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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Vollständig bijektiv zerlegbare komplexe Funktionen
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Universität/Hochschule J Vollständig bijektiv zerlegbare komplexe Funktionen
IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-22 17:38

\(\begingroup\)
Hallo.

Ist jede nicht konstante nicht lokal konstante komplexwertige komplexe Funktion (\(F\)) (\(F\colon X\subseteq\mathbb{C}\to Y\subseteq\mathbb{C}\)) vollständig stückweise aus lediglich bijektiven Funktionen zusammensetzbar?

bzw.:

Welche konkreten Bedingungen müssen im allgemeinsten Fall erfüllt sein, damit eine nicht konstante nicht lokal konstante komplexwertige komplexe Funktion (\(F\)) (\(F\colon X\subseteq\mathbb{C}\to Y\subseteq\mathbb{C}\)) vollständig stückweise aus lediglich bijektiven Funktionen zusammensetzbar ist?

Gibt es einen mathematischen Satz, der das sagt, oder wie kann man das beweisen?

Vielen, vielen Dank.
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-22 19:02


Hallo,

was bedeutet "zusammensetzbar"?



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-06-22 19:29


2018-06-22 19:02 - Nuramon in Beitrag No. 1 schreibt:
was bedeutet "zusammensetzbar"?
Hi Nuramon,
es bedeutet, dass die Funktion durch fallweise Definition erklärt wird.
Das heißt, der Definitionsbereich der Funktion wird in Teilmengen zerlegt, und diesen Teilmengen sind Zielmengen zugeordnet, die gleich dem Bild der jeweiligen Teilmenge sind.
@IVMath
Um Surjektivität zu erhalten, muss man die Zielmengen so festlegen, dass sie gleich der Bildmenge sind. Dies ist aber keine echte Zusatzforderung, es bleibt nur noch übrig, dass es sich um injektive Funktionen handelt.
Gruß Buri



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-22 19:36

\(\begingroup\)
Dann kann man doch einfach $X$ in einelementige Mengen zerlegen. Die Voraussetzung, dass $F$ nicht lokal konstant ist, ist also nicht notwendig. Und  $\mathbb C$ könnte man auch durch jede beliebige andere Menge ersetzen.
\(\endgroup\)


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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-06-22 19:45

\(\begingroup\)
2018-06-22 19:36 - Nuramon in Beitrag No. 3 schreibt:
Dann kann man doch einfach $X$ in einelementige Mengen zerlegen.
Hi Nuramon & IVMath,
das ist richtig, und somit erweist sich, dass die Frage unglücklich formuliert ist, weil die Antwort lautet, dass solch eine Zerlegung trivialerweise möglich ist.
Gruß Buri
\(\endgroup\)


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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22 21:40


Eure Antworten betreffen die zwei allgemeinsten trivialen Fälle. Könnt Ihr dann bitte die erste meiner beiden Versionen meiner Frage beantworten?

Und wie ist die Antwort für stetige Funktionen über offenem Definitionsbereich?

Vielen, vielen Dank.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-06-23 12:41

\(\begingroup\)
Mir ist nicht klar, was genau du voraussetzen willst. Kannst du die Frage bitte noch einmal präzise aufschreiben?

Welche Funktion soll stetig sein? $F$ oder die bijektiven Funktionen? Und die bijektiven Funktionen sollen jetzt auf offenen Definitionsbereichen definiert sein?
\(\endgroup\)


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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23 14:55

\(\begingroup\)
Ist jede stetige nicht konstante nicht lokal konstante komplexwertige komplexe Funktion (\(F\)) (\(F\colon X\subseteq\mathbb{C}\to Y\subseteq\mathbb{C}\)) mit offenem Definitionsbereich vollständig stückweise aus lediglich injektiven Funktionen mit offenen Definitionsbereichen zusammensetzbar?

Im Reellen ist es klar: Jede Einschränkung einer Funktion auf einen zusammenhängenden Definitionsbereich der zwischen Extremwerten liegt ist eine injektive Funktion, die injektiven Funktionsstücke werden durch die Extremwerte begrenzt. Wodurch aber werden die injektiven Funktionsstücke im Komplexen begrenzt?
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-06-23 15:06

\(\begingroup\)
2018-06-23 14:55 - IVmath in Beitrag No. 7 schreibt:

Im Reellen ist es klar: Jede Einschränkung einer Funktion auf einen zusammenhängenden Definitionsbereich der zwischen Extremwerten liegt ist eine injektive Funktion, die injektiven Funktionsstücke werden durch die Extremwerte begrenzt. Wodurch aber werden die injektiven Funktionsstücke im Komplexen begrenzt?

Setzt du die Stetigkeit von $F$ voraus? Und selbst wenn, wie zerlegst du die stetige Funktion $F:\mathbb R\rightarrow \mathbb R, x\mapsto\begin{cases}x\sin(1/x), & x\not=0\\ 0, & x=0\end{cases}$?
Das Problem ist, dass $F$ in keiner Umgebung von $0$ injektiv ist.

Oder sogar noch einfacher: Wie sieht diese Zerlegung in injektive Funktionen für $F(x)=x^2$ aus, wenn die Definitionsbereiche offen sein sollen?
\(\endgroup\)


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LeBtz
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Aus: dem Meer
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-06-23 15:10


Das funktioniert schon im Reellen nicht, also erst Recht nicht in C. Betrachte dafür zum Beispiel die Weierstraß-Funktion. Die Einschränkung auf ein beliebiges offenes Definitionsgebiet ist nicht injektiv.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23 15:46


Meine Frage ist eigentlich wohl, unter welchen allgemeinsten nicht trivialen Voraussetzungen eine holomorphe nicht konstante nicht lokal konstante komplexwertige komplexe Funktion mit einfach zusammenhängendem mehrelementigem Definitionsbereich vollständig stückweise aus lediglich ebensolchen injektiven Funktionen zusammensetzbar ist.

Und wodurch werden die injektiven Funktionsstücke im Komplexen begrenzt?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-06-23 15:59


Nur so nebenbei: eine nicht lokal konstante Funktion ist immer auch nicht konstant.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-06-23 16:02


Kannst du ein Beispiel für eine nichtinjektive Funktion geben, für die es so eine Zerlegung gibt?



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23 16:27

\(\begingroup\)
Leider nein (Bin kein Mathematiker und kein Student, habe keine Erfahrung mit komplexwertigen Funktionen und kann mir diese nicht vorstellen.).

Meine Frage ist, ob es eine analoge Eigenschaft wie im Reellen auch im Komplexen gibt.

Nach dem Komplexen Umkehrsatz ist jede differenzierbare Funktion \(f\) in einer Umgebung einer Stelle \(z\) mit \(f'(z)\neq 0\) lokal bijektiv. Wie weit reicht aber diese Umgebung wo die Funktion lokal bijektiv ist?

\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-06-23 18:14

\(\begingroup\)
Das ist jetzt irgendwie tautologisch, aber ich denke die Antwort ist, dass es genau dann geht, wenn $F$ lokal injektiv ist.
Das ist äquivalent dazu, dass $F'(z)\not= 0$ für alle $z\in X$. Denn wenn $F'(z)=0$ ist, dann folgt aus der Holomorphie von $F$, dass sich $F$ in einer Umgebung von $z$ in lokalen Koordinaten so verhält wie die Abbildung $\mathbb C\to \mathbb C, x\mapsto x^k$ bei $x=0$, wobei $k\in \mathbb N, k\geq 2$ minimal ist mit $F^{(k)}(z)\not=0$ und $F^{(l)}(z)=0$ für alle $1\leq l\leq k$. Insbesondere ist $F$ also in keiner Umgebung von $z$ injektiv.

Bist du mit dieser Charakterisierung zufrieden?
\(\endgroup\)


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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23 19:03

\(\begingroup\)
Lokal injektiv, ja das ist logisch. Und entsprechen stückweise injektive Funktionen ebenfalls meinen Voraussetzungen?

Kann es holomorphe nicht lokal konstante komplexwertige komplexe Funktionen mit mehrelementigem einfach zusammenhängendem Definitionsbereich geben, die weder lokal injektiv noch stückweise injektiv sind?

Kann es denn überhaupt lokal injektive oder stückweise injektive holomorphe nicht lokal konstante komplexwertige komplexe Funktionen mit mehrelementigem einfach zusammenhängendem Definitionsbereich geben, die nicht injektiv sind?

Sind die injektiven Funktionsstücke allein durch die Stellen \(z_0\) begrenzt an denen \(F'(z_0)\neq 0\)? Wie heißen solche Stellen? Können diese eine mehrelementige zusammenhängende Teilmenge des Definitionsbereiches (also Kurven) bilden?

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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-06-23 19:41

\(\begingroup\)
2018-06-23 19:03 - IVmath in Beitrag No. 15 schreibt:
Lokal injektiv, ja das ist logisch. Aber kann eine meinen Bedingungen entsprechende Funktion eine nicht lokal injektive Funktion sein?

Ja. Z.B. jede Potenzfunktion $z\mapsto z^k$ mit $k\geq 2$ ist nicht lokal injektiv, aber trotzdem nicht lokal konstant und holomorph.


Und kann eine holomorphe nicht lokal konstante Funktion gleichzeitig lokal injektiv und lokal nichtinjektiv sein?
Was verstehst du unter dem Begriff "lokal nichtinjektiv"? Falls das heißen soll, das jedes Element eine Umgebung hat, auf der die Funktion nicht injektiv ist, dann ist zum Beispiel $\exp$ lokal injektiv und lokal nichtinjektiv (letzteres einfach deshalb weil $\exp$ nicht injektiv ist).


Kann es überhaupt eine meinen Bedingungen entsprechende nicht injektive Funktion geben, die vollständig so zerlegbar ist?
Ja, z.B. $\exp$.


Sind die injektiven Funktionsstücke allein durch die Stellen \(z_0\) begrenzt an denen \(F'(z_0)\neq 0\)?
Was soll das bedeuten?


Wie heißen solche Stellen?
Nicht-Peter.


Können diese eine mehrelementige zusammenhängende Teilmenge des Definitionsbereiches (also Kurven) bilden?
Die Peter sind die Nullstellen der Ableitung $F'$. $F'$ ist holomorph und nicht konstant 0. Also besitzt die Menge der Peter keinen Häufungspunkt.
\(\endgroup\)


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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23 19:58

\(\begingroup\)
Entschuldigt bitte, ich hatte meine letzten Fragen inzwischen geändert.

Die Funktion \(F\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto x^2\) ist nicht injektiv und nicht lokal injektiv, sondern stückweise injektiv.

Um daraus eine lokal injektive Funktion zu bekommen, muß man die Stelle \(0\) aus dem Definitionsbereich herausnehmen. Meine Definitionsbereiche sollen aber einfach zusammenhängend sein. Sind im Komplexen lokal injektive Funktionen möglich über einfach zusammenhängendem mehrelementigem Definitionsbereich?

Und welche konkreten Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit eine holomorphe Funktion über einfach zusammenhängendem mehrelementigem Definitionsbereich eine stückweise injektive Funktion ist?

Es tut mir leid, als Nichtmathematiker gewinne ich meine Vermutungen häufig aus der bildlichen Darstellung reeller oder komplexer Funktionen im Reellen. Ist eine Funktion \(F\) genau dann lokal injektiv wenn es keine Stelle \(z_0\) gibt für die \(F'(z_0)=0\)?

Ist jede differenzierbare nicht lokal konstante Funktion mit mehrelementigem einfach zusammenhängendem Definitionsbereich stückweise injektiv mit sämtlich injektiven Funktionsstücken über mehrelementigen einfach zusammenhängenden Definitionsbereichen?
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-06-23 20:58

\(\begingroup\)
Bevor du jetzt noch ein paar mal die Frage änderst, wie wäre es wenn du erst mal ein Beispiel erklärst?

Erfüllt die Funktion $\mathbb C \to \mathbb C, z\mapsto z^2$ deine Voraussetzungen? Lässt sie sich aus injektiven Funktionen zusammensetzen, die jeweils einfach zusammenhängende Definitionsbereiche haben, die aus mehr als einem Element bestehen? Wenn ja, wie? Wenn nein, warum nicht?

\(\endgroup\)


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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23 21:14

\(\begingroup\)
Wenn ich die Sache an Beispielen komplexwertiger Funktionen erklären könnte, könnte ich meine Fragen wohl selbst beantworten. Ich kann es jedoch nicht. Deshalb benötige ich ja Eure Hilfe. Da meine Anschauung bei komplexwertigen Funktionen versagt, hatte ich auf mathematische Herleitungen Eurerseits gehofft.

Ich habe mir in ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem den Realteil und den Imaginärteil der von Dir genannten Funktion darstellen lassen. Aber wie ich vorhin versucht hatte zu sagen, kann ich Real- und Imaginärteil komplexwertiger Funktionen anschaulich nicht vereinigen.

Die Ableitung Deiner Funktion ist nur an der Stelle \(0\) Null. Und dies ist also die einzige Stelle durch die die Funktion nicht lokal injektiv ist.
Sowohl Realteil als auch Imaginärteil sind symmetrisch, ja auch die Funktionswerte liegen symmetrisch. Anhand meiner Grafik kann ich noch nicht sehen, ob die Funktion in jeweils injektive Funktionsstücke zerlegt werden kann.

\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2018-06-23 21:39

\(\begingroup\)
Was die Funktion $z\mapsto z^2$ "macht", kann man sich in Polarkoordinaten ganz gut vorstellen: Um eine komplexe Zahl zu quadrieren, muss man ihren Winkel verdoppeln und den Betrag quadrieren.

Eine gute Intuition bekommt man auch, wenn man sich die Bildmenge von Teilmengen der komplexen Ebene aufzeichnet. Z.B. ist das Bild der oberen Halbebene $\mathbb H:=\{z\in \mathbb C\mid Im(z)>0\}$ die Menge $\{z\in \mathbb C\mid Re(z)<0 \text{ oder } Im(z)\not=0 \}$, also die komplexe Ebene mit einem Schlitz entlang der Halbgeraden von 0 nach $+\infty$.

Das sollte dir aber eigentlich bekannt sein, wenn du dich mit holomorphen Funktionen beschäftigst. Und wenn nicht, was ist die Motivation für die Frage? Es wurden im Thread schon Gegenbeispiele gegeben, die zeigen, dass im Reellen keine analoge Aussage gilt.
\(\endgroup\)


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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23 21:51


Die Gegenbeispiele bezogen sich auf Funktionen mit offenem Definitionsbereich. Jetzt sind wir doch aber bei einfach zusammenhängenden Definitionsbereichen.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2018-06-23 21:54

\(\begingroup\)
2018-06-23 21:51 - IVmath in Beitrag No. 21 schreibt:
Die Gegenbeispiele bezogen sich auf Funktionen mit offenem Definitionsbereich. Jetzt sind wir doch aber bei einfach zusammenhängenden Definitionsbereichen.

$\mathbb R$ ist als Teilmenge von $\mathbb R$ sowohl offen als auch einfach zusammenhängend.
\(\endgroup\)


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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23 22:23


Meine These war doch:

im Reellen: Jede Einschränkung einer Funktion auf einen zusammenhängenden Definitionsbereich der eine oder zwei Extremstellen höchstens als Grenze enthält ist eine injektive Funktion, die injektiven Funktionsstücke werden jeweils durch die Extremwerte begrenzt.
Hast Du denn dafür ein Gegenbeispiel?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2018-06-23 22:50

\(\begingroup\)
In #9 und in #8 werden stetige Funktionen genannt, die sich nicht aus injektiven Funktionen mit zusammenhängenden Definitionsbereichen mit mehr als einem Element zusammensetzen.
Das Beispiel aus #8 kann man auch noch abwandeln zu einer differenzierbaren Abbildung.

2018-06-23 22:23 - IVmath in Beitrag No. 23 schreibt:
Meine These war doch:

im Reellen: Jede Einschränkung einer Funktion auf einen zusammenhängenden Definitionsbereich der eine oder zwei Extremstellen höchstens als Grenze enthält ist eine injektive Funktion, die injektiven Funktionsstücke werden jeweils durch die Extremwerte begrenzt.
Hast Du denn dafür ein Gegenbeispiel?

Wenn du deine These noch ein paar mal änderst, dann wird sie schon irgendwann wahr werden?
Ein einfaches Gegenbeispiel ist  $f:\mathbb R\to \mathbb R, x\mapsto \cos(x)$. Beschränkt man $f$ auf $[0,2\pi]$, so sind beide Grenzen Extremstellen, aber die Einschränkung ist nicht injektiv.

Natürlich wirst du dir jetzt denken, dass du solche einfachen Gegenbeispiele ausschließen willst. Aber dann gib doch bitte mal eine These, die man nicht mit trivialen Gegenbeispielen widerlegen kann.
\(\endgroup\)


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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23 23:09


2018-06-23 22:23 - IVmath in Beitrag No. 23 schreibt:
Meine These war doch:

im Reellen: Jede Einschränkung einer Funktion auf einen zusammenhängenden Definitionsbereich der eine oder zwei Extremstellen höchstens als Grenze enthält ist eine injektive Funktion, die injektiven Funktionsstücke werden jeweils durch die Extremwerte begrenzt.

einer stetigen differenzierbaren Funktion mit einfachem zusammenhängendem mehrelementigem Definitionsbereich

Die Definitionsbereiche der injektiven Funktionsstücke können 0, 1 oder zwei Extremstellen enthalten. Wenn sie Extremstellen enthalten, dann jedoch nur als Grenze / am Rand.
Hast Du denn dafür ein Gegenbeispiel?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2018-06-23 23:32

\(\begingroup\)
Ok, die Aussage sieht richtig aus. (wenn auch sehr holprig formuliert)

Aber trotzdem lässt sich nicht jede stetig differenzierbare reelle Funktion in injektive Funktionen zerlegen, die auf Intervallen mit positiver Länge definiert sind. Betrachte z.B. $x\mapsto \begin{cases}x^3sin(1/x) & x\not=0\\ 0 & x=0\end{cases}$.
\(\endgroup\)


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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23 23:44


Warum läßt sich sich diese Funktion nicht entsprechend zerlegen?

Ist sie denn an der Stelle 0 auch differenzierbar?




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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2018-06-23 23:51


2018-06-23 23:44 - IVmath in Beitrag No. 27 schreibt:
Warum läßt sich sich diese Funktion nicht entsprechend zerlegen?
In welchem Intervall müsste 0 liegen, wenn es so eine Zerlegung gäbe?


Ist sie denn an der Stelle 0 auch differenzierbar?
Papier und Stift raus und nachrechnen! Wenn du auf Probleme stößt, dann zeige deine Rechnung.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-24 01:03


Aha. Ich vermute, die Funktion hat unendlich viele Extremwerte, und die liegen zu 0 hin unendlich dicht. Kriegt man die Extremstellen nicht irgendwie formelmäßig zu fassen?

Aber damit ist meine These, daß jede entsprechende Funktion entsprechend in injektive Funktionsstücke zerlegt werden kann, nicht widerlegt.

Und wie sieht das nun bei komplexwertigen Funktionen aus? Sind da auch entsprechende Zerlegungen in injektive Funktionsstücke möglich? Oder sind solche gar nicht möglich? (Der Satz von der Invarianz der Dimension ist mir bekannt.)



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, eingetragen 2018-06-24 14:01


2018-06-24 01:03 - IVmath in Beitrag No. 29 schreibt:
Aha. Ich vermute, die Funktion hat unendlich viele Extremwerte, und die liegen zu 0 hin unendlich dicht. Kriegt man die Extremstellen nicht irgendwie formelmäßig zu fassen?
Wenn du damit meinst, dass man die Extremstellen algebraisch explizit angegen kann, dann ist die Antwort vermutlich nein. Aber das hat ja mit deiner Problemstellung überhaupt nichts zu tun.


Aber damit ist meine These, daß jede entsprechende Funktion entsprechend in injektive Funktionsstücke zerlegt werden kann, nicht widerlegt.

Warum nicht? Gib bitte eine Zerlegung der Funktion aus #26 an, oder zeige zumindest das eine existiert.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-24 16:21

\(\begingroup\)
Ich nehme an, Du willst sagen daß der Punkt (0,0) nicht Teil einer entsprechenden Zerlegung der Funktion sein kann. Dann muß ich meine These abändern:

a)
Jede Funktion $F$ mit $F\colon X\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ kann vollständig in injektive Funktionsstücke zerlegt werden. (Die Funktionsstücke dürfen jetzt auch einelementigen Definitionsbereich haben.)

Im Fall komplexwertiger Funktionen mit komplexen Argumenten sind wir aber noch nicht weitergekommen. Ich weiß bis jetzt nur, daß es nach dem Komplexen Umkehrsatz injektive Umgebungen gibt, und daß für die einzelnen injektiven Funktionsstücke der Satz von der Invarianz der Dimension gelten muß.
\(\endgroup\)


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IVmath
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Hallo,

vielen, vielen Dank für Eure Antworten. Mit Eurer Hilfe konnte ich jetzt die Sache klären. Reelle Funktionen lassen sich in eindeutiger Weise vollständig in injektive Funktionsstücke zerlegen: die Definitionsbereiche der injektiven Funktionsstücke sind begrenzt durch die Grenzen des Definitionsbereichs, durch einzelne Stellen und/oder durch die Stellen, an denen die Ableitung Null ist.

Komplexe nicht konstante holomorphe Funktionen lassen sich oftmals nicht in eindeutiger Weise in injektive Funktionsstücke zerlegen. Hier bleibt nur die bekannte Feststellung: Eine nicht injektive Funktion wird ggf. durch eine geeignete Einschränkung ihres Definitionsbereichs injektiv.

Nochmals vielen, vielen Dank an alle.



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IVmath hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
IVmath hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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