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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Folgen und Reihen » Reihe mit n^5/n! auf Konvergenz untersuchen. Wie??
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Autor
Universität/Hochschule J Reihe mit n^5/n! auf Konvergenz untersuchen. Wie??
Benni97
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 30.06.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-07-20

\(\begingroup\)
Hallo, Leute :-)

Ich muss die Konvergenz zweier Folgen beweisen, aber ich habe dabei Probleme...


Die Aufgabe lautet:

 Entscheiden Sie, ob der Grenzwert der Folge \(a_n\) existiert und berechnen Sie ihn gegebenenfalls.



1.) \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}  \frac{32ln(n)^2}{n}\)

2. )  \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}  \frac{n^5}{n!}\) (Hier muss man nur überprüfen, ob die Reihe konvergiert)



Mein Ansatz zu 1.)


Da habe ich versucht, die Divergenz dieser Reihe mit dem Minorantenkriterium zu beweisen:

\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}  \frac{32ln(n)^2}{n} \ge \sum\limits_{n=1}^{\infty}  \frac{1}{n} \)  

aber da \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}  \frac{1}{n} \) eine divergente Minorante ist, divergiert auch die Reihe \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}  \frac{32ln(n)^2}{n} \).


Ist das so richtig?






Mein Ansatz zu 2.) war folgender:


Mit dem Wurzelkriterium geht es schlecht und komme nicht wirklich auf eine Lösung. Also dachte ich mir, ich mache das mit dem Quotientenkriterium.


\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \vert \frac{a_{n+1}}{a_n}\vert = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \vert \frac{\frac{(n+1)^5}{(n+1)!}}{\frac{n^5}{n!}}\vert = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \vert \frac{(n+1)^5}{(n+1)!} * \frac{n!}{n^5} \vert = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \vert \frac{(n+1)^5 *n!}{(n+1)! * n^5} \vert = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \vert \frac{(n+1)^5 *n!}{(n+1)*n! * n^5} \vert = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \vert \frac{(n+1)^4}{ n^5} \vert\)

Aber ab hier komme ich nicht weiter, denn \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \vert \frac{(n+1)^4}{ n^5} \vert\ = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \vert (n+1)^4 *\frac{1}{ n^5} \vert = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} (n+1)^4 * \lim\limits_{n \rightarrow \infty}  \frac{1}{ n^5} = (n+1)^4 * 0 = 0 \) kann ich ja wohl nicht rechnen, da

\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} (n+1)^4 = "\infty"\) und \(\infty * 0\) kann man ja nicht rechnen.


Meine Frage ist also: Wie kann man diese Reihe auf Konvergenz oder vielleicht sogar auf absolute Konvergenz untersuchen? Ich habe es auch mit dem Majorantenkriterium versucht, doch habe dazu keine passende konvergente Majorante dazu gefunden...


Kann mir da jemand helfen? Bin schon langsam am Verzweifeln.. :-?

liebe Grüße

Benni
\(\endgroup\)


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Wauzi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-21


Hallo,
die erste ist richtig.
Verwende bei der zweiten
n+1<=2*n für genügend große n
Damit klappt die Abschätzung
Gruß Wauzi


-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



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Benni97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-21


Hey, danke für den Tipp.

Aber wie genau setze ich diesen um?

Ist das noch bezogen auf das Quotientenkriterium oder meinst du, ich sollte diese Abschätzung mit dem Majorantenkriterium vernehmen  ?


mfg
Benni



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Wauzi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11193
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-07-21


Im Quotientenkriterium einsetzen und nachher n groß wählen.
fed-Code einblenden



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Benni97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-21

\(\begingroup\)
Aha, ich weiß jetzt vielleicht wie.

Meinst du das so:

\( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \vert \frac {(n+1)^4}{n^5} \vert \le  
\lim\limits_{n \rightarrow \infty}
\vert \frac {(2n)^4}{n^5} \vert = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \vert \frac {16n^4}{n^5} \vert = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \vert \frac {16}{n} \vert = 0 \)

?

Mfg

Benni
\(\endgroup\)


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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-07-21


ja, bzw ist für genügend großes n der Bruch <=1/2 < 1 und damit ist das Quotientenkriterium erfüllt



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Benni97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-21


Vielen, vielen dank für deine Hilfe. Abschätzen fällt mir manchmal echt schwer...


schönen Abend noch,

Benni :-)



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