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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Derivationen eines Koordinatenringes einer affinen Varietät
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Universität/Hochschule Derivationen eines Koordinatenringes einer affinen Varietät
yann
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-20

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Hallo,
Ist $V=\mathbb A^n$, so ist $k[\mathbb A^n]=k[X_1,\dots,X_n]$ und jede Derivation $d:k[X_1,\dots,X_n]\to k[X_1,\dots,X_n]$ ist von der Form
$$d(f)=\sum \frac{\partial f}{\partial X_i}\cdot d(X_i)$$
für beliebig vorgegebene Werte $d(X_i)\in k[X_1,\dots,X_n]$

Ist nun $V\subseteq \mathbb A^n$, und $d$ eine Derivation von $k[X_1,\dots,X_n]$, die $d(I(V))\subseteq I(V)$ erfüllt, so faktorisiert $\pi\circ d$ durch $I(V)$ und liefert eine Derivation $k[V]\to k[V]$. Erhält man so alle Derivationen von $k[V]$?

Also sind dann alle Derivationen $k[V]\to k[V]$ auch von der Form
$$d(f)=\sum \frac{\partial f}{\partial X_i}\cdot d(X_i)\;\;\forall f\in k[V]$$
nur mit Einschränkungen an die Werte $d(X_i)$ sozusagen?

Viele Grüsse,
yann
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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-20

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Ich denke schon.

Wenn Du mit einer Derivation $d:k[X_1,\dots,X_n]/I\to k[X_1,\dots,X_n]/I$ startest, liefert die kanonische Projektion eine Abbildung $\tilde d:k[X_1,\dots,X_n]\to k[X_1,\dots,X_n]/I$ mit leicht modifizierter Derivationsregel \(\tilde d(fg)=\tilde d(f)\pi(g)+\pi(f)\tilde d(g)\). Analog zum Homomorphisatz wirst Du wohl ein Derivation D auf $k[X_1,\dots,X_n]$ konstruieren können, s.d. \(\tilde d = \pi\circ D\).
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yann
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-20

\(\begingroup\)
Das Problem ist hier für mich die "umgekehrte Richtung":
Wie kann man aus einer Abbildung $k[X_1,\dots,X_n]\to k[X_1,\dots,X_n]/I$ eine Abbildung $k[X_1,\dots,X_n]\to k[X_1,\dots,X_n]$ gewinnen?
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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-20

\(\begingroup\)
Die Abbildung $k[X_1,\dots,X_n]\to k[X_1,\dots,X_n]/I$ ist nicht beliebig, sondern eine Komposition aus der kan. Proj. und einer Derivation $k[X_1,\dots,X_n]/I\to k[X_1,\dots,X_n]/I$, d.h. (mit meiner Bezeichnung aus #1) gilt bereits \(\tilde d(I) = 0\). Damit faktorisiert die Abbildung als Gruppen- bzw. k-linearer Homomorphismus bereit in \(\tilde d = \pi\circ D\). Hier muß man dann noch zu Fuß nachrechnen, dass D eine Derivation ist (hab' ich jetzt nicht nachgerechnet - sehe aber kein großes Problem).

Nachtrag. Für D zeigt man nicht, dass es die Summendarstellung hat, sondern, dass es die Rechenregeln für eine Derivation erfüllt.
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yann
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-20

\(\begingroup\)
Ja, es gilt $\tilde d(I)=0$, dann gibt es nach dem Homomorphiesatz $d:k[X_1,\dots,X_n]/I\to k[X_1,\dots,X_n]/I$ mit $\tilde d=d\circ\pi$, das ist dann aber genau ursprüngliche derivation $d$ mit der du gestartet bist.

Es war aber $D:k[X_1,\dots,X_n]\to k[X_1,\dots,X_n]$ gesucht mit $\tilde d=\pi\circ D$
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yann
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-20

\(\begingroup\)
Man könnte für jedes $f\in k[X_1,\dots,X_n]$ ein $D(f)\in k[X_1,\dots,X_n]$ wählen mit $\tilde d(f)=D(f)+I$. Damit erhält man eine Abbildung
$$D:k[X_1,\dots,X_n]\to k[X_1,\dots,X_n],\;\;D(I)\subseteq I,\;\;\tilde d =\pi\circ D$$

Ich sehe aber noch nicht wie das eine k-lineare derivation definieren soll.
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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-06-20

\(\begingroup\)
Ok, meine Idee war jetzt nicht so dolle.

Man könnte für jedes $f\in k[X_1,\dots,X_n]$ ein $D(f)\in k[X_1,\dots,X_n]$ wählen.

Für jedes \(X_i\) reicht aus und es gibt erst einmal kein Problem mit der Wohldefiniertheit. Das ist gerade die Aussage zu der Summenformel.

Ich muß da noch etwas drüber nachdenken ...
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-06-20

\(\begingroup\)
Hallo Yann,

ich versuche mich nochmal.

Die Formel
$$D(f)=\sum \frac{\partial f}{\partial X_i}\cdot D(X_i)$$
wird für Monome bewiesen. Dieser Beweis läßt sich auf \(\tilde d\) übertragen, s.d.
$$\tilde d(f)=\sum \pi(\frac{\partial f}{\partial X_i})\cdot \tilde d(X_i)$$
gilt. Wenn man nun \(k[X_1,\ldots,X_n]/I\) als \(k[X_1,\ldots,X_n]\)-Modul auffaßt, kann auch "\(\pi\)" in der Formel wegfallen. Damit bekommt man für die Derivation auf V:
$$d(f + I)=\sum \pi(\frac{\partial f}{\partial X_i})\cdot d(X_i + I)$$
Etwas Kopfschmerzen bereitet mir gerade die Multiplikation mit \(\pi(\frac{\partial f}{\partial X_i})\), da ich nicht sehe, warum diese unabhängig von der Wahl des Repräsentanten aus der Restklasse \(f+I\) ist.

Also meine vorläufige Vermutung ist folgende. Wenn man für jedes \(X_i\) ein Element \(g_i\in \pi^{-1}(\tilde d(X_i))\) wählt, so erhält man über \(D(X_i):=g_i\) eine Derivation D auf \(k[X_1,\ldots,X_n]\) und das Diagramm
\[\require{xypic}
\xymatrix{k[X_1,\dots,X_n] \ar[r]^{D} \ar[d]_{\pi} & k[X_1,\dots,X_n] \ar[d]^{\pi} \\ k[X_1,\dots,X_n]/I \ar[r]^{d} & k[X_1,\dots,X_n]/I  }\] kommutiert. (Am Beweis arbeite ich noch ...)
\(\endgroup\)


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yann
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22


danke, ich schaue mir das nachher mal an.



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-06-22

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Zu meinem letzen Beitrag habe ich noch eine Ergänzungen. Soweit ich das sehe, läßt sich meine letze Vermutung auf den Monomen nachrechnen, s.d. jede Derivation auf \(k[V]\) eine geeignete Summendarstellung hat. Diese ist aber nicht eindeutig, da die Formel
\[d(f + I)=\sum \pi(\frac{\partial f}{\partial X_i})\cdot d(X_i + I) \qquad (*)\] von der Wahl von f abhängt, z.B. für \(I=(X_1+X_2)\) erhält man.
\[0=d(X_1+ X_2 + I)=d(X_1 + I) + d(X_2 + I)\] Ich nehme an, dass mit (*) geklärt werden kann, wann eine Derivation D auf \(\mathbb{A}^n\) auf \(V\) eingeschränkt werden kann.
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yann
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-28 20:16


Da muss ich dann selber nochmal drüber nachdenken, vielleicht stimmt das  was ich behauptet habe aber auch gar nicht. Trotzdem danke für die Hilfe.



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