aber ich möchte nicht die ganze JNF Theorie wiederholen ^^



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Gestath Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Beitrag No.12, eingetragen 2020-10-20

2020-10-20 02:34 - Red_ in Beitrag No. 11 schreibt:



Wenn $K$ nicht algebraisch abgeschlossen ist, dann könntest du nicht unbedingt von Eigenwerten sprechen. Da du eine Aussage angibst die mit ,,für alle Eigenwerte" anfängt kann deine Aussage nicht stimmen ($A$ keine Eigenwerte und nicht ähnlich zu $A^{-1}$ wäre also ein Gegenbeispiel).
D.h. $K$ muss als algebraisch abgeschlossen angenommen werden.

Es könnte sein, dass dein Kriterium hinreichend ist (und vielleicht auch notwendig), aber ich möchte nicht die ganze JNF Theorie wiederholen ^^

Dann gib bitte ein Gegenbeispiel an. Das wäre von Interesse

2020-10-20 02:34 - Red_ in Beitrag No. 11 schreibt:
Ich habe genau angegeben was für die Jordanblöcke gelten muss, damit sie die gleiche JNF haben, was für die "Praxis" von Relevanz ist.

Damit man deine Aussage prüfen kann, müssen beide Abbildungen in JNF vorliegen. Wenn beide Abbildungen in JNF vorliegen, braucht man aber bereis kein Kriterium mehr, dann ist die Aufgabe durch Hingucken zu erledigen.

Insbesondere müsste man sich bei deinem Kriterium auch noch Gedanken um den Grundkörper machen und evtl. zum algebraisch abgeschlossenen Oberkörper übergehen.Kurz, ich sehe keinen Erkenntnisgewinn mit diesem Kriterium.

MfG
Gestath

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Kezer Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.13, eingetragen 2020-10-20

2020-10-20 08:06 - Gestath in Beitrag No. 12 schreibt:
2020-10-20 02:34 - Red_ in Beitrag No. 11 schreibt:
Wenn $K$ nicht algebraisch abgeschlossen ist, dann könntest du nicht unbedingt von Eigenwerten sprechen. Da du eine Aussage angibst die mit ,,für alle Eigenwerte" anfängt kann deine Aussage nicht stimmen ($A$ keine Eigenwerte und nicht ähnlich zu $A^{-1}$ wäre also ein Gegenbeispiel).
D.h. $K$ muss als algebraisch abgeschlossen angenommen werden.

Es könnte sein, dass dein Kriterium hinreichend ist (und vielleicht auch notwendig), aber ich möchte nicht die ganze JNF Theorie wiederholen ^^

Dann gib bitte ein Gegenbeispiel an. Das wäre von Interesse

Habe diesen Thread nicht genauer verfolgt, aber ein konkretes Gegenbeispiel geht z.B. so: Die Matrizen $$A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -\frac12 \\ \frac12 & 0 \end{pmatrix}$$ haben jeweils keine Eigenwerte über $\mathbb{R}$, sind aber nicht ähnlich. Denn wären sie ähnlich über $\mathbb{R}$, so wären sie auch ähnlich über $\mathbb{C}$, wo sie aber unterschiedliche Eigenwerte haben.

Man sollte anmerken, dass es für ein solches Gegenbeispiel notwendig ist, dass die Matrizen nicht ähnlich über $\mathbb{C}$ sind. Siehe MP/248323 oder MSE/57242.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Gestath Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Beitrag No.14, eingetragen 2020-10-20

Die charakteristischen Polynome sollen natürlich auch gleich sein. Das habe ich mir immer implizit mit dazu gedacht.



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Red_ Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-20

Vielleicht kannst du dir den Beitrag 8 nochmal genau anschauen und jeden Schritt versuchen zu verstehen, auch die verlinkten Seiten.



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Red_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Red_ hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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