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Mathematik » Topologie » Homöomorphie zum Bahnenraum
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Universität/Hochschule Homöomorphie zum Bahnenraum
Chaser01
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.05.2017
Mitteilungen: 50
Aus: Bi
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-20

\(\begingroup\)
Guten Tag, ich habe die folgende Aufgabe:

Die Untergruppe \(\{z \in GL_1(\mathbb{C}) : z^n = 1\}\) der n-ten Einheitswurzeln operiert auf \(\mathbb{C}\) durch Skalarmultiplikation. Zeigen Sie: Der Bahnenraum ist zu \(\mathbb{C}\) homöomorph.

Meine Lösung der Aufgabe besteht darin die Elemente aus \(\mathbb{C}\) in Polarkoordinaten zu überführen, den Winkel durch n zu teilen und sie wieder in \(\mathbb{C}\) zu überführen (Im Punkt 0 soll der Funktionswert dabei 0 sein) und dann auf die Bahn zu schicken.
Meine Idee dabei ist die Folgende: Wenn man \(\mathbb{C}\) in n Teile aufteilt, wobei diese Teile immer die Elemente aus \(\mathbb{C}\) sind, deren Winkel größer gleich \(k/(2\pi n)\) und kleiner als \((k+1)/(2\pi n)\), \(0 \leq k < n\), dann ist aus jeder Bahn genau ein Element in dem ersten Teilstück.

Was ich mich nun gefragt habe, gibt es dazu eine elegantere Lösung? Meine finde ich etwas umständlich, kennt jemand einen Weg das etwas schöner zu lösen?
\(\endgroup\)


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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-20


Hallo!

Ich habe nun etwas länger an der Frage gesessen, doch ich finde, dass Deine Lösung eigentlich sogar die eleganteste ist. Hier kannst Du meinen Gedankengang sehen, wobei sich dieser im Prinzip mit Deinem verträgt.



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Zaos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.12.2003
Mitteilungen: 2734
Aus: Rosario/Argentina
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-06-22 21:59


Sei <math>G</math> die ganannte Untergruppe von <math>GL_1(\mathbb{C})</math>. Die Aufgabe besteht darin, einen Homöomorphismus <math>GL_1(\mathbb{C})/G \to \mathbb{C}</math> zu finden. Im Startbeitrag wird kein solcher explizit angegeben.

Tipp: Finde eine stetige Surjektion <math>GL_1(\mathbb{C})\to \mathbb{C}</math>, deren Fasern genau aus den Bahnen besteht.



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