Die Mathe-Redaktion - 16.11.2018 11:21 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 740 Gäste und 22 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Folgen und Reihen » Ungewöhnliche Reihen mit sin(n) und ln(n) auf Konvergenz untersuchen
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Ungewöhnliche Reihen mit sin(n) und ln(n) auf Konvergenz untersuchen
Marie97
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.07.2018
Mitteilungen: 20
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-07-20

\(\begingroup\)
Hallo, liebe Community.

Ich schreibe am in 3 Tagen eine Klausur und wollte als Vorbereitung mir noch ein paar ungewöhnliche Reihen nehmen und sie auf Konvergenz untersuchen. Hat ganz gut geklappt, bis auf 2 Stück. Dann bin ich mir nicht sicher, wie genau ich da rangehen muss.


1. ) \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{sin(n)}{n}\)

2. ) \(\sum\limits_{n=2}^{\infty} (-1)^n * \frac{1}{ln(n)}\)



Mein Ansatz zu 1.)
___________________

Um die Konvergenz zu zeigen, habe ich mir das Trivialkriterium ausgesucht.


Da \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{sin(n)}{n} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} sin(n)* \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = sin(n) * 0 = 0\)


Da \(a_n\) eine Nullfolge ist, ist die Reihe \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{sin(n)}{n}\) konvergent. Aber wie kann ich bei dieser Reihe absolute Konvergenz nachweisen oder wiederlegen?

Mit dem Wurzelkriterium funktioniert das schonmal nicht, da ich am Ende den Limes von der n-ten Wurzel aus sin(n) habe, wobei sin(n) entweder 1, -1 oder 0 sein kann.

Mit dem Quotientenkriterium komme ich wegen der Umformung auch nicht weiter. Hat jemand dazu eine Idee?



Mein Ansatz zu 2.)
___________________


Da behaupte ich, dass die Reihe zwar konvergiert, aber nicht absolut konvergiert.

Die Konvergenz zeige ich durch das Leibnizkriterium:

Dabei muss ja \(a_n\) eine monoton fallende oder wachsende Nullfolge sein.


\(\rightarrow \vert \frac{1}{ln(n+1}*\frac{ln(n)}{1} \vert = \vert \frac{ln(n)}{ln(n+1)} \vert < 1\), also ist die Folge \(a_n = \frac{1}{ln(n)}\) monoton fallend.



Und da ln(n) immer größer wird, ist \(a_n = \frac{1}{ln(n)}\)
 eine Nullfolge.



Um zu beweisen, dass die Reihe \(\sum\limits_{n=2}^{\infty} (-1)^n * \frac{1}{ln(n)}\) absolut konvergiert, setze ich die Partialsummen im Betrag un schätze ab.


\(\sum\limits_{n=2}^{\infty} \vert (-1)^n * \frac{1}{ln(n)} \vert = \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{ln(n)} \ge \sum\limits_{n=1}^{\infty} * \frac{1}{n}\)


Und da \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} * \frac{1}{n}\) eine divergente Minorante ist, divergiert auch \(\sum\limits_{n=2}^{\infty} \vert (-1)^n * \frac{1}{ln(n)} \vert \)


Somit ist die Reihe nicht absolut konvergent.


Stimmt mein Beweis so

Und wie kann man die erste Reihe noch absolute Konvergenz untersuchen? Da fehlt mir echt der Ansatz  :-?

Ich bedanke mich schon im Voraus!

mfg
Marie
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wirkungsquantum
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 10.03.2015
Mitteilungen: 593
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-20

\(\begingroup\)
Hallo,
(1)
das ist nicht korrekt, das Nullfolgenkriterium ist nur eine notwendige Bedingung. Betrachte hierfür beispielhaft die harmonische Reihe.
Übrigens kann sin(n) für diskrete n nie 1,0 oder -1 werden. Es ist immer nur etwas dazwischen.

(2)
Bei der zweiten Reihe sehe ich keinen Fehler. Das $\frac{1}{\ln(n)}$ eine Nullfolge ist (sofern im Skript nicht bewiesen) sollte noch sauber nachgewiesen werden. Selbiges gilt für die Abschätzung.

Grüße,
h


-----------------
$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 834
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-07-20

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,

2. ist weitestgehend in Ordnung (an einer Stelle schreibst du konvergent, meinst aber divergent; und das "$\ln(n)$ immer größer wird" reicht nicht aus, du brauchst, dass es gegen $\infty$ divergiert.)

Dein Beweis zu 1. ist aber falsch:


Da \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{sin(n)}{n} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} sin(n)* \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = sin(n) * 0 = 0\)
Das zweite und das dritte Gleichheitszeichen sind Unsinn.


Da \(a_n\) eine Nullfolge ist, ist die Reihe \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{sin(n)}{n}\) konvergent.
Das Nullfolgenkriterium ist eine notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe aber keine hinreichende!

Kennst du das Dirichlet-Kriterium? Mit dem käme man weiter.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 1680
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-07-20

\(\begingroup\)
Hallo,


Da \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{sin(n)}{n} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} sin(n)* \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = sin(n) * 0 = 0\)

Das ist ein Fehler der dir in einer Klausur nicht passieren darf.
Du wendest die Grenzwertsätze falsch an.

$\lim_{n\to\infty} \sin(n)\cdot\frac1n$ lässt sich nicht als Produkt von Limiten der jeweiligen Funktionen schreiben. Denn $\lim_{n\to\infty} \sin(n)$ konvergiert nicht.

Der Sinus ist jedoch beschränkt. Und eine beschränkte Folge multipliziert mit einer Nullfolge geht gegen Null. Das Ergebnis ist also korrekt.

Die absolute Konvergenz dieser Reihe nachzuweisen sollte gar nicht so einfach sein.

Siehe etwa: math.stackexchange.com/questions/342637/does-sum-frac-sin-nn-converge


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Marie97
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.07.2018
Mitteilungen: 20
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-21

\(\begingroup\)
Danke für eure Antworten! smile

Ich habe dummerweise vergessen, dass die Umkehrung des Satzes Trivialkriteriums nicht gilt... Also war das Schwachsinn.


Dass die Schreibeweise \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} sin(n) \) Unsinn ist, ist mir jetzt klar. Da sin(n) nicht konvergiert, gibt es auch keinen Limes davon.

Könnte man das also so schreiben:


\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{sin(n)}{n} = sin(n) * \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = sin(n) * 0 = 0\) ?

Oder wie sonst kann man das so ausdrücken, dass es mathematisch Sinn ergibt??



Zum Dirichlet-Kriterium: Nein, das haben wir leider nicht in der Vorlesung behandelt... Geht das mit den anderen Kriterien nicht? Falls nein, würde mir das nicht schaden, auch noch dieses Kriterium kennen zu lernen.

mfg

Marie
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 1680
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-07-21

\(\begingroup\)
2018-07-21 00:21 - Marie97 in Beitrag No. 4 schreibt:

Könnte man das also so schreiben:

\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{sin(n)}{n} = sin(n) * \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = sin(n) * 0 = 0\) ?


Im Grunde ist es fast die gleiche Rechnung wie am Anfang.
Aus einem Limes kannst du eigentlich auch ohnehin nur Konstanten "multiplikativ herausziehen".
Aber $\sin(n)$ ist ja nicht Konstant. Es hängt von $n$ ab. Und über $n$ bildest du ja den Limes.

Du hast mehrere Möglichkeiten.
Eine ist natürlich der von mir genannte Satz.

Das Produkt aus einer beschränkten Folge mit einer Nullfolge geht gegen Null.

Der Sinus ist beschränkt.

Eine andere Möglichkeit ist ein Beweis.
Auch dies kannst du mit der Beschränktheit recht einfach machen.
Denn wegen $-1\leq \sin(n)\leq 1$ gilt ja:

$\lim_{n\to\infty} \frac{-1}{n}\leq \lim_{n\to\infty} \frac{\sin(n)}{n}\leq \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}$

Und dann ist es einfach das Sandwichlemma. (Die einschließenden Folgen sind Nullfolgen, also ist auch die mittlere eine)


Falls nein, würde mir das nicht schaden, auch noch dieses Kriterium kennen zu lernen.

Das kommt drauf an. Wenn ihr das Kriterium in der Vorlesung nicht hattet, wirst du es in einer Klausur nicht verwenden dürfen.

Woher stammen diese Reihen? Waren es Übungsaufgaben, oder stammen sie aus anderen Klausuren die du aus Übungszwecken durchrechnest?

So kurz vor der Klausur kannst du deine Zeit bestimmt effizienter nutzen, als damit ein Kriterium zu lernen, was höchstwahrscheinlich nicht Klausurrelevant ist. (Ich kenne ja deine Vorlesung nicht)

Aber grundsätzlich hast du natürlich recht.
Mehr Wissen schadet eigentlich nie. Aber vielleicht verschiebst du dies auf nach der Klausur?
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 1680
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-07-21

\(\begingroup\)
2018-07-21 00:21 - Marie97 in Beitrag No. 4 schreibt:

Dass die Schreibeweise \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} sin(n) \) Unsinn ist, ist mir jetzt klar. Da sin(n) nicht konvergiert, gibt es auch keinen Limes davon.


Die Schreibweise ist keineswegs Unsinn.
Es gibt auch uneigentliche Grenzwerte.

Ein Limes darf nicht erst dann vor einer Folge stehen, wenn man sicher ist, dass sie konvergiert.

Nur deine Rechnungen sind nicht gerechtfertigt.

Die Grenzwertsätze kannst du etwa nur für konvergente Folgen benutzen. Aber $(\sin(n))$ ist ja keine konvergente Folge.

Und wie gesagt kannst du den $\sin(n)$ aus dem Limes nicht einfach herausziehen, da es sich nicht um eine Konstante handelt.

\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 834
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-07-21

\(\begingroup\) \(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Der Beweis des Dirichlet-Kriteriums (das eine Verallgemeinerung des Leibniz-Kriteriums ist) steht auf Wikipedia und ist recht kurz.

Wie man es auf $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n}n$ anwendet, kannst du in dem in Beitrag 3 verlinkten Post nachlesen.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
digerdiga
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.11.2006
Mitteilungen: 1337
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-07-21

\(\begingroup\)
Dann müsstest du aber noch zeigen, dass $\sum_n \sin(n)$ beschränkt ist.
Bin mir nicht sicher ob das Integralkriterium ausreicht, da $\int_0^\infty {\rm d}n \sin(n)$ ja nicht konvergiert.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Marie97
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.07.2018
Mitteilungen: 20
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-21


Dein Beweis verstehe ich besser und ich werde auch den verwenden. Aber auch dein Satz kenne ich. Hätte ich auch verwenden können.



Diese Aufgabe habe ich aus der Probeklausur. Deswegen frage ich mich, ob es auch ohne das Dirichlet-Kriterium geht... :/  

Abschätzen geht nicht, oder??


mfg
Marie

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Marie97 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Marie97 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]