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Mathematik » Topologie » Offene Menge als abzählbare Quadervereinigung
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Universität/Hochschule Offene Menge als abzählbare Quadervereinigung
Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-08-11


Hi alle,

Ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:
fed-Code einblenden


Mein Ansatz:
fed-Code einblenden

Mein Problem ist, ich weiß nicht wie ich bei [?] und [??] die größen definieren soll, so dass für \(z \in I_{a,b} \) gilt \( d(z,x) < d(x,a) + d(z,a) < \epsilon(x)\), da mir d(z,a) Probleme bereitet.
Weiterhin weiß ich nicht, ob der Beweis so richtig wäre.

LG
Rathalos



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-11


Hi und herzlich willkommen!

Das sieht gut aus. (Schon mal vom Auswahlaxiom gehört?)

$a$ und $b$ dürfen von $x$ abhängen, oder? Dann verstehe ich nicht, warum du $c$ einführst.

Du musst ja einen Quader finden, der $x$ enthält, und der klein genug ist, dass er in der Kugel um $x$ mit Radius $\epsilon(x)$ enthalten ist.

Betrachte es mal von der anderen Seite: wenn du einen Quader mit bestimmten Seitenlängen hast, was ist der größtmögliche Abstand zwischen zwei Punkten des Quaders, also der Durchmesser des Quaders? Du kannst dich auf Würfel beschränken, dann werden die Formeln einfacher.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-08-12


Hi,

müsste es nicht sogar mit offenen Würfeln mit rationalen Mittelpunkten funktionieren?

Für \(x\in\IR^n\) sei \(W_\epsilon(x)=\{y\in\IR^n:|x_i-y_i|<\epsilon \text{ für } i=1,\ldots,n\}\).

Für \(x\in U\) sei dann \(\epsilon(x)=\sup\{\epsilon>0:W_\epsilon(x)\subseteq U\}\).

Dann \(U=\bigcup_{x\in U\cap\IQ^n}W_{\epsilon(x)}(x)\).



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-12


Hallo darkhelmet,

Vielen Dank für die Antwort.

Vom Auswahlaxiom gehört habe ich schon, habe es aber noch nie benutzt oder ein Beweis damit gesehen. Kann man die Aufgabe damit eleganter lösen?

Danke für den Tipp mit der Diagonalen, ich habe es explizit für ein Würfel ausgerechnet. Dann ist mir aufgefallen, dass ich ja auch \(d(x,a) = d(x,b) < \epsilon(x)/3\) wählen kann. Dann sollte immer \(d(x,z) < d(a,z) + d(a,x) < d(a,x) + d(a,b) < 3d(a,x) < \epsilon(x)\).

Kann man die Aussague auch auf einen metrischen Raum fed-Code einblenden
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Ich schaffe es nicht zu zeigen, dass \(d(q,p) < d(a,b)\) ist, für Punkte im Quader q,p, wenn ich nur von Metriken ausgehe. Auch auf einen Würfel sich zu beschränken, hilft mir nicht.

MFG
Rathalos

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-12


Hallo StrgAltEntf

Danke für deine Antwort und schöne und kurze Lösung.





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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-08-12


2018-08-12 12:47 - Rathalos in Beitrag No. 4 schreibt:
Danke für deine Antwort und schöne und kurze Lösung.

Ein klein wenig ist noch zu beweisen. Beispielsweise darfst du nicht \(\epsilon(x)>0\) beliebig mit \(W_\epsilon(x)\subseteq U\) wählen.



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-12


Hallo StrgALtEntf,

Irgendwie leuchetet mir nicht ein, warum ich nicht ein \(\epsilon(x) > 0\) beliebig wählen darf mit \(x \in W_{\epsilon(x)}(x)\subseteq U\).

MFG
Rathalos



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-08-12


2018-08-12 14:06 - Rathalos in Beitrag No. 6 schreibt:
Irgendwie leuchetet mir nicht ein, warum ich nicht ein \(\epsilon(x) > 0\) beliebig wählen darf mit \(x \in W_{\epsilon(x)}(x)\subseteq U\).

Sei \(x_0\in U\setminus\IQ^n\). Wähle dann für jedes \(x\in U\cap\IQ^n\) ein \(\epsilon(x)\), sodass \(W_{\epsilon(x)}(x)\subseteq U\setminus\{x_0\}\). Dann liegt \(x_0\) nicht in der abzählbaren Vereinigung.



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-08-12


@Rathalos: Für beliebige Metriken auf $\mathbb{R}$ wird diese Aussage nicht wahr sein. Bei der diskreten Metrik sind z.B. alle Mengen offen.



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Rathalos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-12


@darkhelmet
Ok danke für die Klarstellung.

@StrgAltEntf
Ok, ich habe immernoch Probleme, dass konkret zu formulieren.


fed-Code einblenden

Reicht dies als Begründung?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-08-12


Das ist alles noch ein wenig unsauber.

Was ist bei dir d? Der euklidische Abstand oder der Abstand bzgl. der Maximumsnorm, also \(d(x,y)=\max\{|x_i-y_i|:i=1,\ldots,n\}\)? Letzeres würde sich hier wohl eher anbieten.

Du musst zeigen, dass \(x_0\in W_{\epsilon(x)}(x)\) für ein \(x\in U\cap\IQ^n\). Das steht bei dir noch nicht.

Sei \(x_0\in U\). Dann ist \(W_{\epsilon(x_0)}(x_0)\subseteq U\).

Wähle \(x\in W_{\frac12\epsilon(x_0)}(x_0)\cap\IQ^n\). Dann ist \(x_0\in W_{\frac12\epsilon(x_0)}(x)\) und außerdem \(W_{\frac12\epsilon(x_0)}(x)\subseteq W_{\epsilon(x_0)}(x_0)\subseteq U\). Wegen der Maximalität von \(\epsilon(x)\) ist \(\frac12\epsilon(x_0)\leq\epsilon(x)\) und daher \(x_0\in W_{\frac12\epsilon(x_0)}(x)\subseteq W_{\epsilon(x)}(x)\).






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Rathalos hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Rathalos hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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