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Analysis » Maßtheorie » [Maßtheorie] Sigma-Endlichkeit über einem Erzeuger
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Universität/Hochschule [Maßtheorie] Sigma-Endlichkeit über einem Erzeuger
Niklas07
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-20 17:48


Liebes Forum,

ich möchte Folgendes zeigen:
fed-Code einblenden
Ich bin mir nicht sicher, ob diese Aussage überhaupt gilt oder ob ich noch mehr Voraussetzungen fordern muss.
Ich habe mir bereits überlegt:
fed-Code einblenden
Dies funktioniert leider nicht, da ich auch noch Komplemente brauche, die ja im Allgemeinen nicht in E sind.

Hat jemand Ideen?

Liebe Grüße,
Niklas



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BlakkCube
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-21 23:22

\(\begingroup\)
Hallo Niklas07,

herzlich Willkommen auf dem Matheplaneten.

Die Aussage, die du zeigen möchtest ist falsch. Für ein Gegenbeispiel betrachte \(\mathcal{E}=\emptyset\).

Liebe Grüße,
BlakkCube


-----------------
'Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.'
- Jean-Baptist le Rond d'Alembert
\(\endgroup\)


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Niklas07
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22 08:00


Hallo BlakkCube,

danke für deine Antwort.
Ich kenne die Menge leider nicht, mir ist jedoch auch das Gegenbeispiel aller nach links unbeschränkten Intervalle als Erzeuger für die Borel'sche Sigma-Algebra eingefallen. Auf diesem Mengensystem ist das Lebesgue-Borel-Maß sicher nicht sigma-endlich.

Ich bin jedoch noch am Überlegen, ob die Aussage stimmt, wenn man zusätzlich fordert, dass das Erzeugendensystem eine Algebra oder ein Ring ist.

Liebe Grüße,
Niklas



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BlakkCube
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Aus: Potsdam
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-22 21:42

\(\begingroup\)
Hallo Niklas07,

2018-06-22 08:00 - Niklas07 in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich kenne die Menge leider nicht

Mir ist nicht ganz klar, welche Menge du hier meinst, welche du nicht kennst...

Was ich meine: Gegeben eine (nichtleere) Menge \(\Omega\). Die vom leeren Erzeuger \(\mathcal{E}=\emptyset\) erzeugte \(\sigma\)-Algebra ist \(\mathcal{A}=\{\emptyset, \Omega\}\). Mit \(\mu:\mathcal{A}\longrightarrow [0,+\infty]\), \(\mu(\Omega)=1,\mu(\emptyset)=0\) wird \((\Omega,\mathcal{A},\mu)\) zu einem endlichen, also insbesondere \(\sigma\)-endlichen Maßraum. Es ist \(\mathcal{E}\) wohl aber schnittstabil, nicht jedoch \(\sigma\)-endlich.

Ein analoges Beispiel liefert auch \(\mathcal{E}=\{A\}\) für ein festes \(A\subsetneq \Omega\).

Beide Beispiele nutzen die Strukturschwachheit des Erzeugers aus: Es wird nämlich einzig benutzt, dass der Erzeuger nicht einmal \(\Omega\) zu überdecken vermag.


mir ist jedoch auch das Gegenbeispiel aller nach links unbeschränkten Intervalle als Erzeuger für die Borel'sche Sigma-Algebra eingefallen. Auf diesem Mengensystem ist das Lebesgue-Borel-Maß sicher nicht sigma-endlich.

Das ist auch ein gutes Gegenbespiel.


Ich bin jedoch noch am Überlegen, ob die Aussage stimmt, wenn man zusätzlich fordert, dass das Erzeugendensystem eine Algebra oder ein Ring ist.

Den Erzeuger mit mehr Struktur auszustatten, könnte funktionieren, aber das kann ich auf die Schnelle jetzt nicht tief genug einschätzen.

Edit (08.07.18): Ein Ring allein reicht noch nicht, denn auch ein Ring muss im Allgemeinen den Raum nicht überdecken. Betrachte den Ring \(\mathcal{R}=\{\emptyset,A\}\) für \(\emptyset\neq A\neq\Omega\).

Gruß BlakkCube


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- Jean-Baptist le Rond d'Alembert
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