Die Mathe-Redaktion - 19.12.2018 04:55 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 288 Gäste und 4 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von mire2 StrgAltEntf
Logik, Mengen & Beweistechnik » Aussagenlogik » Wie ist die Subjunktion "intuitiv" richtig zu verstehen?
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Kein bestimmter Bereich Wie ist die Subjunktion "intuitiv" richtig zu verstehen?
Cajetan
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 09.07.2018
Mitteilungen: 4
Aus: Saarland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-07-09


Ich befasse mich zurzeit mit den Grundlagen der Aussagenlogik, bin also noch recht am Anfang. Hierbei war die Frage interessant, welche Aussagenverknüpfungen extensional (also die Teilaussagen den Wahrheitswert der Gesamtaussage eindeutig bestimmen) und welche intensional (also die Teilaussagen den Wahrheitswert der Gesamtaussage nicht eindeutig bestimmen und daher von der Intension, dem Satzsinn, abhängig sind) sind.

Dabei konnte festgestellt werden, dass z.B. Aussagenverknüpfungen mit "oder" streng genommen nicht extensional sind, da es mitunter nicht immer klar ist, ob ein ausschließendes oder einschließendes "Oder" gemeint ist. An Beispielen wie diesen konnte ich mir das verdeutlichen: "Marie ist in der Schule oder ist zu Hause." In jenem Fall kann also eigentlich (Intension, d.h. Satzsinn) Marie nur in der Schule oder nur zuhause sein, aber nicht beides gleichzeitig, obwohl vielleicht die Aussagenverknüpfung "Oder" dies normalerweise andeutet. Hier wäre es also tatsächlich von der Intension her abhängig, ob es sich hier um ein einschließendes oder ausschließendes Oder handelt. Spezifischer sind natürlich einschließendes bzw. ausschließendes Oder selbst natürlich extensional, insofern also die Wahrheitswerte der Gesamtaussagen durch die Teilaussagen eindeutig bestimmt werden.

Das Problem aber stellte ich mitunter bei der Subjunktion, d.h. der "Wenn..., dann..." Verknüpfung fest. Paul Hoyningen-Huene meint, dass im Allgemeinen diese Verknüpfung intensional, nicht aber extensional sei. Allerdings erschließt sich mir das nicht ganz. Ein Versuch dies in typisch mathematischer Formalschreibweise darzustellen (eine Art Wahrheitswertefunktion) half mir hier nicht weiter:

fed-Code einblenden

Es ist schwierig es mit Worten zu beschreiben, aber während mir durchaus der logische Sinn klar vorschwebt, so erschließt sich mir das Verständnis nicht intuitiv, also so, dass es in mir klar und deutlich geistig erfassbar (ohne Worte) wird. Wieso soll die Subjunktion intensional, und nicht extensional sein? Das gleiche intuitive (und z.T. auch verstandeslogische) Problem betrifft auch die Wahrheitstabelle der Subjunktion.

Mir ist vollkommen (auch intuitiv) klar, dass aus zwei wahren Teilaussagen, die durch Subjunktion verknüpft sind, eine wahre Gesamtaussage hervorgeht. Auch aus zwei falschen Teilaussagen macht dies intuitiv Sinn, da man ja die Annahme macht, als "wäre es" wahr, sodass auch die Gesamtaussage wahr ist. "Wenn es rosa Elefanten gibt, dann gibt es auch fliegende Einhörner." Intuitiv leuchtet mir sofort ein, warum die Subjunktion wahr ist, natürlich aber beide Teilaussagen falsch sind. Auch die Aussage: "Wenn Berlin die Hauptstadt von Deutschland ist, dann ist 2 + 2 = 5" ist mir intuitiv verständlich, denn logisch, die Gesamtaussage ist falsch, da aus einer wahren Aussage eine falsche Folgeaussage gemacht wird. Berlin ist die Hauptstadt von D, aber deshalb ist 2 + 2 eben nicht gleich 5.

Kritisch für mich wird es aber nur ab einem Punkt, nämlich das die Subjunktion einer falschen und wahren Teilaussage selbst wieder wahr ist. Das hieße im Beispiel: "Wenn 2 + 2 = 5 ist, dann ist Berlin die Hauptstadt von Deutschland." --> Hier wird ja klar gesagt, "wenn" 2 + 2 = 5 ist, soll Berlin die Hauptstadt sein. Berlin ist aber ja die Hauptstadt von Deutschland, unabhängig davon ob jetzt 2 + 2 = 5 oder  2 + 2 = 4 sei. Da aber 2 + 2 eben nicht gleich 5, sondern 4 ist, kann ich unmöglich daraus eine wahre Aussage ableiten. Für mich wäre die Subjunktion daher falsch. Aber warum gilt sie (die Subjunktion) als "wahre" Aussage, wenn der Vordersatz falsch, der Folgesatz aber wahr ist?

MfG,
Tarek.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
buh
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.05.2001
Mitteilungen: 819
Aus: Deutschland-Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-09


Hi Cajetan,

Aus einer falschen Aussage kann man alles Mögliche ableiten. Denn da die Voraussetzung nicht eintritt, kann alles Mögliche als Folge erklärt werden; der Wahrheitswert der Folgerung hängt nicht von der Voraussetzung ab, da diese nicht eintritt.

Die Tatsache, dass Berlin Hauptstadt von Deutschland ist, ist keine Folgerung aus der Aussage "2+2=5".
Sie ist übrigens auch nicht Folgerung aus "2+2=4".

Die Wahrheit einer Subjunktion ist zwar abhängig von der Wahrheit der Teilaussagen, aber nicht umgekehrt: Aus der Wahrheit der Subjunktion kann nicht auf die Wahrheitswerte der Teilaussagen geschlossen werden.

Gruß von buh2k+18



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Cajetan
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 09.07.2018
Mitteilungen: 4
Aus: Saarland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-10


2018-07-09 23:19 - buh in Beitrag No. 1 schreibt:
Hi Cajetan,

Aus einer falschen Aussage kann man alles Mögliche ableiten. Denn da die Voraussetzung nicht eintritt, kann alles Mögliche als Folge erklärt werden; der Wahrheitswert der Folgerung hängt nicht von der Voraussetzung ab, da diese nicht eintritt.

Die Tatsache, dass Berlin Hauptstadt von Deutschland ist, ist keine Folgerung aus der Aussage "2+2=5".
Sie ist übrigens auch nicht Folgerung aus "2+2=4".

Die Wahrheit einer Subjunktion ist zwar abhängig von der Wahrheit der Teilaussagen, aber nicht umgekehrt: Aus der Wahrheit der Subjunktion kann nicht auf die Wahrheitswerte der Teilaussagen geschlossen werden.

Gruß von buh2k+18

Ah, ich verstehe. Ich denke, dass es bei mir an der Herleitung der eigentlichen (materialen) Implikation liegt. Anscheinend ist die Aussagenverknüpfung "Wenn A, dann B", die nicht extensional, sondern intensional ist, nicht das gleiche wie die intensionale Aussagenverknüpfung "A -> B", da man hier versucht einen extensionalen Anteil aus der Aussagenverknüpfungen herauszuisolieren, sodass keine unbestimmten Wahrheitswerte entstehen. Denn, nüchtern betrachtet muss man es so sehen:

Wir haben Aussage A und B. Wenn Aussage A und B wahr sind, dann ist die Gesamtaussage wahr. Ist A wahr, dagegen aber B falsch, so müsste "klassisch" eigentlich die Gesamtaussage auch falsch sein, da man ja gewissermaßen voraussetzt, dass mit der Wahrheit der Aussage A auch Aussage B wahr sein sollte, ansonsten ist die Gesamtaussage falsch.

Für einen unwahren Aszendens aus dem dann ein wahrer Konsequens folgt, kann eigentlich kein eindeutiger Wahrheitswert bestimmt werden. Das Gleiche wenn beide Teilaussagen falsch sind.

Ich glaube, dass ich ein Verständnis für die Herleitung der eigentlichen materialen Implikation benötige (A -> B). Ich komme leider nicht selbst ganz darauf bzw. es fällt mir ziemlich schwer.

MfG,
Tarek.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
buh
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.05.2001
Mitteilungen: 819
Aus: Deutschland-Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-07-19


Vergleiche die klassischen Wahrheitswertetafeln von   fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
sowie von fed-Code einblenden

mit

fed-Code einblenden fed-Code einblenden


Da die Wahrheitswerte übereinstimmen sollten (, wegen der logischen Äquivalenz, ) sollten auch die Werte auf extensionales/intensionales
fed-Code einblenden
übertragbar sein.






  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-08-03

\(\begingroup\)
Sehr gut, ich habe auch Hoyningen-Huene gelesen. Sein Buch und seine Vorlesung auf Youtube finde ich klasse.

Ich verstehe nicht, was du an Hoyningen-Huenes Argumenten für die Intensionalität der Wenn-dann-Verknüpfung auszusetzen hast. Auch deinen Versuch,  dies in typisch mathematischer Formalschreibweise darzustellen, habe ich nicht ansatzweise verstanden.

Ich stelle mal die Gegenfrage: Warum sollte die Wenn-dann-Beziehung extensional sein? Was spricht dafür? Probleme mit der Wahrheitstabelle nähern doch eher die Behauptung, dass es sich um eine intensionale Verknüpfung handelt.

2018-07-09 21:42 - Cajetan im Themenstart schreibt:
Mir ist vollkommen (auch intuitiv) klar, dass aus zwei wahren Teilaussagen, die durch Subjunktion verknüpft sind, eine wahre Gesamtaussage hervorgeht.

Wie kann dir das klar sein? Das würde ja bedeuten, dass zwischen je zwei beliebigen wahren Aussagen immer eine Wenn-dann-Beziehung besteht. Die beiden Aussagen können doch auch rein zufällig wahr sein, ohne dass es eine Beziehung zwischen ihnen gibt..

2018-07-09 21:42 - Cajetan im Themenstart schreibt:
Auch aus zwei falschen Teilaussagen macht dies intuitiv Sinn, da man ja die Annahme macht, als "wäre es" wahr, sodass auch die Gesamtaussage wahr ist. "Wenn es rosa Elefanten gibt, dann gibt es auch fliegende Einhörner." Intuitiv leuchtet mir sofort ein, warum die Subjunktion wahr ist, natürlich aber beide Teilaussagen falsch sind.

Das kann ich nicht nachvollziehen. Die bloße Annahme einer falschen Aussage als wahr, bewirkt doch nicht, dass man daraus eine andere falsche Aussage folgern darf.

2018-07-09 21:42 - Cajetan im Themenstart schreibt:
Auch die Aussage: "Wenn Berlin die Hauptstadt von Deutschland ist, dann ist 2 + 2 = 5" ist mir intuitiv verständlich, denn logisch, die Gesamtaussage ist falsch, da aus einer wahren Aussage eine falsche Folgeaussage gemacht wird. Berlin ist die Hauptstadt von D, aber deshalb ist 2 + 2 eben nicht gleich 5.

Das ist der einzige Fall, der in meinen Augen intuitiv ist. Denn die Wenn-dann-Beziehung sagt ja aus, dass bei wahrer Prämisse die Konklusion ebenfalls wahr ist. Da hier die Prämisse wahr, aber die Konklusion falsch ist, liegt hier keine Wenn-dann-Beziehung vor. Das Konditional ist dazu passenderweise falsch.

2018-07-09 21:42 - Cajetan im Themenstart schreibt:
Kritisch für mich wird es aber nur ab einem Punkt, nämlich das die Subjunktion einer falschen und wahren Teilaussage selbst wieder wahr ist. Das hieße im Beispiel: "Wenn 2 + 2 = 5 ist, dann ist Berlin die Hauptstadt von Deutschland." --> Hier wird ja klar gesagt, "wenn" 2 + 2 = 5 ist, soll Berlin die Hauptstadt sein. Berlin ist aber ja die Hauptstadt von Deutschland, unabhängig davon ob jetzt 2 + 2 = 5 oder  2 + 2 = 4 sei. Da aber 2 + 2 eben nicht gleich 5, sondern 4 ist, kann ich unmöglich daraus eine wahre Aussage ableiten. Für mich wäre die Subjunktion daher falsch. Aber warum gilt sie (die Subjunktion) als "wahre" Aussage, wenn der Vordersatz falsch, der Folgesatz aber wahr ist?

Ich frage mich, wieso du die anderen Fälle intuitiv findest. Diesen Fall finde ich nicht mehr oder minder intuitiv als die ersten beiden, die du unproblematisch findest.

2018-07-09 23:19 - buh in Beitrag No. 1 schreibt:
Aus einer falschen Aussage kann man alles Mögliche ableiten. Denn da die Voraussetzung nicht eintritt, kann alles Mögliche als Folge erklärt werden; der Wahrheitswert der Folgerung hängt nicht von der Voraussetzung ab, da diese nicht eintritt.

Das behaupten Mathematiker immer wieder und wieder. Ich finde die Begründung aber fadenscheinig. Wodurch erlaubt das Nicht-Eintreten der Prämisse (die ja nicht eintreten kann, weil sie falsch ist) das Schließen auf jede beliebige Konklusion. Genauso gut könnte man sagen, dass ein Schluss bei falscher Prämisse immer falsch ist, weil man ja von falschen Annahmen ausgeht. Mir fehlt schlichtweg die Begründung.

2018-07-10 00:11 - Cajetan in Beitrag No. 2 schreibt:
Ah, ich verstehe. Ich denke, dass es bei mir an der Herleitung der eigentlichen (materialen) Implikation liegt. Anscheinend ist die Aussagenverknüpfung "Wenn A, dann B", die nicht extensional, sondern intensional ist, nicht das gleiche wie die intensionale Aussagenverknüpfung "A -> B", da man hier versucht einen extensionalen Anteil aus der Aussagenverknüpfungen herauszuisolieren, sodass keine unbestimmten Wahrheitswerte entstehen.

Lass dich nicht verunsichern. Du bist auf dem richtigen Weg. Die meisten Mathematiker haben sich noch nie Gedanken über diesen Unterschied gemacht. Sie benutzen den Doppelpfeil sowohl für die Wenn-dann-Beziehung als auch für das Konditional. Hoyningen-Huene meint, dass das Konditional eine extensionale Bedeutungskomponente der Wenn-dann-Beziehung darstellt. Hoyningen-Huene definiert das Konditional \[A\rightarrow B\]  einfach als Abkürzung für \[\neg (A\wedge\neg B).\] Das macht er, weil der Fall \[A\wedge\neg B\] durch die Folgerungsbeziehung ausgeschlossen wird und deswegen die Negation hiervon wahr sein muss. Das Argument lieferst du selbst:

2018-07-10 00:11 - Cajetan in Beitrag No. 2 schreibt:
Ist A wahr, dagegen aber B falsch, so müsste "klassisch" eigentlich die Gesamtaussage auch falsch sein, da man ja gewissermaßen voraussetzt, dass mit der Wahrheit der Aussage A auch Aussage B wahr sein sollte, ansonsten ist die Gesamtaussage falsch.

So ist es.

2018-07-10 00:11 - Cajetan in Beitrag No. 2 schreibt:
Für einen unwahren Aszendens aus dem dann ein wahrer Konsequens folgt, kann eigentlich kein eindeutiger Wahrheitswert bestimmt werden. Das Gleiche wenn beide Teilaussagen falsch sind.

So behauptet es Hoyningen-Huene und ich finde seine Argumente stichhaltig.

(2018-07-10 00:11 - Cajetan in <a href=viewtopic.php?
Ich glaube, dass ich ein Verständnis für die Herleitung der eigentlichen materialen Implikation benötige (A -> B). Ich komme leider nicht selbst ganz darauf bzw. es fällt mir ziemlich schwer.

Die Sache ist auch komplizierter als viele Mitleser denken. Hoyningen-Huene liefert dir keine zufriedenstellende Antwort. Er verwendet später das Konditional für die Explikation der logischen Folgerungsbeziehung. Er ist aber so ehrlich, dass er alle Kontroversen offen anspricht. Ließ mal weiter bis zu den Paradoxien der materiellen Implikation. Erwarte aber nicht zu viel Hilfe von Mathematikern. Die legen immer die gleiche Platte auf. Bislang habe ich jeden Mathematiker, den ich gefragt habe, mit herunter gelassenen Hosen erwischt, wenn ich wirklich nachgebort habe.

Ich habe mir zu dem Thema einige Gedanken gemacht und ich glaube auch, dass ich eine Lösung gefunden habe, doch ist dieser Rand hier zu schmal, um sie zu fassen. Außerdem möchte ich wissen, was die mathematische Zunft zum Besten gibt, bevor ich mir die Mühe einer sehr langen Antwort gebe. Nur meine Schlussfolgerung möchte ich mitteilen: Am Ende meiner Beschäftigung mit der Frage habe ich meine Meinung geändert. Anders als Hoyningen-Huene gehe ich mittlerweile davon aus, dass die Wenn-dann-Beziehung extensional ist und durch das Konditional präzise wiedergegeben wird.

Liebe Grüße
n-tupel
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tobit09
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 24.04.2018
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-08-03


Hallo zusammen,

hier die Sichtweise eines Mathematikers (der als Nebenfach Mathematische Logik hatte):

1. Aussagen der Form "Wenn A, dann B" implizieren für mich NICHT:
"Es gibt eine Beziehung zwischen A und B" oder auch "Die Aussage 'Wenn A, dann B' ist eine 'sinnvolle' Erkenntnis".
Letztgenannte Aspekte sind für mich philosophische Fragestellungen, die NICHT Gegenstand der Logik sind.
Um den Sprachgebrauch "intensional vs. extensional" aufzunehmen: Für mich sind intensionale Bedeutungen nicht Gegenstand der Logik.

2. Warum ist die übliche Wahrheitstafel für Wenn-Dann sinnvoll?

(a) Sei F eine falsche Aussage und A eine beliebige Aussage.
Warum ist nun die Annahme der Gültigkeit von "Wenn F, dann A." sinnvoll?
Jemand, der "Wenn F, dann A." behauptet, sagt eben nur "WENN F, dann gilt A.". Da F nicht gilt, hat derjenige also gar nichts wirklich ausgesagt und somit auch nichts Falsches. Er hat also nur wahre Dinge gesagt.

(b) Sei W eine wahre Aussage und A eine beliebige Aussage.
Warum ist nun die Annahme der Gültigkeit von "Wenn A, dann W." sinnvoll?
Jemand, der "Wenn A, dann W." behauptet, behauptet unter Annahme von A die Gültigkeit von W. Da W sogar ohne die Annahme von A richtig ist, ist erst Recht W richtig, wenn wir zusätzlich noch A annehmen.

3. Mit (fast) jeder anderen Wahrheitstafel für "Wenn, dann" erhalten wir große Schwierigkeiten:
Nehmen wir mal die Aussage "Für jede reelle Zahl x gilt: Wenn x>5 ist, dann ist x>4.".
Die Aussage wollen wir natürlich als wahr ansehen.
Damit wir diese Aussage tatsächlich als wahr ansehen können, muss also "Wenn x>5 ist, dann ist x>4." für jede reelle Zahl x wahr sein, insbesondere z.B. für x=6 (w->w), x=5 (f->w) und x=4 (f->f).

Viele Grüße
Tobias



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Cajetan
Neu Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 09.07.2018
Mitteilungen: 4
Aus: Saarland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-04


Vielen Dank erstmal für die sehr ausführliche Antwort, n-tupel. Sie hat mir wirklich weiter geholfen. Auch deine Kritik meinem intuitiven Einsehen gegenüber ist absolut gerechtfertigt, denn ich habe hier wohl Hoyningen an einer Stelle stark missverstanden.

2018-08-03 01:17 - n-tupel in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich habe mir zu dem Thema einige Gedanken gemacht und ich glaube auch, dass ich eine Lösung gefunden habe, doch ist dieser Rand hier zu schmal, um sie zu fassen. Außerdem möchte ich wissen, was die mathematische Zunft zum Besten gibt, bevor ich mir die Mühe einer sehr langen Antwort gebe. Nur meine Schlussfolgerung möchte ich mitteilen: Am Ende meiner Beschäftigung mit der Frage habe ich meine Meinung geändert. Anders als Hoyningen-Huene gehe ich mittlerweile davon aus, dass die Wenn-dann-Beziehung extensional ist und durch das Konditional präzise wiedergegeben wird.

Nun, ich bin interessiert an deiner Lösung und sie könnte auch meinem Verständnis etwas weiter helfen. Wäre es dir möglich mir deine Lösung per Privatnachricht zukommen zu lassen?


MfG,
Tarek.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-08-04




Mein Lösungsweg ist in dem Diagramm beschrieben. Der Ansatz ist, dass ich das Konditional als Folgerung aus der Wenn-dann-Beziehung betrachte. In einem Ringschluss schließe ich dann über mehrere Schritte vom Konditional zurück auf die Wenn-dann-Beziehung. Da alle Aussagen im Ringschluss äquivalent sind, schließe ich daraus, dass das Konditional mit der Wenn-dann-Beziehung äquivalent ist.

Ich habe den Lösungsweg etwas ausführlicher aufgeschrieben und will ihn demnächst als PDF auf meiner Homepage veröffentlichen. Ich bin aber noch auf der Suche nach dem Hacken. Ich habe die Befürchtung, dass ich etwas übersehen habe. Gib mir noch ein paar Tage, um etwas daran zu feilen. Versuche doch derweil mal, den Ringschluss nachzuvollziehen. Vielleicht ist die Grafik ja Erklärung genug.

Liebe Grüße
n-tupel



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-08-04

\(\begingroup\)
Lieber Tobias,

2018-08-03 06:31 - tobit09 in Beitrag No. 5 schreibt:
1. Aussagen der Form "Wenn A, dann B" implizieren für mich NICHT:
"Es gibt eine Beziehung zwischen A und B" oder auch "Die Aussage 'Wenn A, dann B' ist eine 'sinnvolle' Erkenntnis".
Letztgenannte Aspekte sind für mich philosophische Fragestellungen, die NICHT Gegenstand der Logik sind.
Um den Sprachgebrauch "intensional vs. extensional" aufzunehmen: Für mich sind intensionale Bedeutungen nicht Gegenstand der Logik.

Du irrst dich, es handelt sich hierbei zwar um philosophische Fragen, sie sind aber durchaus Gegenstand der Logik. Sie sind nur nicht Gegenstand der mathematischen Logik. Ich persönlich finde es nicht richtig, dass man philosophische Aspekte der Mathematik konsequent ignoriert. Genausowenig kann ich es akzeptieren, wenn Philosophen sich einem mathematischen Zugang zur Sache verweigern. Hoyningen-Huene hat eine philosophische Einführung in die Logik geschrieben, aber er ist Physiker und in theoretischer Physik promoviert. Zu seiner Zeit bedeutete das eine fundierte mathematische Ausbildung. Wie er machen sich auch einige Mathematiker Gedanken über solche Grunbdlagenfrage und ich finde es falsch, diese Fragen einfach an der Grenze des Fachgebietes über den Tellerrand zu werfen und nie wieder hinterher zu schauen.

2018-08-03 06:31 - tobit09 in Beitrag No. 5 schreibt:

(a) Sei F eine falsche Aussage und A eine beliebige Aussage.
Warum ist nun die Annahme der Gültigkeit von "Wenn F, dann A." sinnvoll?
Jemand, der "Wenn F, dann A." behauptet, sagt eben nur "WENN F, dann gilt A.". Da F nicht gilt, hat derjenige also gar nichts wirklich ausgesagt und somit auch nichts Falsches. Er hat also nur wahre Dinge gesagt.


Wenn er nichts wirklich ausgesagt hat, hat er gewiss nichts falsches gesagt. Soweit ok. Aber warum hat er damit automatisch etwas richtiges gesagt? Die Begründung ist meiner Ansicht nach unsolide. Ich könnte genauso gut behaupten: Wenn er nichts ausgesagt hat, hat er insbesondere nichts wahres ausgesagt. Im Übrigen ist Wahr- und Falschsein auch nicht Gegenstand der mathematischen Logik. Mit den Kalkülen der mathematischen Logik kann man ohne jede derartige Auslegungen arbeiten.

2018-08-03 06:31 - tobit09 in Beitrag No. 5 schreibt:

(b) Sei W eine wahre Aussage und A eine beliebige Aussage.
Warum ist nun die Annahme der Gültigkeit von "Wenn A, dann W." sinnvoll?
Jemand, der "Wenn A, dann W." behauptet, behauptet unter Annahme von A die Gültigkeit von W. Da W sogar ohne die Annahme von A richtig ist, ist erst Recht W richtig, wenn wir zusätzlich noch A annehmen.


Wenn man jegliche Intensionalität des "Wenn A, dann W" leugnet, ist diese Argumentation nachvollziehbar. Hier geht es aber darum, einen handfesten Grund dafür anzugeben, warum man von jeglichem inhaltlichen Zusammenhang zwischen beiden Aussagen absehen kann. Ich kann nicht begreifen, wie so viele Mathematiker diese Frage schlichtweg ignorieren können.

2018-08-03 06:31 - tobit09 in Beitrag No. 5 schreibt:

3. Mit (fast) jeder anderen Wahrheitstafel für "Wenn, dann" erhalten wir große Schwierigkeiten:
Nehmen wir mal die Aussage "Für jede reelle Zahl x gilt: Wenn x>5 ist, dann ist x>4.".
Die Aussage wollen wir natürlich als wahr ansehen.
Damit wir diese Aussage tatsächlich als wahr ansehen können, muss also "Wenn x>5 ist, dann ist x>4." für jede reelle Zahl x wahr sein, insbesondere z.B. für x=6 (w->w), x=5 (f->w) und x=4 (f->f).


Was wir wollen, ist irrelevant. Wichtig ist nur, was vernünftig und vor allem folgerichtig ist. Bloß, weil wir wollen, dass eine Aussage für alle reellen Zahlen gilt, ist das noch lange kein Grund, dass sie es auch ist. Mir ist klar, dass man in der Mathematik oft Definitionen damit begründet, dass sie bestimmte Wunscheigenschaften erfüllen. Aber das hier ist keine x-beliebige algebraische Struktur, die man durch seine Definition erst zum Untersuchungsgegenstand macht und unabhängig von jeglichen Anwendungen studiert. Hier geht es darum, das logische Schließen abzubilden, da dürfen wir nicht einfach machen, was wir wollen. Nochmal: Ich will eine vernünftige Begründung haben! Ich hoffe nicht, dass Mathematiker irgendwelche gewichtigen Fakten ignorieren würden, weil sie unbequem sind.

Guck mal den Fall \(x=5\) an. Dann wird aus \[x>5 \Longrightarrow x>4\] die Aussage \[5>5 \Longrightarrow 5>4.\] Aus der falsche Aussage \(5>5\) folgt \(5>4\). Ich wage mal zu behaupten, dass andere Gründe das Wahrsein von \(5>4\) bedingen, aber nicht die falsche Aussage \(5>5\). Für mich ist es ein glückliche Fügung, dass diese Aussage für alle reellen Zahlen wahr ist. Aber wenn vernünftige Argumente dafür sprächen, dass diese Aussage eben nur für alle reellen Zahlen \(>5\) gilt, dann wäre das eben so und das müssten wir akzeptieren, selbst wenn es die Sache verkomplizieren würde. Ich bitte zu berücksichtigen, dass ich im Konjungtiv gesprochen habe. Ich weiß, dass die Aussage für alle reellen Zahlen wahr ist. Ich will nur einen besseren Grund als unsere Wunsch nach Problemvermeidung. Mir ist klar, dass alle anderen Varianten der Wahrheitstafel unpraktisch sind. Aber das ist irrelevant.

Liebe Grüße
Martin
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1444
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-08-05

\(\begingroup\) \(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}\)
@n-tupel Lass dir folgende Dinge gesagt sein:
* Die Per-Definition-Äquivalenz von $A\to B$ in deinem Diagramm mit  $\lnot(A \land \lnot B)$ ist Quatsch. (klassische-Logik-Bias)
* Mit "Wahrheitswerten" zu argumentieren ist auch meistens Quatsch. (klassische-Logik-Bias)
* Dass es "die eine wahre" implikationsartige Beziehung gebe, ist Quatsch. Besser ist, die verschiedenen Möglichkeiten zu vergleichen. Wenn du meinst, es müsse eine nichttriviale Beziehung geben, ist vielleicht Relevanzlogik das richtige Framework.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tobit09
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 24.04.2018
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-08-05


Hallo tactac,

bevor ich auf n-tupels Beitrag antworte kurz zu deinem Beitrag:

Auch auf meinen Beitrag ist natürlich deine Kritik, dass er nur auf klassische Logik Bezug nimmt, anwendbar.

Danke für deinen Hinweis auf das Thema Relevanzlogik! Mir war nämlich gar nicht klar, dass sich das Gedankengut, bei "Wenn A, dann B." müsse es einen Bezug zwischen A und B geben, in eine präzise Logik gießen lässt.

Viele Grüße
Tobias



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tobit09
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 24.04.2018
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-08-05

\(\begingroup\)
Hallo n-tupel!

2018-08-03 06:31 - tobit09 in Beitrag No. 5 schreibt:
1. Aussagen der Form "Wenn A, dann B" implizieren für mich NICHT:
"Es gibt eine Beziehung zwischen A und B" oder auch "Die Aussage 'Wenn A, dann B' ist eine 'sinnvolle' Erkenntnis".
Letztgenannte Aspekte sind für mich philosophische Fragestellungen, die NICHT Gegenstand der Logik sind.
Um den Sprachgebrauch "intensional vs. extensional" aufzunehmen: Für mich sind intensionale Bedeutungen nicht Gegenstand der Logik.
Ich korrigiere mich nach tactacs Einwand: Es muss hier überall "klassische Logik" anstelle von "Logik" heißen. Im Rahmen der mir bis dato unbekannten Relevanzlogik lassen sich solche Fragestellungen entgegen meiner ursprünglichen Aussage doch zum Gegenstand (auch mathematischer) Logik machen.

2018-08-04 23:31 - n-tupel in Beitrag No. 8 schreibt:
Ich persönlich finde es nicht richtig, dass man philosophische Aspekte der Mathematik konsequent ignoriert.
Ich finde philosophische Aspekte der Mathematik höchst interessant!


2018-08-03 06:31 - tobit09 in Beitrag No. 5 schreibt:
(a) Sei F eine falsche Aussage und A eine beliebige Aussage.
Warum ist nun die Annahme der Gültigkeit von "Wenn F, dann A." sinnvoll?
Jemand, der "Wenn F, dann A." behauptet, sagt eben nur "WENN F, dann gilt A.". Da F nicht gilt, hat derjenige also gar nichts wirklich ausgesagt und somit auch nichts Falsches. Er hat also nur wahre Dinge gesagt.

2018-08-04 23:31 - n-tupel in Beitrag No. 8 schreibt:
Wenn er nichts wirklich ausgesagt hat, hat er gewiss nichts falsches gesagt. Soweit ok. Aber warum hat er damit automatisch etwas richtiges gesagt?
Betrachten wir mal endlich viele Aussagen \(A_1,A_2,\ldots,A_n\).
Jemand behauptet die Gültigkeit aller Aussagen \(A_1,A_2,\ldots,A_n\).
Wann hat er Recht? Genau dann, wenn er mit allen n Aussagen \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) Recht hat.
Wenn hat er Unrecht? Genau dann, wenn er mit mindestens einer der n Aussagen \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) Unrecht hat.

Ist nun n=0 (d.h. er hat gar nichts behauptet), hat er weder etwas Richtiges noch etwas Falsches behauptet.
Insgesamt hat er jedoch damit Recht: Hätte er Unrecht, hätte er wie gerade festgestellt mit mindestens einer der Aussagen \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) Unrecht haben müssen.

2018-08-04 23:31 - n-tupel in Beitrag No. 8 schreibt:
Die Begründung ist meiner Ansicht nach unsolide. Ich könnte genauso gut behaupten: Wenn er nichts ausgesagt hat, hat er insbesondere nichts wahres ausgesagt.
Ja, das kannst du auch sagen, ist aber irrelevant:
Im Falle n=0 hat er mit keiner der n Aussagen \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) etwas Wahres gesagt, aber er hat mit ALLEN Aussagen \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) die Wahrheit gesagt und damit insgesamt Recht.

2018-08-04 23:31 - n-tupel in Beitrag No. 8 schreibt:
Im Übrigen ist Wahr- und Falschsein auch nicht Gegenstand der mathematischen Logik. Mit den Kalkülen der mathematischen Logik kann man ohne jede derartige Auslegungen arbeiten.
Richtig ist, dass syntaktische Folgerungskalküle (und nichtklassische Logiken) meist ohne Wahr- und Falschsein auskommen. Aber im Rahmen der Semantik der klassischen Aussagenlogik arbeitet man auch in der Mathematischen Logik mit Wahrheitswerten.
Ich habe Hoyningens Vorlesung so in Erinnerung (ist allerdings schon länger her...), dass er sehr auf Wahrheitswerte fokussiert ist. Und die Ausgangsfrage war ja: Warum betrachtet man Wahrheitswerte so, wie man es üblicherweise tut.

2018-08-04 23:31 - n-tupel in Beitrag No. 8 schreibt:
Wenn man jegliche Intensionalität des "Wenn A, dann W" leugnet, ist diese Argumentation nachvollziehbar. Hier geht es aber darum, einen handfesten Grund dafür anzugeben, warum man von jeglichem inhaltlichen Zusammenhang zwischen beiden Aussagen absehen kann.
Warum sollte man das nicht können? Ich finde es sehr intuitiv, von jeglichem inhaltlichen Zusammenhang abzusehen. Das kannst du natürlich anders sehen. Dann müsstest du dich eben mit Relevanzlogik statt mit klassischer Logik beschäftigen. Ich vermute aber, dich würden dann andere noch weniger intuitive Dinge stören.

2018-08-04 23:31 - n-tupel in Beitrag No. 8 schreibt:
Ich kann nicht begreifen, wie so viele Mathematiker diese Frage schlichtweg ignorieren können.
Für die meisten Mathematiker ist klassische Aussagenlogik selbstverständlich. Sie beschäftigen sich gar nicht mit anderen Logiken.


2018-08-03 06:31 - tobit09 in Beitrag No. 5 schreibt:

3. Mit (fast) jeder anderen Wahrheitstafel für "Wenn, dann" erhalten wir große Schwierigkeiten:
Nehmen wir mal die Aussage "Für jede reelle Zahl x gilt: Wenn x>5 ist, dann ist x>4.".
Die Aussage wollen wir natürlich als wahr ansehen.
Damit wir diese Aussage tatsächlich als wahr ansehen können, muss also "Wenn x>5 ist, dann ist x>4." für jede reelle Zahl x wahr sein, insbesondere z.B. für x=6 (w->w), x=5 (f->w) und x=4 (f->f).

2018-08-04 23:31 - n-tupel in Beitrag No. 8 schreibt:
Guck mal den Fall \(x=5\) an. Dann wird aus \[x>5 \Longrightarrow x>4\] die Aussage \[5>5 \Longrightarrow 5>4.\] Aus der falsche Aussage \(5>5\) folgt \(5>4\).
Genau.

2018-08-04 23:31 - n-tupel in Beitrag No. 8 schreibt:
Ich wage mal zu behaupten, dass andere Gründe das Wahrsein von \(5>4\) bedingen, aber nicht die falsche Aussage \(5>5\).
Das betrachtet man in der klassischen Logik als irrelevant.

2018-08-04 23:31 - n-tupel in Beitrag No. 8 schreibt:
Was wir wollen, ist irrelevant. Wichtig ist nur, was vernünftig und vor allem folgerichtig ist.
Ich finde die klassische Aussagenlogik vernünftig.
Das kann man anders sehen und eine andere Logik (z.B. eine Relevanzlogik) "wählen".
Welche Logik man "wählt", ist schon eine Sache dessen, was man will. Dabei kann eine Rolle spielen, welche Konsequenzen man praktisch findet und welche nicht.
Was folgerichtig ist, hängt vom Folgerungsbegriff ab und der wiederum von der gewählten Logik.

Viele Grüße
Tobias
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tobit09
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 24.04.2018
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-08-05

\(\begingroup\)
Hallo nochmal,

2018-08-04 21:52 - n-tupel in Beitrag No. 7 schreibt:


Wenn man unter \(\Rightarrow\) und \(\rightarrow\) jeweils die "gewöhnliche" Implikation der klassischen Logik versteht, sind in der Tat alle "eingekästelten" Formeln in der klassischen Logik äquivalent.
(Dass \(A\Rightarrow B\) und\(\neg(A\wedge\neg B)\) in der klassischen Logik äquivalent sind, kann man auch einfacher einsehen, aber ich finde es nicht schlimm, wenn man ohne entsprechende mathematische Erfahrung Umwege macht.)

Ob sie auch im Rahmen einer Relevanzlogik äquivalent sind, weiß ich nicht. Wenn sie es sein sollten, müsste natürlich der Beweis dazu "relevanzlogisch korrekt" sein.

Viele Grüße
Tobias
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-08-06

\(\begingroup\)
Hallo tactac,

2018-08-05 02:29 - tactac in Beitrag No. 9 schreibt:
* Die Per-Definition-Äquivalenz von $A\to B$ in deinem Diagramm mit  $\lnot(A \land \lnot B)$ ist Quatsch. (klassische-Logik-Bias)

Das ist kein Quatsch! Es ist geläufig, das Konditional einfach als Abkürzung für \(\neg(A\wedge\neg B)\) zu definieren. Das habe ich mir nicht ausgedacht. Prof. Hoyningen macht das im Übrigen auch so. Aber mir ist natürlich bewusst, dass es bei vielen Leuten der Autorität eines Professors bedarf, damit Argumente nicht einfach niedergebügelt werden. Damit kann ich leider nicht dienen.

2018-08-05 02:29 - tactac in Beitrag No. 9 schreibt:
* Mit "Wahrheitswerten" zu argumentieren ist auch meistens Quatsch. (klassische-Logik-Bias)

Könntest du deine Behauptungen auch begründen? Könntest du deinen Begriff "klassische-Logik-Bias" in diesem Zusammenhang erläutern?

2018-08-05 02:29 - tactac in Beitrag No. 9 schreibt:
* Dass es "die eine wahre" implikationsartige Beziehung gebe, ist Quatsch.

Ich wiederhole mich nicht gern, aber könntest du das Begründen? Hier gibt es Leute, die sich wirklich viel Mühe geben und ich denke, sie verdienen eine Antwort.

2018-08-05 02:29 - tactac in Beitrag No. 9 schreibt:
* Besser ist, die verschiedenen Möglichkeiten zu vergleichen. Wenn du meinst, es müsse eine nichttriviale Beziehung geben, ist vielleicht Relevanzlogik das richtige Framework.

Relevanzlogik oder mehrwertige Logiken wären ein saurer Apfel. Wir haben bereits eine Logik, die im Dienste der Mathematik fest im Sattel sitzt. Anstatt jemanden die Beschäftigung mit nicht klassischen Logiken nahezulegen und damit der Frage auszuweichen, könnte man auch versuchen, die normale Aussagenlogik mit guten Argumenten zu Begründen.

Ich will keine andere Logik. Die Aussagenlogik ist gut so, wie sie ist. Ich will nur ein schlagendes Argument dafür haben, dass man bei der Wenn-dann-Beziehung von der Intensionalität absieht. Diese Frage ist enrnstzunehmen und kein Quatsch.

Gruß
Martin
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-08-06

\(\begingroup\)
Nun habe ich mir etwas Zeit genommen, um meinen Ringschluss zu erklären.



Zunächst verwende ich die Schreibweise \(A\Rightarrow B\) für die metasprachliche Wenn-Dann-Beziehung. Dabei mache ich keine Annahmen über Extensionalität oder Intensionalität. Intuitiv würden Menschen wie Prof. Hoyningen, Tarek oder ich, davon ausgehen, dass es sich um eine intensionale Verknüpfung handelt. Ich will es offen lassen. Es ist einfach das umgangssprachliche "Wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr". Alle Doppelpfeile sind in diesem umgangssprachlichen Sinne zu verstehen. Der Ringschluss ist in diesem Sinne ein metalogischer.

Die Explikation der Folgerungsbeziehung muss dann so erfolgen, dass alle verwendeten Schlussfiguren im Ringschluss als korrekte Schlüsse gelten. Damit verlange ich zunächst mehr Adäquatheitsbedingungen als Prof. Hoyningen. Am Ende stellt sich zwar heraus, dass diese zusätzlichen Bedingungen redundant sind, dafür sind sie aber sehr plausibel, wenn man sie erst einmal verstanden hat. Wer von Anfang an den Doppelpfeil als Konditional liest und achtlos die Äquivalenz aller logischen Formeln zeigt, kommt auch auf die Äquivalenz, hat aber meinen Ansatz nicht verstanden. So lange bis der Ringschluss fertig ist, darf man nur Schlussweisen verwenden, die eine mögliche Intensionalität der Folgerungsbeziehung berücksichtigen. Das macht die Schlüsse in manchen Schritten etwas komplizierter. Erst wenn der Ringschluss geschlossen ist, hat man die Äquivalenz aller Aussagen und damit die Extensionalität der Folgerungsbeziehung gezeigt.

Im ersten Schritt folgere ich aus \(A\Rightarrow B\) die extensionale Aussage \(\neg(A\wedge \neg B)\), die per Definition auch als Konditional bezeichnet werden kann, was tactac jedoch für Quatsch hält. Hoyningen bezeichnet es als extensionale Bedeutungskomponente der Wenn-dann-Beziehung. Ich bezeichne es eher als Folgerung.

In Schritt II verwende ich die übliche Regel zur Negation einer Konjunktion. In Schritt III konjugiere ich die Aussage \(\neg\neg B \Leftrightarrow B\) hinzu, um in Schritt IV das \(\neg\neg B \) durch ein \( B\) zu ersetzen.

Der Schritt V ist wohl der wichtigste. Man kann ihn wohl am leichteste mit der Aussage eines Polizisten verstehen: \[\text{Du gehst nicht weiter, oder ich schieße.}\] Jeder weiß, dass der Polizist in wirklichkeit meint: \[\text{ Wenn du nicht stehen bleibst, dann schieße ich.}\] In diesem Fall etwas präziser: \[\text{ Wenn du nicht nicht weiter gehst, dann schieße ich.}\] Diese Aussage wird der flüchtige Verbrecher gewiss intensional verstehen. Daher steht nach diesem Schritt wieder die metasprachliche Wenn-Dann-Beziehung. Beim Ersetzen der doppelten Verneinung muss man nun etwas aufpassen. Es geht nicht so einfach wie zuvor bei dem doppelt verneinten B. Das doppelt verneinte B war nämlich eine Teilaussage in einer extensional verknüpften Aussage und man konnte beim Ersetzen durch das gleiche Verhalten bei allen extensionalen Interpretationen der zugehörigen logischen Formen argumentieren. Dieses Argument ist aber nicht mehr zulässig, solange man die Intensionalität nicht ausschließen kann. Stattdessen konjugiere ich die Aussage \(A\Rightarrow \neg\neg A\), um hinterher mit der Transitivität der Folgerungsbeziehung zu \(A\Rightarrow B\) überzugehen.

Gruß
Martin
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tobit09
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 24.04.2018
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-08-06

\(\begingroup\)
Hallo Martin,

du möchtest also a priori \(A\Rightarrow B\) nicht klassisch aussagenlogisch verstehen, sondern lässt insbesondere zu, dass \(A\Rightarrow B\) eine Bedeutung haben könnte, die einen "inhaltlichen Zusammenhang" (was auch immer das genau heißen mag) zwischen A und B impliziert.

Schritt V halte ich in diesem (natürlich noch unpräzisen Sinne) für einen Fehlschluss: Damit \(\neg A\vee B\) gilt, muss zwischen A und B sicherlich kein "inhaltlicher Zusammenhang" bestehen. Unter \(\neg\neg A\Rightarrow B\) könnte jedoch ein "inhaltlicher Zusammenhang" gefordert sein.

Du begründest Schritt V mit einem Beispiel, in dem die meisten einen "inhaltlichen Zusammenhang" sehen. Aber es gibt sicherlich auch Aussagen A und B mit \(\neg A\vee B\), zwischen denen die meisten keinen "inhaltlichen Zusammenhang" sehen. Und für solche Aussagen wäre Schritt V eben falsch.

Viele Grüße
Tobias
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-08-06

\(\begingroup\)
Hallo Tobias.

2018-08-06 20:08 - tobit09 in Beitrag No. 15 schreibt:
du möchtest also a priori \(A\Rightarrow B\) nicht klassisch aussagenlogisch verstehen, sondern lässt insbesondere zu, dass \(A\Rightarrow B\) eine Bedeutung haben könnte, die einen "inhaltlichen Zusammenhang" (was auch immer das genau heißen mag) zwischen A und B impliziert.

Ja, das ist die Idee. Ich will so vorsichtig wie möglich sein. Deswegen behaupte ich nicht, dass eine solche Bedeutung existiert. Aber ich will sie auch nicht ausschließen. Die Worte "a priori" würde ich auch nicht gebrauchen, ich bin bei Begriffen, die von Philosophen geprägt werden immer sehr unsicher, ob ich sie richtig verstehe.

2018-08-06 20:08 - tobit09 in Beitrag No. 15 schreibt:
Schritt V halte ich in diesem (natürlich noch unpräzisen Sinne) für einen Fehlschluss: Damit \(\neg A\vee B\) gilt, muss zwischen A und B sicherlich kein "inhaltlicher Zusammenhang" bestehen. Unter \(\neg\neg A\Rightarrow B\) könnte jedoch ein "inhaltlicher Zusammenhang" gefordert sein.

Bis zu einer erfolgreichen Explikation sind die Begriffe immer unpräzise. Das liegt in der Natur der Sache. Die Explikation soll ja erst den Begriff präzisieren, dabei aber das unscharfe Vorverständnis soweit wie möglich berücksichtigen.

2018-08-06 20:08 - tobit09 in Beitrag No. 15 schreibt:
Du begründest Schritt V mit einem Beispiel, in dem die meisten einen "inhaltlichen Zusammenhang" sehen. Aber es gibt sicherlich auch Aussagen A und B mit \(\neg A\vee B\), zwischen denen die meisten keinen "inhaltlichen Zusammenhang" sehen. Und für solche Aussagen wäre Schritt V eben falsch.

Die Schlussweise ist an den Modus tollendo ponens angelehnt. In der Tat ist es der Schritt, bei dem ich immer noch ein komisches Bauchgefühl habe. Aber deinen Kritikpunkt teile ich nicht, denn die Schlussweise hängt nicht vom inhaltlichen Zusammenhang ab. Wenn ich weiß, dass eine Aussage \(X\vee Y\) gilt, schließe ich daraus, wenn \(\neg X\) wahr ist, dann muss \(Y\) wahr sein. Wenn nämlich \(X\vee Y\) wahr ist, sind \(X\) oder \(Y\) wahr. Wenn es aber nicht \(X\) ist, muss es folglich \(Y\) sein. Die Schlussfigur des Modus tollendo ponens ist \[\begin{matrix}p\vee q\\
\neg p\\
\hline q
\end{matrix}.\] Meine Variante dieser Schlussweise ist
\[\frac{p\vee q}{\neg p\Rightarrow q}.\] Mir ist noch kein rechtes Argument gegen diese Schlussfigur eingefallen. Das Beispiel mit dem Polizisten ist wirklich nur ein Beispiel. Hoyningen hat ein anderes Beispiel. Ich versuche es aus dem Gedächtnis wiederzugeben.

Papa ließt aus der Speisekarte vor: "Als Dessert gibt es immer Eis oder Pudding."
Der Kellner ruft: "Es gibt kein Eis."
Die Tochter antwortet: "Dann gibt es Pudding."

Meine Sichtweise ist, dass man aus der Angabe des Vaters schließen kann: "Wenn es kein Eis gibt, dann gibt es Pudding."

Tatsächlich lassen sich Wenn-dann-Aussagen als Oder-Aussagen auffassen, es entspricht nur nicht dem üblichen Sprachgebrauch. Das Oder fasse ich extensional auf. Soweit meine Idee. Für weitere Argumente, die gegen Schritt V oder einen anderen Schritt sprechen, bin ich offen.

Auch danke, dass du dich auf die Sache eingelassen und auch auf Schritt V hingewiesen hast. Hier bin ich für jede Hilfe dankbar.

Beste Grüße
Martin
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tobit09
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 24.04.2018
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-08-07

\(\begingroup\)
Guten Morgen Martin!

2018-08-06 22:09 - n-tupel in Beitrag No. 16 schreibt:
Meine Variante dieser Schlussweise ist
\[\frac{p\vee q}{\neg p\Rightarrow q}.\]
Diese Schlussweise ist völlig korrekt, wenn man sie klassisch aussagenlogisch betrachtet.

Wie ich dich verstehe, möchtest du aber unter \(\Rightarrow\) eben zunächst einmal nicht zwangsläufig das klassisch aussagenlogische "Wenn, dann" verstehen, sondern auch solche Sichtweisen berücksichtigen, die z.B. "Wenn die Erde keine Scheibe ist, ist 2+2=4." nicht als wahre Aussage akzeptieren.

Für p="Die Erde ist eine Scheibe." und q="2+2=4" gilt zwar \(p\vee q\), aber für jemanden mit der gerade beschriebenen Sichtweise eben nicht \(\neg p\Rightarrow q\), so dass der Schluss von \(p\vee q\) auf \(\neg p\Rightarrow q\) falsch ist.

Viele Grüße
Tobias
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-08-07

\(\begingroup\)
Hallo Tobias.

2018-08-07 06:55 - tobit09 in Beitrag No. 17 schreibt:
Wie ich dich verstehe, möchtest du aber unter \(\Rightarrow\) eben zunächst einmal nicht zwangsläufig das klassisch aussagenlogische "Wenn, dann" verstehen

Ja.

2018-08-07 06:55 - tobit09 in Beitrag No. 17 schreibt:
, sondern auch solche Sichtweisen berücksichtigen, die z.B. "Wenn die Erde keine Scheibe ist, ist 2+2=4." nicht als wahre Aussage akzeptieren.

Nein. Bei einer Sichtweisen, die "Wenn die Erde keine Scheibe ist, ist 2+2=4." nicht als wahre Aussage akzeptiert, legt man sich ja bereits auf ein Verständnis der Wenn-dann-Beziehung fest. Das lehne ich jedoch ab, ich lasse es komplett offen, was die Wenn-dann-Beziehung für Eigenschaften hat. In dem Augenblick, in dem ich mich auf die Intensionalität oder ein anderes Verständnis der Wenn-dann-Beziehung kapriziere, brauche ich ja keine Explikation mehr, sondern habe ja bereits meinen Glauben gefasst. Wer den Intensionalen Standpunkt vertritt, muss den Ringschluss ablehnen, weil er ja gerade die Extensionalität zeigen soll.

Ich will keine Aspekte der Wenn-dann-Beziehung ausnutzen, der über die Bedeutung der Worte „Wenn“ und „Dann“ hinaus geht. Solche Aspekte sind ohnehin kontrovers und eignen sich deshalb nicht für die Explikation. Statt dessen will ich nur mit den unstrittigen Aspekten Arbeiten. Das ist eben die wortwörtliche Bedeutung von „Wenn X wahr ist, dann ist auch Y wahr.“ Das einzige, was diese Formulierung behauptet, ist dass Y wahr ist, wenn X wahr ist. Das ist die Bedeutung von \(X\Rightarrow Y\). Wenn es andere Bedeutungen mit sich trägt, verwende ich sie nicht, so lange bis sie argumentativ unterfüttert sind.

Ich sehe deshalb nicht, weshalb der Schluss der Form
\[\frac{p\vee q}{\neg p\Rightarrow q}.\] unzulässig ist.

Einen Aspekt habe ich noch nicht genannt, weil er wieder etwas ausführlicher ist. Er wird aber auch keine schnelle Klärung liefern. Mal sehen, ob ich morgen die Zeit dafür habe.

Beste Grüße
Martin
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tobit09
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 24.04.2018
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2018-08-08

\(\begingroup\)
Hallo Martin,

2018-08-07 23:36 - n-tupel in Beitrag No. 18 schreibt:

2018-08-07 06:55 - tobit09 in Beitrag No. 17 schreibt:
, sondern auch solche Sichtweisen berücksichtigen, die z.B. "Wenn die Erde keine Scheibe ist, ist 2+2=4." nicht als wahre Aussage akzeptieren.

Nein. Bei einer Sichtweisen, die "Wenn die Erde keine Scheibe ist, ist 2+2=4." nicht als wahre Aussage akzeptiert, legt man sich ja bereits auf ein Verständnis der Wenn-dann-Beziehung fest. Das lehne ich jedoch ab, [...]
Ersetze in meiner Formulierung die Worte "Sichtweisen berücksichtigen"
durch die Worte "Sichtweisen nicht von vornherein ausschließen" und lies dir mit dieser Änderung bitte noch einmal meinen letzten vorherigen Beitrag durch.

2018-08-07 23:36 - n-tupel in Beitrag No. 18 schreibt:
ich lasse es komplett offen, was die Wenn-dann-Beziehung für Eigenschaften hat.
Nein, das tust du offenbar nicht. Du erwartest von ihr z.B., dass die Schlussregel \[\frac{p\vee q}{\neg p\Rightarrow q}.\] gültig ist. (Sie ist übrigens sicherlich in manchen Logiken korrekt, in anderen nicht.)
Was du also eigentlich zeigst, ist: Mit gewissen Schlussregeln der klassischen Aussagenlogik lässt sich die Äquivalenz von \(A\Rightarrow B\) und \(\neg(A\wedge\neg B)\) zeigen.

2018-08-07 23:36 - n-tupel in Beitrag No. 18 schreibt:
Ich will keine Aspekte der Wenn-dann-Beziehung ausnutzen, der über die Bedeutung der Worte „Wenn“ und „Dann“ hinaus geht. Solche Aspekte sind ohnehin kontrovers und eignen sich deshalb nicht für die Explikation.
Offenbar gibt es nicht DIE Bedeutung der Wenn-Dann-Beziehung, sondern unterschiedliche Bedeutungen. (Du kannst natürlich sagen: Die Bedeutung von \(\Rightarrow\) im Sinne der klassischen Logik.)

2018-08-07 23:36 - n-tupel in Beitrag No. 18 schreibt:
Statt dessen will ich nur mit den unstrittigen Aspekten Arbeiten.
Warum soll die Schlussregel \[\frac{p\vee q}{\neg p\Rightarrow q}.\] unstrittig sein?

2018-08-07 23:36 - n-tupel in Beitrag No. 18 schreibt:
Das ist eben die wortwörtliche Bedeutung von „Wenn X wahr ist, dann ist auch Y wahr.“ Das einzige, was diese Formulierung behauptet, ist dass Y wahr ist, wenn X wahr ist. Das ist die Bedeutung von \(X\Rightarrow Y\). Wenn es andere Bedeutungen mit sich trägt, verwende ich sie nicht, so lange bis sie argumentativ unterfüttert sind.
Wenn du etwas aus einer \(\Rightarrow\)-Aussage folgern willst, kannst du natürlich mit "Teilaspekten" arbeiten. Aber wenn du eine \(\Rightarrow\)-Aussage zeigen möchtest, reicht es natürlich nicht aus, nur einen Teilaspekt zu zeigen!!!
Und siehe da: Bei \[\frac{p\vee q}{\neg p\Rightarrow q}.\] versuchst du auf eine \(\Rightarrow\)-Aussage zu schließen!


Übrigens muss nicht ich begründen, warum der Schluss \[\frac{p\vee q}{\neg p\Rightarrow q}.\] im Allgemeinen nicht korrekt ist, sondern du müsstest begründen, warum dieser Schluss auf bei einem beliebigen Verständnis von \(\Rightarrow\) und für beliebige Aussagen p und q korrekt sein soll. (Eine solches Unterfangen ist natürlich zum Scheitern verurteilt.)

Viele Grüße
Tobias
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2018-08-08

\(\begingroup\)
Guten Abend Tobias.

2018-08-08 04:36 - tobit09 in Beitrag No. 19 schreibt:
2018-08-07 23:36 - n-tupel in Beitrag No. 18 schreibt:
ich lasse es komplett offen, was die Wenn-dann-Beziehung für Eigenschaften hat.
Nein, das tust du offenbar nicht. Du erwartest von ihr z.B., dass die Schlussregel \[\frac{p\vee q}{\neg p\Rightarrow q}.\] gültig ist.

Da hast du natürlich Recht. So war es aber auch nicht gemeint. Ich habe geschrieben, dass ich keinen Aspekte der Wenn-dann-Beziehung ausnutze, der über die Bedeutung der Worte „Wenn“ und „Dann“ hinaus geht. So ist es gemeint. Das ist kein beliebiges Begriffsverständnis, sondern eher ein Minimalkonsens. Nach meinem Dafürhalten ist die Schlussfigur mit dem Sinn dieser beiden Worte begründbar.

Wenn ich eine Aussage der Form \(X\vee Y\) voraussetze, lasse ich mich für den Fall \[X:\text{Die Erde ist eine Scheibe}\] und \[Y:2+2=4\] bereits auf die schwachsinnige, aber wahre Aussagen \[X\vee Y:\text{Die Erde ist eine Scheibe oder 2+2=4}\] ein. Das passiert nicht erst beim Übergang zu \(\neg X\Rightarrow Y\). In der Logik muss man sich schließlich immer auf Prämissen einlassen können. Manche Prämissen sind nun mal schwachsinnig. Es steckt eben im Wort „Wenn“, dass man sich soweit von den Prämissen distanziert, dass man ihr Wahrsein annehmen kann.

Und WENN ich nun diese Aussage \(X\vee Y\) akzeptiert habe, wie kann ich dann die Aussage \[\neg X \Rightarrow Y\] bzw. \[\text{Wenn die Erde keine Scheibe ist, dann ist 2+2=4}\] nicht akzeptieren? Das zwingen doch die Bedeutung von "Wenn" und "dann" auf. Wenn \(\neg X\) wahr ist, dann ist \(Y\) wahr ist, ansonsten wäre die Annahme \(X\vee Y\) ja nicht wahr. Ich kann daran nichts falschen sehen.

Ich habe aber einen anderen Gesichtspunkt versprochen und will den auch liefern. Ich finde nämlich den folgenden Punkt problematisch:

\(\neg X\Rightarrow Y\) stellt in diesem Fall natürlich keinen wirklichen Zusammenhang zwischen \(\neg X\) und \(Y\) her. Der Zusammenhang wird vielmehr durch die Annahme der Aussage \(X\vee Y\) von außen herangetragen. Hier sehe ich eine Angreifbarkeit. Für mich stellt sich nämlich die Frage, ob für die Akzeptanz eines Schlusses der Form \(p\Rightarrow q\) nur die Aussagen selbst oder auch andere Aussagen abseits der im Schluss vorkommenden Aussagen hinzugezogen werden dürfen. Wenn nämlich die Aussage \(X\vee Y\) verschwindet, würde auch \(\neg X\Rightarrow Y\) verschwinden. Diesen Gedanken kann man verallgemeinern.

\[\begin{matrix}A\\
V\\
\hline B
\end{matrix}.\]
Hier folgt aus einer Aussage \(A\) zusammen mit einer weiteren Voraussetzung \(V\) die Aussage \(B\). Die Voraussetzung \(V\) ist hier also der Umstand, der den Schluss von \(A\) auf \(B\) erlaubt. In diesem Sinne könnte man den Schluss auch durch
\[\begin{matrix}V\\
\hline A\Rightarrow B
\end{matrix}.\] beschreiben.

Die Voraussetzung \(V\) stiftet also ein Zusammenhang zwischen den Aussagen \(A\) und \(B\), der nicht direkt mit den Aussagen \(A\) und \(B\) begründet werden kann. Im mathematischen Alltag beweist man Aussage ja auch durch Bezugnahme auf andere bereits bewiesene Aussagen oder Axiome. Wenn ich etwa eine Aussage über natürliche Zahlen folgere, müsste ich den Prämissen immer eine Form der Peano-Axiome hinzufügen. Auch Alltagsbeispiele nehmen immer Bezug auf Fakten, die nicht explizit in den Prämissen genannt werden. Die Frag ist, soll man das zulassen?

Schlüsse, zwischen zwei Aussagen, die ganz ohne dritte Aussagen auskommen, sind gar nicht so alltäglich. Mir fallen nur Beispiele ein, die aufgrund ihrer logischen Form einen Schluss erlauben. Etwa \[\frac{A\wedge B}B \qquad \text{oder} \qquad \frac{A}{A\vee B}\] Für mich steht eher die Frage im Raum, ob man sich auf solche Schlussweisen, die ohne Bezug auf andere Aussagen auskommen, beschränken muss. Bei Der Explikation der Folgerungsbeziehung geht Hoyningen so vor, dass er fordert, dass eine logische Form des Konditionals eine logische Wahrheit sein muss. Wenn ich das tue, beschränke ich mich von vornherein auf Schlüsse, die aufgrund ihrer logischen Form Gültigkeit haben. Das ist auch eine Variante, um alle nicht extensionalen Aspekte abzustreifen.

Mir fällt es jedenfalls leichter, meine Schlussfigur zu akzeptieren, als willkürlich w's in die Wahrheitstafel des Konditionals zu schreiben und dieses Werk zur Explikation der Folgerungsbeziehung einzusetzen.

Gruß
Martin
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tobit09
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 24.04.2018
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2018-08-09

\(\begingroup\)
Guten Morgen Martin!

Vorweg folgende Frage, auf die ich im Laufe dieses Beitrags zurückkomme: Ich nehme an, du akzeptierst auch die Schlussregel \(\frac{\neg p\vee q}{p\Rightarrow q}\)?

2018-08-08 22:51 - n-tupel in Beitrag No. 20 schreibt:
Und WENN ich nun diese Aussage X∨Y akzeptiert habe, wie kann ich dann die Aussage
¬X⇒Y
bzw.
Wenn die Erde keine Scheibe ist, dann ist 2+2=4
nicht akzeptieren?
Ich hatte dich so verstanden, dass Tarek, Hoyningen und du in der Tat "Die Erde ist eine Scheibe oder 2+2=4." als wahr akzeptiert, aber "Wenn die Erde keine Scheibe ist, dann ist 2+2=4" intuitiv nicht (weil die "intensionale Bedeutungskomponente" nicht berücksichtigt sei).
Auch die Relevanzlogiken ziehen ihre Motivation offenbar aus einer solchen Sichtweise, die "oder" klassisch Versteht, das "wenn, dann" jedoch nicht klassisch.

2018-08-08 22:51 - n-tupel in Beitrag No. 20 schreibt:
Mir fällt es jedenfalls leichter, meine Schlussfigur zu akzeptieren, als willkürlich w's in die Wahrheitstafel des Konditionals zu schreiben und dieses Werk zur Explikation der Folgerungsbeziehung einzusetzen.
Diese Sichtweise überrascht mich, aber dann motivieren wir doch die w's mit "meiner" eingangs dieses Beitrags genannten Schlussregel:

Seien A und B Aussagen.
Ist B wahr, so ist \(\neg A\vee B\) wahr und somit nach dieser Schlussregel auch \(A\Rightarrow B\) wahr.
Ist A falsch, so ist \(\neg A\) wahr und damit auch \(\neg A\vee B\) wahr und somit nach der genannten Schlussregel \(A\Rightarrow B\) wahr.

Stimmst du mir zu, dass diese Argumentation einfacher ist als dein Ringschluss?

Ich bin gespannt, was du von meiner Argumentation hältst.

(Ich selber finde sie nicht sonderlich sinnvoll, da ich die Wahrheitswerte für selbstverständlicher halte als die Schlussregel, aber das siehst du ja offenbar anders.)


2018-08-08 22:51 - n-tupel in Beitrag No. 20 schreibt:
Im mathematischen Alltag beweist man Aussage ja auch durch Bezugnahme auf andere bereits bewiesene Aussagen oder Axiome. Wenn ich etwa eine Aussage über natürliche Zahlen folgere, müsste ich den Prämissen immer eine Form der Peano-Axiome hinzufügen. Auch Alltagsbeispiele nehmen immer Bezug auf Fakten, die nicht explizit in den Prämissen genannt werden. Die Frag ist, soll man das zulassen?
In der Mathematik würde ich keine "Aussagen" wie "Die Erde ist eine Scheibe." betrachten.
Bei der Frage, ob man immer explizit erwähnen sollte, wenn man z.B. die Peano-Axiome zugrundelegt, bin ich zwiegespalten: Auf der einen Seite wünsche ich mir mehr "logische Exaktheit" als sie im mathematischen Alltag üblicherweise praktiziert wird. Auf der anderen Seite wird man nicht in jedem Text alle verwendeten "allgemein akzeptierten" Axiome (und auch Schlussweisen) explizit thematisieren, da man damit vom "eigentlichen Inhalt" des Textes wegkommen würde. Auf alle Fälle sollte es aus meiner Sicht ausreichen, zu Beginn eines Textes einmal zu schreiben "Wir arbeiten unter Annahme der Peano-Axiome." und dann nicht bei jedem mathematischen Satz die Worte "Seien die Peano-Axiome angenommen." voranzustellen.

Viele Grüße
Tobias
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2018-08-11

\(\begingroup\)
Guten Abend Tobias. Ich hoffe, du hast noch mit mir gerechnet.

2018-08-09 06:51 - tobit09 in Beitrag No. 21 schreibt:
Vorweg folgende Frage, auf die ich im Laufe dieses Beitrags zurückkomme: Ich nehme an, du akzeptierst auch die Schlussregel \(\frac{\neg p\vee q}{p\Rightarrow q}\)?

Nicht direkt. Ich akzeptiere zunächst erst mal nur \[\frac{\neg p\vee q}{\neg\neg p\Rightarrow q}.\] Für die Ersetzung von \(\neg \neg p\) durch \(p\) habe ich ja einen zusätzlichen Argumentationsschritt geführt, indem ich \(p\Rightarrow \neg\neg p\) und die Transitivität voraussetze.

2018-08-09 06:51 - tobit09 in Beitrag No. 21 schreibt:
2018-08-08 22:51 - n-tupel in Beitrag No. 20 schreibt:
Und WENN ich nun diese Aussage X∨Y akzeptiert habe, wie kann ich dann die Aussage
¬X⇒Y
bzw.
Wenn die Erde keine Scheibe ist, dann ist 2+2=4
nicht akzeptieren?
Ich hatte dich so verstanden, dass Tarek, Hoyningen und du in der Tat "Die Erde ist eine Scheibe oder 2+2=4." als wahr akzeptiert, aber "Wenn die Erde keine Scheibe ist, dann ist 2+2=4" intuitiv nicht (weil die "intensionale Bedeutungskomponente" nicht berücksichtigt sei).
Auch die Relevanzlogiken ziehen ihre Motivation offenbar aus einer solchen Sichtweise, die "oder" klassisch Versteht, das "wenn, dann" jedoch nicht klassisch.

Ich mag ungern für andere sprechen. Hier liegt überdies eine andere Situation vor. Es geht ja nicht nur um die Aussage \(\neg X \Rightarrow Y\), sondern zusätzlich auch um die als wahr vorausgesetzte Aussage \(X \vee Y\). Die Aussage \(X \vee Y\) stiftet den Zusammenhang, der bei der alleinigen Betrachtung von \(\neg X \Rightarrow Y\) nicht erkennbar ist. Sonst würde ich die Wenn-dann-Beziehung hier keinesfalls annehmen. Aber im Unterschied zu Hoyningen würde ich sie auch nicht leugnen.

2018-08-09 06:51 - tobit09 in Beitrag No. 21 schreibt:
2018-08-08 22:51 - n-tupel in Beitrag No. 20 schreibt:
Mir fällt es jedenfalls leichter, meine Schlussfigur zu akzeptieren, als willkürlich w's in die Wahrheitstafel des Konditionals zu schreiben und dieses Werk zur Explikation der Folgerungsbeziehung einzusetzen.
Diese Sichtweise überrascht mich, aber dann motivieren wir doch die w's mit "meiner" eingangs dieses Beitrags genannten Schlussregel:

Seien A und B Aussagen.
Ist B wahr, so ist \(\neg A\vee B\) wahr und somit nach dieser Schlussregel auch \(A\Rightarrow B\) wahr.
Ist A falsch, so ist \(\neg A\) wahr und damit auch \(\neg A\vee B\) wahr und somit nach der genannten Schlussregel \(A\Rightarrow B\) wahr.

Stimmst du mir zu, dass diese Argumentation einfacher ist als dein Ringschluss?

Deine Argumentation ist ja im Ringschluss enthalten. Du hast nur die Substitution der doppelten Verneinung nicht explizit erwähnt. Ich nehme an, deswegen hast du mich am Anfang gefragt, ob ich die Schlussfigur \[\frac{\neg p\vee q}{p\Rightarrow q}\] akzeptiere. Hätte ich das ohne Einschränkung getan, müsste ich deine verkürzte Schlussweise akzeptieren. Aber in die Falle bin ich dir wohl nicht gegangen.

Abgesehen von der Auslassung der Substitution fasst deine Argumentation die Schritte V, VI und VII im Ringschluss zusammen. Damit hast du gezeigt, dass \(\neg A\vee B\) eine hinreichende Bedingung für \(A\Rightarrow B\) ist. Und unter anderem ist der Ringschluss ja dafür da. Du hast nichts anderes gemacht als ich im Ringschluss. Der Ringschluss ist ja nur so lang, weil ich die doppelten Verneinungen nicht einfach durch die ursprüngliche Aussage ersetze. Natürlich verkürzt sich die Sache, wenn man die Ersetzung stillschweigend ohne Begründung vornimmt, was ich nicht gutheißen mag. Es gibt im Übrigen noch eine andere Stelle, an der man den Ringschluss abkürzen kann. Da \(\neg (A\wedge \neg B)\) und \(\neg A \vee B\) beide extensional sind, genügt ein Vergleich der Wahrheitstafel, um deren Äquivalenz zu zeigen.



Du hast nur die Fälle berücksichtigen, bei denen \(\neg A\vee B\) wahr ist. Das sind ja gerade die Fälle, in denen man die w's für \(A\Rightarrow B\) motivieren will. Das gelingt dir damit auch, keine Frage. Für das "f" bleiben wir bei aber Hoyningens Begründung. Ich nehme mal an, du willst auch zeigen, dass \(\neg A\vee B\) eine notwendige Bedingung für \(A\Rightarrow B\) ist. Die Begründung würde dann so lauten, dass der Fall, der durch Hoyningens Argument abgedeckt ist, genau der ist, der bei deiner Betrachtung fehlt und dass \(\neg A\vee B\) dabei den gleichen Wahrheitswert wie \(A\Rightarrow B\) hat. Mithin sind in allen Fällen die Wahrheitswerte von \(A\Rightarrow B\) und \(\neg A\vee B\) identisch und somit beide Aussagen äquivalent. Diese Begründung ersetzt die Schritte I bis IV.

Obwohl deine Argumentative stichhaltig ist, mag ich sie nicht, denn sie verschleiert die Gründe, warum man überhaupt die Aussage \(\neg A\vee\ B\) betrachtet. Die Motivation hierfür ist Schritt I und die Äquivalenz von \(\neg (A \wedge \neg B)\) und \(\neg A \vee B\). Abgesehen davon ist der kritischste Punkt der Schritt V und der ist in deiner Arumentation genauso enthalten.

2018-08-09 06:51 - tobit09 in Beitrag No. 21 schreibt:
Bei der Frage, ob man immer explizit erwähnen sollte, wenn man z.B. die Peano-Axiome zugrundelegt, bin ich zwiegespalten: Auf der einen Seite wünsche ich mir mehr "logische Exaktheit" als sie im mathematischen Alltag üblicherweise praktiziert wird. Auf der anderen Seite wird man nicht in jedem Text alle verwendeten "allgemein akzeptierten" Axiome (und auch Schlussweisen) explizit thematisieren, da man damit vom "eigentlichen Inhalt" des Textes wegkommen würde. Auf alle Fälle sollte es aus meiner Sicht ausreichen, zu Beginn eines Textes einmal zu schreiben "Wir arbeiten unter Annahme der Peano-Axiome." und dann nicht bei jedem mathematischen Satz die Worte "Seien die Peano-Axiome angenommen." voranzustellen.

Ich bin hier auch im Zwiespalt. Aber für mich ist das mehr als nur eine Stilfrage. Davon hängt es ab, ob man einen Schluss als gültig oder nicht gültig ansieht. Nach der Explikation von Hoyningen sind Schlüsse, die auf andere Voraussetzungen als die Prämissen zurückgreifen, keine gültigen Schlüsse. Er expliziert, dass ein Schluss \(A\Rightarrow B\) gültig ist, wenn eine logische Form des Konditionals \(A \rightarrow B\) eine tautologische Formel ist, d.h. bei jeder extensionalen Interpretation wahr ist. Wenn es andere Voraussetzungen für den Schluss gibt, müssen diese als Teil der Prämissen aufgefasst werden. Damit würde aber der Schritt V in Frage gestellt. Alternativ könnte ich von \(\neg A \vee B\) zu \[(\neg\neg A \wedge (\neg A \vee B))\Rightarrow B\] übergehen und hoffen, dass ich dann irgendwie bei \(A\Rightarrow B\) ankomme. Da sehe ich aber kein Weiterkommen.

Viele Grüße
Martin
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tobit09
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 24.04.2018
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2018-08-12

\(\begingroup\)
Hallo Martin,

jetzt kann ich deine Vorgehensweise nachvollziehen. Ich finde deine Analyse zu unseren beiden Argumentationen sehr treffend.

Deine Argumentation zeigt (noch unpräzise gesprochen): Wenn gewisse Eigenschaften des klassisch aussagenlogischen \(\rightarrow\) auch für \(\Rightarrow\) anstelle von \(\rightarrow\) gelten, dann stimmt \(\Rightarrow\) schon mit \(\rightarrow\) überein.
Mit den besagten Eigenschaften ist gemeint (auch noch unpräzise formuliert):

1. \(\frac{A\Rightarrow B}{A\rightarrow B}\)

2. \(\frac{A\vee B}{\neg A\Rightarrow B}\)

3. \(\frac{ }{A\Rightarrow \neg\neg A}\)

4. \(\frac{A\Rightarrow B, B\Rightarrow C}{A\Rightarrow C}\).


Aus philosophischer Sicht würde jemand, der eine andere Bedeutung von \(\Rightarrow\) bevorzugt, eben auf mindestens eine der Eigenschaften 1. bis 4. verzichten. Vermutlich wäre 2., evt. auch 4. unter den nicht akzeptierten Eigenschaften.

Wenn jemand in den nächsten Tagen Interesse anmeldet, kann ich gerne einen mathematischen Satzes formulieren, der deine Idee präzisiert.
Insbesondere würde ich dann ein semantisches "Framework" formulieren, das eine präzise Definition des Extensionalitätsbegriffes erlaubt.

Zum Beispiel der Peano-Axiome:
2018-08-11 23:23 - n-tupel in Beitrag No. 22 schreibt:
Ich bin hier auch im Zwiespalt. Aber für mich ist das mehr als nur eine Stilfrage. Davon hängt es ab, ob man einen Schluss als gültig oder nicht gültig ansieht. Nach der Explikation von Hoyningen sind Schlüsse, die auf andere Voraussetzungen als die Prämissen zurückgreifen, keine gültigen Schlüsse.
Die Peano-Axiome SIND häufig Teil der Prämisse, auch wenn man sie nicht jedesmal explizit erwähnt.

2018-08-11 23:23 - n-tupel in Beitrag No. 22 schreibt:
Er expliziert, dass ein Schluss \(A\Rightarrow B\) gültig ist, wenn eine logische Form des Konditionals \(A \rightarrow B\) eine tautologische Formel ist, d.h. bei jeder extensionalen Interpretation wahr ist.
Wenn wir uns über logische Grundlagenfragen unterhalten, sollten wir sauber zwischen \(I\models A\Rightarrow B\) (d.h. "unter Interpretation I ist \(A\Rightarrow B\) wahr") und \(\models A\Rightarrow B\) (d.h. unter JEDER Interpretation I gilt \(I\models A\Rightarrow B\), abgekürzt durch: "\(A\Rightarrow B\) ist eine Tautologie") unterscheiden.
\(A\Rightarrow B\) kann durchaus unter einer konkreten Interpretation wahr sein, ohne dass \(A\Rightarrow B\) eine Tautologie ist.

Viele Grüße
Tobias
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2018-08-12

\(\begingroup\)
Hallo Tobias.

2018-08-12 13:06 - tobit09 in Beitrag No. 23 schreibt:
jetzt kann ich deine Vorgehensweise nachvollziehen. Ich finde deine Analyse zu unseren beiden Argumentationen sehr treffend.

Ganz ehrlich, ich bin erleichtert. Ich will ja niemanden dazu bringen, an meine Ringschluss zu glauben. Ich bin ja selber im Zweifel. Die Anerkennung der Argumente als diskussionswürdig liegt mir aber am Herzen.

2018-08-12 13:06 - tobit09 in Beitrag No. 23 schreibt:
Deine Argumentation zeigt (noch unpräzise gesprochen): Wenn gewisse Eigenschaften des klassisch aussagenlogischen \(\rightarrow\) auch für \(\Rightarrow\) anstelle von \(\rightarrow\) gelten, dann stimmt \(\Rightarrow\) schon mit \(\rightarrow\) überein.
Mit den besagten Eigenschaften ist gemeint (auch noch unpräzise formuliert):

1. \(\frac{A\Rightarrow B}{A\rightarrow B}\)

2. \(\frac{A\vee B}{\neg A\Rightarrow B}\)

3. \(\frac{ }{A\Rightarrow \neg\neg A}\)

4. \(\frac{A\Rightarrow B, B\Rightarrow C}{A\Rightarrow C}\).

Ich finde es gar nicht so unpräzise. Aber ich bin vielleicht auch zu sehr involviert. Schade, dass außer uns niemand mehr zum Thema beigetragen hat.

2018-08-12 13:06 - tobit09 in Beitrag No. 23 schreibt:
Aus philosophischer Sicht würde jemand, der eine andere Bedeutung von \(\Rightarrow\) bevorzugt, eben auf mindestens eine der Eigenschaften 1. bis 4. verzichten. Vermutlich wäre 2., evt. auch 4. unter den nicht akzeptierten Eigenschaften.

Mich würde interessieren, was Prof. Hoyningen dazu sagt. Ich habe sein Buch gerade nicht zur Hand, deswegen kann ich nicht überprüfen, ob ich ihn immer richtig verstanden habe, oder ihm gar Argumente unabsichtlich in den Mund gelegt habe.

2018-08-12 13:06 - tobit09 in Beitrag No. 23 schreibt:
Wenn jemand in den nächsten Tagen Interesse anmeldet, kann ich gerne einen mathematischen Satzes formulieren, der deine Idee präzisiert.
Insbesondere würde ich dann ein semantisches "Framework" formulieren, das eine präzise Definition des Extensionalitätsbegriffes erlaubt.

Ich bin dankbar für das Angebot und habe großes Interesse daran. Haben wir noch Mitleser?

2018-08-12 13:06 - tobit09 in Beitrag No. 23 schreibt:
2018-08-11 23:23 - n-tupel in Beitrag No. 22 schreibt:
Er expliziert, dass ein Schluss \(A\Rightarrow B\) gültig ist, wenn eine logische Form des Konditionals \(A \rightarrow B\) eine tautologische Formel ist, d.h. bei jeder extensionalen Interpretation wahr ist.
Wenn wir uns über logische Grundlagenfragen unterhalten, sollten wir sauber zwischen \(I\models A\Rightarrow B\) (d.h. "unter Interpretation I ist \(A\Rightarrow B\) wahr") und \(\models A\Rightarrow B\) (d.h. unter JEDER Interpretation I gilt \(I\models A\Rightarrow B\), abgekürzt durch: "\(A\Rightarrow B\) ist eine Tautologie") unterscheiden.
\(A\Rightarrow B\) kann durchaus unter einer konkreten Interpretation wahr sein, ohne dass \(A\Rightarrow B\) eine Tautologie ist.

Mit den üblichen Schreibweisen der mathematischen Logik bin ich gar nicht vertraut. Ich habe mal den Ebbinghaus in die Hand genommen, fand die Darstellung aber nur mäßig zum Selbststudium geeignet. Und da ich gerade keinen mathematischen Logiker am Telefon hatte, konnte ich einige Fragen im Zusammenhang mit dem Lehrbuch nicht klären. Deshalb habe ich nicht weiter gelesen. Ich bin durch unseren Dialog aber motiviert, das Buch noch einmal zu sichten.

Wenn ich mich aber an den Begriff der Interpretation noch richtig erinnere, beinhaltet er Belegungen aller Konstanten-, Funktions- und Relationssymbole. Das ist in der Prädikatenlogik ja sinnvoll. Ich weiß aber nicht mehr, ob der Begriff der extensionalen Interpretation darin aufgetaucht ist. Das ist nämlich ein rein aussagelogischer Begriff. Auch an den Begriff der (aussage)logischen Formen kann ich mich im Ebbinghaus nicht erinnern. Meine gesamte Argumentation hat ja niemals Bezug auf Prädikatenlogik genommen, sondern ist auf der Ebene der Aussagelogik verortet. Wenn ich mich recht erinnere, fängt man in der mathematischen Logik gleich mit Prädikatenlogik an. Mich würde aber durchaus der Blick durch die prädikatenlogische Brille interessieren.

Ich glaube, Hoyningen benutzt das Wort Tautologie nicht. Er benutzt den Begriff der logischen Wahrheit. Damit meint er Aussagen, die  wahr sind,  unabhängig davon, welche Wahrheitswerte die Teilaussagen, aus denen sie zusammengesetzt ist, haben. Bei der Zerlegung in Teilaussagen lässt er auch unterschiedliche Feinheiten zu. So kann man etwa \(A\), \(B\) und \(C\) als Teilaussagen von \(A\wedge B \wedge C\) auffassen. Andererseits ist auch \(A\wedge B\) eine gröbere Teilaussage. Wenn man aber von einer Zerlegung in Teilaussagen ausgeht, die jeweils nicht weiter zerlegt werden können, kommt man eindeutig zur feinkörnigsten Zerlegung. Wenn man in einer Zerlegung alle Teilaussagen durch Platzhalter ersetzt, gelangt man zu einer logischen Form. Die feinkörnigste logische Form ist eindeutig bestimmt. Unter einer extensionalen Interpretation versteht er eine Belegung der Platzhalter mit Wahrheitswerten. Ich weiß nicht, ob solche Konzepte überhaupt in der mathematischen Logik betrachtet werden. Ich vermute, es sind nur Präkonzepte für die "richtigen" Begriffe der mathematischen Logik. Ich versuche mich mal etwas einzulesen.

Viele Grüße
Martin
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tobit09
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 24.04.2018
Mitteilungen: 19
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2018-08-13

\(\begingroup\)
Hallo Martin,

man kann auch in der Mathematischen Logik Aussagenlogik anstelle von Prädikatenlogik betreiben. Dann scheint mir das dort typischerweise anzutreffende aussagenlogische Konzept einer Interpretation mit dem Hoyningens einer extensionalen Interpretation im Wesentlichen übereinzustimmen.

Nun mein Vorschlag einer Präzisierung der Vorstellung, dass es auch intensionale Junktoren geben könnte, und einer Formulierung deiner Idee als präzisen Mathematischen Satz in diesem Zusammenhang:


1. Logische Welten

Unter einer "logischen Welt" (kein Standardbegriff, sondern von mir für diese Zwecke erdacht) möchte ich eine beliebige Menge \(\mathfrak{A}\) zusammen mit einer Abbildung \(v\colon\mathfrak{A}\to\{\mbox{wahr},\mbox{falsch}\}\) verstehen.

Was ist damit anschaulich gemeint? Unter \(\mathfrak{A}\) möchte ich mir die Gesamtheit aller "Aussagen" in der jeweiligen "logischen Welt" vorstellen.
Die Abbildung v ordnet jeder "Aussage" A einen Wahrheitswert v(A) zu (nämlich entweder wahr oder falsch).

2. Junktoren

Sei durch \(\mathfrak{A}\) und \(v\) eine logische Welt gegeben. Unter einem binären Junktor j verstehe ich eine Abbildung \(j\colon\mathfrak{A}\times\mathfrak{A}\to\mathfrak{A}\).

Anschaulich ordnet also ein binärer Junktor je zwei Aussagen Aussagen A und B eine weitere Aussage j(A,B) zu.

Analog verstehe ich unter einem unären Junktor j eine Abbildung \(j\colon\mathfrak{A}\to\mathfrak{A}\).

Ein unärer Junktor ordnet also jeder Aussage A eine weitere Aussage j(A) zu.

3. Klassische Junktoren

Ein unärer Junktor \(j\) heißt "klassische Negation", falls für alle Aussagen \(A\) gilt: v(j(A))=wahr gilt genau dann, wenn v(A)=falsch gilt.

Anschaulich heißt dies: "Wahrheitswertemäßig" verhält sich j wie "die klassische Negation".

Ein binärer Junktor \(j\) heißt "klassische Disjunktion", falls für alle Aussagen \(A\) und \(B\) gilt: v(j(A,B))=wahr gilt genau dann, wenn v(A)=wahr oder v(B)=wahr gilt.

Ein binärer Junktor \(j\) heißt "klassische Implikation", falls für alle Aussagen \(A\) und \(B\) gilt: v(j(A,B))=wahr gilt genau dann, wenn nicht gleichzeitig v(A)=wahr und v(B)=falsch gelten.

4. Extensionalität

Ein binärer Junktor j heißt extensional, falls für alle Aussagen \(A_1,A_2,B_1,B_2\) mit \(v(A_1)=v(A_2)\) und \(v(B_1)=v(B_2)\) gilt: \(v(j(A_1,B_1))=v(j(A_2,B_2))\).

Das drückt anschaulich gesprochen genau aus: Der Wahrheitswert von j(A,B) hängt nur von den Wahrheitswerten von A und B ab.

Analog definiert man die Extensionalität von unären Junktoren.

Beispielsweise sind klassische Negationen, klassische Disjunktionen und klassische Implikationen stets extensional.

5. Mathematischer Satz

Sei durch \(\mathfrak{A}\) und \(v\) eine logische Welt gegeben.
Seien \(\neg\) eine klassische Negation, \(\vee\) eine klassische Disjunktion und \(\rightarrow\) eine klassische Implikation in dieser logischen Welt. (Ich schreibe der Lesbarkeit willen im Folgenden z.B. \(A\rightarrow B\) anstelle von \(\rightarrow(A,B)\).)
Sei \(\Rightarrow\) ein weiterer Junktor in dieser logischen Welt, der folgende Eigenschaften hat:

1. Für alle Aussagen A und B mit \(v(A\Rightarrow B)=wahr\) ist auch \(v(A\rightarrow B)=wahr\).
2. Für alle Aussagen A und B mit \(v(A\vee B)=wahr\) ist auch \(v(\neg A\Rightarrow B)=wahr\).
3. Für alle Aussagen A gilt \(v(A\Rightarrow \neg\neg A)=wahr\).
4. Für alle Aussagen A, B und C mit \(v(A\Rightarrow B)=wahr\) und \(v(B\Rightarrow C)=wahr\) ist auch \(v(A\Rightarrow C)=wahr\).

Dann gilt für alle Aussagen A und B die Gleichheit \(v(A\Rightarrow B)=v(A\rightarrow B)\).
Insbesondere ist \(\Rightarrow\) extensional.


Wenn irgendetwas unklar/unverständlich ist, einfach gerne nachfragen.

Viele Grüße
Tobias
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2018-08-14


Hallo Tobias,

vielen Dank für deine Zusammenfassung. Ich fand sie sehr gut verständlich. Ich denke, damit ist der Thread sinnvoll abgeschlossen.

Besten Dank und Grüße
Martin



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Cajetan hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]