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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Z.z.: g'h+h' hat in (0,1) eine Nullstelle
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Universität/Hochschule Z.z.: g'h+h' hat in (0,1) eine Nullstelle
Physics
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 29.04.2018
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-07-22 09:48

\(\begingroup\)
Hallo zusammen,

hätte noch eine Frage:


Mein Ansatz hier wäre:
\(f(x)=exp(g(x))*h(x)\)
Die Funktion ist stetig auf [0,1] als Komposition stetiger Funktionen und d.bar auf (0,1) als Komposition d.barer Funktionen.
Demnach folgt nach Kettenregel:
\(f'(x)=g'(x)*exp(g(x))*h(x) + exp(g(x))*h'(x)\)
Da das Intervall Kompakt ist und f stetig, nimmt f ihr Maximum und/oder Minimum auf [0,1] an. Nach notwendiger Bedingung für Extremstellen gilt dort \(f'(x)=0\). Damit folgt die Behauptung.

Wäre der Ansatz so in Ordnung? Wäre nett wenn Jemand Feedback geben könnte. Hätte morgen eine Klausur und gehe gerade nochmal "Spezialfälle" durch.

VG,
Physics
\(\endgroup\)


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dromedar
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.10.2013
Mitteilungen: 5090
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-22 10:22

\(\begingroup\)
Hallo Physics,

2018-07-22 09:48 - Physics im Themenstart schreibt:
Wäre der Ansatz so in Ordnung?

Da fehlt noch was: Das Minimum und das Maximum von $f$ müssen nicht notwendigerweise im Inneren des Intervalls $[0,1]$ liegen. Nur für solche Extremstellen kannst Du aber $f'(x)=0$ folgern.

Tipp: Du hast die Bedingung $h(0)=h(1)=0$ noch gar nicht benutzt.

Grüße,
dromedar
\(\endgroup\)


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Physics
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Dabei seit: 29.04.2018
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-22 11:33

\(\begingroup\)
Hallo dromedar,

habe gerade paar Sachen probiert aber kam auf nix Sinnvolles irgendwie. Also
1. Fall h = konstant
Dann folgt direkt \(f(x)=0 \forall x \in [0,1]\) und damit auch \(f'(x)=0\)
2. Fall h nicht konstant
Nach Satz von Rolle folgt für ein \(x_0\in(0,1)\), dass \(h'(x_0)=0\)
Betrachte \(f'(x_0)=g'(x_0)*h(x_0)+h'(x_0)\)
Damit folgt: \(f'(x_0)=g'(x_0)*h(x_0)\)
Da \(h'(x_0)=0\) ist \(h(x_0)\) maximal. Damit ist \(f'(x_0)\) Maximal oder Minimal. Also finde ich in jedem Fall eine Nullstelle.

Ich habe das Gefühl, dass das falsch ist, vor allem der 2. Fall lässt ja g(x_0) außen vor.


VG,
Physics
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1300
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-07-22 11:47

\(\begingroup\)
Verwende mal den Satz von Rolle für die Funktion \(f\)
\(\endgroup\)


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dromedar
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.10.2013
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Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-07-22 12:05

\(\begingroup\)
2018-07-22 11:33 - Physics in Beitrag No. 2 schreibt:
2. Fall h nicht konstant

Dann nimmt $f$ sein Minimum oder sein Maximum in $(0,1)$ an und Du kannst Deine Argumentation aus dem Startbeitrag anwenden.
\(\endgroup\)


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Physics
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 29.04.2018
Mitteilungen: 92
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-22 12:30

\(\begingroup\)
@dromedar
Was mir hier nicht ganz klar ist:
Also wenn ich die Stellen 0,1 betrachte, dann ist f an diesen Stellen immer Null. Sprich Hier kann Maximum und Minimum nur vorliegen, wenn h konstant ist.
Nun betrachte ich den Fall, dass f nicht konstant ist (Hier soll jetzt h nicht konstant sein). Dann kann doch trotzdem Min oder Maximum am Rand liegen oder?
Weil es folgt für die Stellen 0 und 1:
\(f'(0)=h'(0)\)
\(f'(1)=h'(1)\)
Weis also grad nicht inwiefern mein ursprüngliches Argument mit Kompaktheit hier greifen soll.

@kampfpudel
Stimmt das würde es wohl leichter machen! D.h.:
Es ex. auf jeden Fall ein \(x_0 \in (0,1)\) mit \(f'(x_0)=0\)
Also folgt : \(g'(x_0)*h(x_0) + h'(x_0) = 0\)
Damit dürfte es bewiesen sein oder?

\(\endgroup\)


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dromedar
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 5090
Aus: München
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-07-22 12:37

\(\begingroup\)
2018-07-22 12:30 - Physics in Beitrag No. 5 schreibt:
Dann kann doch trotzdem Min oder Maximum am Rand liegen oder?

Es können nicht Minimum und Maximum auf dem Rand liegen, denn dafür müsste $f$ konstant $=0$ sein, und das wäre nur möglich, wenn $h$ konstant $=0$ wäre. Aber diesen Fall hast Du doch schon ausgeschlossen.
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-07-22 13:46

\(\begingroup\)
2018-07-22 12:30 - Physics in Beitrag No. 5 schreibt:

@kampfpudel
Stimmt das würde es wohl leichter machen! D.h.:
Es ex. auf jeden Fall ein \(x_0 \in (0,1)\) mit \(f'(x_0)=0\)
Also folgt : \(g'(x_0)*h(x_0) + h'(x_0) = 0\)
Damit dürfte es bewiesen sein oder?



Jap, eben weil du \(\exp(g(x_0))\) ausklammern kannst und \(\exp(g(x_0)) \neq 0\) gilt.
\(\endgroup\)


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