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    ant12
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-06-22


    Sei K ein Körper mit q Elementen und V= Kn. Bestimmen Sie die Anzahl aller k–dimensionalen Unterräume von V f¨ur 1 ≤ k ≤ n.
    Hat hier jemand eine Idee was ich hier machen muss?

      Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
    BerndLiefert
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-06-22


    Hallo,

    du musst für jedes k zwischen 1 und n die Anzahl der k-dimensionalen Unterräume von V bestimmen.

      Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
    ant12
    Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-22


    Aber wie genau bestimme ich das so allgemein ?

      Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
    Nuramon
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-06-23

    \(\begingroup\)
    Kennst du Gruppenoperationen, insbesondere die Bahnformel? Wenn ja, hilft dir folgender Tipp?
    $GL(V)$ operiert transitiv auf der Menge der $k$-dimensionalen Untervektorräume von $V$.    \(\endgroup\)

      Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
    ant12
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-06-23


    Nein das sagt mir nichts

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    dromedar
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-06-23


    In diesem alten Thread gibt es Ansätze sowohl mit als auch ohne Benutzung der Bahnformel.

      Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
    AlgebraicInteger
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    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-06-23

    \(\begingroup\)
    Hallo,

    du musst die Anzahl der möglichen Basisvektoren bzw. linear unabhängigen Vektoren zählen. Ich fang mit dem 1-dim Unterräumen an:
    Es gibt $q^n$ Vektoren in $K^n$. Kannst du dir denken wieso? Alle Vektoren bis auf ein bestimmter Vektor würden einen 1-dim Unterraum aufspannen. Somit könnte man meinen, dass es $q^n-1$ verschiedene 1-dim Unterräume existiert. Aber auf passen! Für einen Vektor $v$ und $\operatorname{span}(v)$ gilt auch: $\lambda\cdot v\in\operatorname{span}(v)$ für $\lambda\in K$. Insbesondere gilt $\operatorname{span}(v)=\operatorname{span}(\lambda v)$ (Wieso?) Wir erhalten also für $i=1$ die folgende Anzahl:$$ \frac{q^n-1}{q-1}.$$
    Jetzt kann man ähnlich weiter fortfahren für $i\geq2$.

    Viele Grüße.

    [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]    \(\endgroup\)

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