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Analysis » Funktionalanalysis » Lösung einer Faltungsgleichung
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Universität/Hochschule Lösung einer Faltungsgleichung
Nuke_Gunray
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-08-01


Guten Abend allerseits!
In einer kürzlich geschriebenen Klausur ging es darum, für die folgende Gleichung zu zeigen, dass sie eine eindeutige Lösung besitzt.


fed-Code einblenden

Als ich die Lösungsfunktion f(t) nun im Nachhinein bestimmen wollte, fiel mir sofort auf, dass der Typ des Integrals nach "Faltung" aussieht - also überlegte ich, ob man nicht die Laplace-Transformation benutzen könnte, um die ganze Gleichung in den s-Bereich zu bringen, in welchem sich die "Faltung" zu einem Produkt vereinfacht (sodass man die entstehende algebraische Gleichung nach der Transformierten der gesuchten Funktion umstellt und dann in den Zeitbereich rücktransformiert).

Doch darf man das überhaupt, wenn die Integrationsgrenzen beide endlich sind? Nach der Transformation würden ja theoretisch auch sämtliche Informationen zu den Grenzen verloren gehen...

Schonmal danke im vorraus!



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-02


Hallo,

ja, das sieht nach Faltung aus, aber ich glaube, mit der Laplace-Transformation kommt man nicht weiter.
Vielleicht ist eis einfach nur ein Beispiel für einen Fredholmoperator.

Wally



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-08-02


Hallo,
ich finde, das sieht sehr stark nach Banachs Fixpunktsatz aus.

Viele Grüße,
haerter


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Nuke_Gunray
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-04


2018-08-02 11:25 - haerter in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo,
ich finde, das sieht sehr stark nach Banachs Fixpunktsatz aus.

Genau, dieser sollte benutzt werden um zu beweisen, dass eine eindeutige Lösung für diese Gleichung existiert - aber mir geht es darum, die gesuchte Funktion tatsächlich zu bestimmen.



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-08-05


Hallo,

ist denn klar, dass das hier überhaupt geht?

Viele Grüße,
haerter


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Nuke_Gunray
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-06


2018-08-05 13:02 - haerter in Beitrag No. 4 schreibt:
Hallo,

ist denn klar, dass das hier überhaupt geht?

Hi!
Um genau das geht es. ^^
Genau das wollte ich wissen: Funktioniert das oder nicht? Also, darf man das hier anwenden oder nicht?



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-08-06


Hallo,


Genau das wollte ich wissen: Funktioniert das oder nicht? Also, darf man das hier anwenden oder nicht?

Ich weiß es nicht sicher, aber ich teile Wallys Einschätzung, dass man das "darf" (zum Beispiel, indem man f außerhalb von <math>[0,2\pi]</math> durch 0 fortsetzt), dass es aber nicht "funktioniert", weil man soweit ich das sehe, die Laplace-Trafo für den Faltungsterm nicht ordentlich vereinfacht bekommt und im besten Fall vielleicht eine Gleichung erhält, bei der dann die Laplace-Transformierte in einer ähnlichen Gleichung steht wie jetzt das f selbst.

Viele Grüße,
haerter


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Nuke_Gunray
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-07


Hi!
Also, ich habe es jetzt einfach mal probiert... aber es kommt leider nichts Gescheites raus.

Inzwischen habe ich es mehrmals durchgerechnet (also einfach die Eigenschaften der Laplace-Trafo ausgenutzt und die entstandene algebraische Gleichung umgeformt) und bin zur folgenden Lösung gekommen, welche aber wenn man sie einsetzt nicht die obige Gleichung löst. :(

fed-Code einblenden



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Nuke_Gunray
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-07


2018-08-06 16:04 - haerter in Beitrag No. 6 schreibt:
Hallo,

Ich weiß es nicht sicher, aber ich teile Wallys Einschätzung, dass man das "darf" (zum Beispiel, indem man f außerhalb von <math>[0,2\pi]</math> durch 0 fortsetzt), dass es aber nicht "funktioniert", weil man soweit ich das sehe, die Laplace-Trafo für den Faltungsterm nicht ordentlich vereinfacht bekommt und im besten Fall vielleicht eine Gleichung erhält, bei der dann die Laplace-Transformierte in einer ähnlichen Gleichung steht wie jetzt das f selbst.

Insofern scheinst du also am Ende doch Recht zu haben: Die Anwendung liefert kein passendes Ergebnis. Das Auflösen selber funktioniert aber.



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doglover
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-08-22


Hallo Nuke_Gunray,

ich war selbst etwas überrascht, aber unter Ausnutzung der Additionstheoreme lässt sich die Eindeutigkeit mit ganz elementaren Mitteln zeigen.

Es gilt $\sin(t-\tau)=\sin(t)\cos(\tau)-\cos(t)\sin(\tau)$. Daher kann man die Funktionalgleichung auch äquivalent schreiben als:

\[
\text{(1) }f(t)=\frac{\int_0^{2\pi} \cos(\tau)f(\tau)d\tau}{4\pi}\sin(t)-\frac{\int_0^{2\pi} \sin(\tau)f(\tau)d\tau-1}{4\pi}\cos(t)
\] Setzt man nun $a:=\frac{\int_0^{2\pi} \cos(\tau)f(\tau)d\tau}{4\pi}$, $b:=-\frac{\int_0^{2\pi} \sin(\tau)f(\tau)d\tau-1}{4\pi}$, so sind beides einfach nur irgendwelche reellen Zahlen (vorausgesetzt die Integrale existieren, also z.B. $f\in C^0([0,2\pi])$).

Wir landen bei $f(t)=a \sin(t)+b \cos(t)$. Man kann nun einmal $t=0$ und einmal $t=\frac{\pi}{2}$ und diese Darstellung für $f$ in Gleichung (1) einsetzen und erhält ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten und kann dieses nach $a$ und $b$ lösen. Schließlich kann man noch prüfen, dass die gefundene Funktion die Gleichung tatsächlich für alle $t$ löst und hat damit (ganz ohne Fixpunktsatz) die eindeutige Lösung konstruiert.

Es ergibt sich $a=\frac{1}{17\pi}$ und $b=4a$, folglich ist die gesuchte Lösung:

\[f(t)=\frac{1}{17\pi}\left(\sin(x)+4\cos(x) \right) \]
Viele Grüße

doglover



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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-08-23


@doglover: Gefällt mir sehr gut. Statt mit Additionstheoremen anzusetzen kann man auch einfach die linke Seite zwei mal ableiten und bemerkt, dass man die negative linke Seite erhält, d.h. \(f''(t)=-f(t)\), weshalb man mit \(f(t)=a\cos(t)+b\sin(t)\) ansetzen muss. Der Rest ist dann identisch.



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Nuke_Gunray
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Hallo @doglover,

nach ca. 2 Jahren habe ich mal wieder in mein Postfach geschaut, und siehe da - tatsächlich eine tolle Antwort! Vielen Dank für diese erhellende Lösung, inzwischen (vor ca. einem halben Jahr) habe ich herausgefunden, dass für Ingenieure solche Integralgleichungen ein Klacks sind, dafür haben sie eine Art extra Lösungsformel - insofern habe ich die Lösung schon gesehen, aber diese elementare Herleitung ist natürlich noch schöner!

Danke!
Martin



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