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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » monotone Folge von Funktionen
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Universität/Hochschule monotone Folge von Funktionen
Emma22
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-07-20

\(\begingroup\)
Hallo :)
Ich hätte mal wieder eine Frage an euch :P

Falls eine Folge $f_n$ von Funktionen punktweise monoton steigt,

daher $f_k(x)\leq f_{k+1}(x)  \forall x $.

Folgt damit schon die Existenz einer Grenzwertfunktion $F:=\lim\limits_{n\rightarrow\infty} f_n$ ?

oder muss man noch vorher annemhen dass die Folge $f_n$ beschränkt ist?
(eigentlich nicht falls man zulässt das F unendliche Werte annehmen kann oder?)

Vielen Dank und liebe Grüße :)
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-20

\(\begingroup\)
Hey Emma22,

du hast eigentlich schon alles richtig gesagt. Wenn man \(F\) auch den Wert \(+\infty\) annehmen lassen will, benötigt man keine Beschränktheit der \(f_k\). Will man aber eine reellwertige Grenzfunktion \(F\) haben, dann sollte \(f_k\) punktweise beschränkt sein, d.h.
Für alle \(x \in (\text{was auch immer})\) existiert ein \(C>0\), sodass für alle \(k \in \mathbb{N}\) gilt: \(|f(x)| \leq C\).
\(\endgroup\)


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Wauzi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.06.2004
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-07-21


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Primzahlen sind auch nur Zahlen



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Emma22
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-21


Vielen Dank für eure Antworten :)

Hallo Wauzi,
tut mir leid, aber ich sehe nicht warum dein Bsp nicht auch zu mindest Punktweise gegen eine Grenzwertfunktion konvergieren sollte?

LG :)



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Wauzi
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Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11227
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-07-21


Na gut, im Nullpunkt.
Dann nimm eben statt 1+|x| 2+|x|, dann geht alles gegen unendlich. Und unendlich ist kein Element von IR



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dromedar
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Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-07-21

\(\begingroup\)
2018-07-21 15:44 - Wauzi in Beitrag No. 4 schreibt:
Und unendlich ist kein Element von IR

2018-07-20 23:26 - Kampfpudel in Beitrag No. 1 schreibt:
Wenn man \(F\) auch den Wert \(+\infty\) annehmen lassen will, benötigt man keine Beschränktheit der \(f_k\). Will man aber eine reellwertige Grenzfunktion \(F\) haben, dann sollte \(f_k\) punktweise beschränkt sein [...]
\(\endgroup\)


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