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Analysis » Grenzwerte » Rechnen mit Landau-O
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Universität/Hochschule J Rechnen mit Landau-O
Timon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-08-09 10:10

\(\begingroup\)
Hi zusammen!

Ich habe mich beim Versuch eine Rechnung nachzuvollziehen aufgehangen und würde mich über Ratschläge freuen!

Und zwar geht es um folgendes:

Sei \(\alpha \in (-1,0), \; v(\cdot)\) eine analytische Funktion in einer Umgebung von \([0,1]\), mit \(v(0)=0, \; v'(0) > 0\).

Dann kann man folgenden Limes betrachten, wobei das O, das Landau-O symbolisieren soll,

\[\lim_\limits{p \to 0}v(p) \frac{\alpha p^{\alpha -1} + O(1)}{p^\alpha + O(1)} =
\lim_\limits{p \to 0}v(p) \frac{\alpha p^{\alpha -1} }{p^\alpha } = \lim_\limits{p \to 0}v(p) \alpha p^{-1} \overset{\text{l'Hospital}}{=}v'(0) \alpha\]
Die Rechnung ist soweit in Ordnung, nun wird aber folgende Aussage getroffen, und zwar
\[v(p) \frac{\alpha p^{\alpha -1} + O(1)}{p^\alpha + O(1)} = v'(0)\alpha + O(p)\] für \(p \to 0\). Mir ist jetzt nicht klar, wie man auf das \(O(p)\) kommen soll. Insofern man das untere $O(1)$ weglässt, kann man das in einer kurzen Rechnung nachvollziehen. Mehr bekomme ich aber leider nicht raus.

Ich würde mich freuen, wenn mir da wer weiterhelfen könnte!

Grüße,

Timon
\(\endgroup\)


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darkhelmet
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-09 21:01

\(\begingroup\)
Hi,

ich vermute mal das hinter den $O(1)$ auch jeweils eine analytische Funktion in $p$ steckt.

Für mich sieht das so aus, als wäre gemeint, dass
$$p\mapsto v(p) \frac{\alpha p^{\alpha -1} + \ldots}{p^\alpha + \ldots}$$ eine analytische Funktion in einer Umgebung von 0 ist. Dann ist $v'(0)\alpha$ der nullte Koeffizient der Potenzreihe in 0 und der Rest der Reiheneintwicklung lässt sich mit $O(p)$ zusammenfassen.

Die Frage ist nur, wie die Funktion für negatives $p$ definiert sein soll, bzw. wieso die Funktion über die 0 hinaus analytisch fortgesetzt werden kann. Wenn du die Funktionen hinter den $O(1)$ kennst, ist dir das vielleicht ohnehin klar.
\(\endgroup\)


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Timon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-10 12:37


Vielen Dank, ich habe die Argumentation jetzt verstanden.

Der Tipp war sehr hilfreich und hat mich letzten Endes auf den richtigen Weg gebracht!

Grüße



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