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Lineare Algebra » Eigenwerte » Ähnlichkeitsklassen
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Universität/Hochschule Ähnlichkeitsklassen
Bibi90
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.11.2017
Mitteilungen: 52
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-22 01:16


Ich soll die folgende Aussage beweisen oder widerlegen:
Es gibt genau fünf verschiedene Ähnlichkeitsklassen von reellen Matrizen A mit χA= (x−3)^4(x−5)^4und Grad(mA) = 4.

Also ich weiß dass wenn zwei Matrizen ähnlich sind, gibt es eine Matrix S, sodass
B=S^(-1)*A*S.

In meinem Beispiel habe ich eine 8x8 Matrix, die die EW x1,2,3,4=3 und X5,6,7,8=5 hat.  Somit stehen diese EW ja immer auf der Diagonalen. Da grad (mA)=4 gilt, hat das längste Jordan Kästchen die Länge 4.

Doch irgendwie stehe ich  gerade voll auf dem Schlauch wie ich die Möglichkeiten zeigen kann. Kann mir da jemand helfen?



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dromedar
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5068
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-22 07:48

\(\begingroup\)
Hallo Bibi90,

Du hast Jordan-Kästchen zum Eigenwert 3 und zum Eigenwert 4. Nennen wir die Längen der 3er-Kästchen mal $p_1\ge p_2\ge\ldots\ge p_r$ und die der 4er-Kästchen $q_1\ge q_2\ge\ldots\ge q_s$.

Du weißt:
1. $\sum p_i=4$  [Faktor $(X-3)^4$ im charakteristischen Polynom $\chi_A$]
2. $\sum q_i=4$  [Faktor $(X-4)^4$ im charakteristischen Polynom $\chi_A$]
3. $\max p_i+\max q_i=4$  [Grad des Minimalpolynoms $m_A$]

Jetzt musst Du nur noch abzählen, wieviele mögliche Längen $p_1\ge p_2\ge\ldots\ge p_r$ und $q_1\ge q_2\ge\ldots\ge q_s$ es gibt, die diese drei Bedingungen erfüllen.

Grüße,
dromedar
\(\endgroup\)


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