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Analysis » Funktionalanalysis » Schwache Kompaktheit aus Beschränktheit?
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Universität/Hochschule Schwache Kompaktheit aus Beschränktheit?
NLPDG_Guy
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 18.05.2018
Mitteilungen: 13
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-07-22

\(\begingroup\)
Hallo Leute,

es sei \(X\) ein Hilbertraum und

\[\mathcal{J}: X\longrightarrow\mathbb{R}\]
ein lineares, beschränktes Funktional. Es sei

\[\sup_{u\in S(\eta)}\mathcal{J}(u)=\sigma\]
wobei

\[S(\eta):=\{u\in X|\left\|u\right\|^2=\eta\}\]
Sei \((u_n)\) eine Folge in \(S(\eta)\), sodass

\[\mathcal{J}(u_n)\longrightarrow\sigma\]
für \(n\rightarrow\infty\).

Behauptung: Da \(\left\|u_n\right\|^2=\eta\), ist diese Folge schwach kompakt in \(X\).

Diese Aussage möchte ich gern beweisen. Mir fehlt aber hier die Idee, wie ich das angehen soll. Ich bin für jeden Tipp dankbar.

Viele Grüße

Maik
\(\endgroup\)


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Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8205
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-07-22


Hallo, Maik,

ist bekannt, dass die Einheitskugel schwach kompakt ist?

Wally



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NLPDG_Guy
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 18.05.2018
Mitteilungen: 13
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-22

\(\begingroup\)
Hallo Wally,

ja, das ist bekannt.

Ich habe in der Zwischenzeit mal was probiert:

Aufgrund der Beschränktheit von \((u_n)\) besitzt diese Folge eine schwach konvergente Teilfolge \((u_{n_k})\) mit \(u_{n_k}\stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} u\). Und daher ist die Menge \(M=\{u_n\}\) schwach komakt in \(X\). Das Element \(u\) liegt in \(X\).

Kann man das so stehen lassen?

Viele Grüße

Maik
\(\endgroup\)


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NLPDG_Guy
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 18.05.2018
Mitteilungen: 13
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-07-24 16:02


Hat keiner weiter eine Meinung zu meiner Frage?

Viele Grüße

Maik



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