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Integration » Integration im IR^n » Integral über Normalbereich
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Universität/Hochschule Integral über Normalbereich
hydravigil
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 21.06.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-21


Hallo,
mir wurde die Aufgabe gestellt, ein Integral über einem Normalbereich auszurechnen. Dieser ist
fed-Code einblenden
Über diese Menge soll nun dieses Integral berechnet werden:
fed-Code einblenden
Nun habe ich das Integral bereits umgeformt zu:
fed-Code einblenden
Nun müsste ich ja eigentlich eine Stammfunktion bezüglich y bestimmen, aber das ist doch gar nicht so ohne Weiteres möglich oder übersehe ich da einen einfachen Weg?

Gruß Hydra



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Radix
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6021
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-22


Willkommen auf dem Matheplaneten, Hydravigil!

In deinem Normalbereich muss ein Tippfehler sein. Dort stehen ein Beistrich und ein Kleinerzeichen hintereinander.

Gruß,
Radix



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hydravigil
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 21.06.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22


Da hast du natürlich völlig recht, habe es korrigiert!



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Radix
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6021
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-22


OK. Dann ist aber dein Doppelintegral falsch. Wieso sollte x nur von 1 bis 3 laufen? Der Ursprung liegt z. B. auch in der Menge.

Zeichne jene Kurven auf, die entstehen, wenn du die Ungleichungszeichen durch Gleichheitszeichen ersetzt. Dann wirst du sehen, über welchen Bereich du integrieren musst.

Gruß,
Radix



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hydravigil
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22


Könnte es sein, dass der Teil
fed-Code einblenden
fehlt? In diesem Bereich wäre also die untere Funktion 0 und die obere Funktion sqrt(x + 1).
Aber die Integrationsgrenzen mal außen vor gelassen verstehe ich trotzdem nicht, wie ich dann eine Stammfunktion bezüglich y bilden soll.

Gruß Hydra



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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-06-22


Wenn du das dazunimmst, ist es korrekt, ja. Du hast dann aber zwei Doppelintegrale auszurechnen.

Überlege dir, was y mindestens und höchstens werden kann. Du wirst sehen, dass du für alle y mit einer Formel für die x-Obergrenze und einer Formel für die x-Untergrenze auskommst, d. h. du brauchst bei dieser Integrationsreihenfolge nur EIN Doppelintegral. Außerdem enthalten die Grenzen dann keine Wurzeln.

Gruß,
Radix



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hydravigil
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22


Ich verstehe nicht was du meinst, nach unten hin sind die y beschränkt durch 0 für x aus [-1,1] und durch x - 1 für x aus (1,3]. Ich sehe nicht, wie man das auf eine nur von x abhängige Form auf dem ganzen Intervall bringen soll. Und auch für die obere Grenze, die ist halt einfach sqrt(x + 1) auf dem ganzen Intervall, wie soll man denn da die Wurzel loswerden?

Gruß Hydra



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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-06-22


Du überlegst dir für x Zahlengrenzen und für y Grenzen, die von x abhängen. Das ist legitim.

Ich möchte aber, dass du es einmal umgekehrt probierst: Überlege dir für y Zahlengrenzen und für x dann Grenzen, die von y abhängen.

Du wirst mit 3 Vorteilen belohnt werden:

(1) 1 Doppelintegral statt 2.
(2) Keine Wurzeln in den Grenzen.
(3) Das Problem mit dem Finden der Stammfunktion wird sich in Wohlgefallen auflösen.

Letzteres ist übrigens der Sinn dieses Beispiels: Du sollst daraus lernen, dass ein schwieriges Doppelintegral durch Vertauschen der Integrationsreihenfolge einfacher werden kann.

Gruß,
Radix



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hydravigil
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23


Also gut, ich versuchs:
y liegt in [0,2] und der Bereich wird in negative x-Richtung begrenzt durch
x = y^2 - 1 und in positive x-Richtung durch x = y + 1.
Damit wäre das Doppelintegral dann:
fed-Code einblenden
Und somit:
fed-Code einblenden
wobei ich nicht weiß, wie ich das Auswerten eintragen kann.
Und tatsächlich lässt dich das Integral dann leicht vereinfachen zu:
fed-Code einblenden

Stimmt das so?
Hydra



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Radix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-06-23


Du hast zwar recht, dass sinh die Stammfunktion von cosh ist, aber du kannst das 1+y nicht einfach ignorieren. Entweder substituierst du oder du benutzt die Regel, dass man "durch die innere Ableitung dividiert".

Gruß,
Radix



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hydravigil
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23


Stimmt, aber damit komme ich nun doch wieder alleine zurecht, vielen Dank für deine Hilfe.

Gruß Hydra



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