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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Kern vom Einsetzungshomomorphismus (2 Variable)
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Autor
Universität/Hochschule J Kern vom Einsetzungshomomorphismus (2 Variable)
Saki17
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 476
Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-18

\(\begingroup\)
Hallo,

sei $K$ ein Körper und $a,b$ Elemente aus einer algebraischen Körpererweiterung von $K$. Wir haben einen surjektiven Homomorphismus $$\phi: K[X,Y]\to K(a,b),$$ indem wir die Variable $X\mapsto a,~ Y\mapsto b$ zuordnen.

Was ist nun $\ker\phi$? Steht er mit den Minimalpolynomen $f_a,f_b$ von $a,b$ in Zusammenhang? (Vermutung: $\ker\phi=(f_a(X), f_b(Y))$.)
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 800
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-18

\(\begingroup\)
Hallo Saki,

die eine Inklusion gilt auf jeden Fall. Bei der anderen sehe ich eher schwarz, da auch gemischte Terme im Kern liegen können, vgl.:
\[K[X,Y]\to K[Z]:X\mapsto Z^3, Y\mapsto Z^2\] Damit liegt \(X^2-Y^3\) im Kern, womit sich dann wahrscheinlich ein Beispiel für $\ker\phi\neq(f_a(X), f_b(Y))$ konstruieren läßt. Insbesondere wird es wohl Wahlmöglichkeiten geben, s.d. der Quotient $(\ker\phi)/(f_a(X), f_b(Y))$ beliebig sein kann.
\(\endgroup\)


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Saki17
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 476
Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-21


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