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Mathematik » Geometrie » Dem Einheitskreis umbeschriebenes regelmäßiges n-Eck
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Universität/Hochschule Dem Einheitskreis umbeschriebenes regelmäßiges n-Eck
leroxxx
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.06.2016
Mitteilungen: 63
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-08-12


Hallo,

ich habe folgende Aufgabe zu bearbeiten. Zuvor wurde das Arithmetische, Geometrische und Harmonische Mittel bearbeitet.

Sei nun Fn die Fläche des dem Einheitskreis umbeschriebenen regelmäßigen n-Ecks und sei Gn die Fläche des dem Einheitskreis einbeschriebenen regelmäßigen n-Ecks.

Zeige: F6=2*sqrt(3) und G6=3/2*(sqrt3).

Weiter soll man zeigen: G2n = GM(Gn,Fn) und F2n = HM(G2n, Fn)

Ich habe leider gar keine Ahnung, was üerhaupt ein "Einheitskreis umbeschriebenes regelmäßiges n-Ecks" ist. Kann mir jemand sagen, was zu tun ist?

Vielen Dank!  



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stpolster
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 541
Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-12


Hallo,
<math>
\begin{tikzcd}
\draw (0:2cm) -- (72:2cm) -- (2*72:2cm) --
(3*72:2cm) -- (4*72:2cm) -- cycle;
\draw (0:2*1.236cm) -- (72:2*1.236cm) -- (2*72:2*1.236cm) --
(3*72:2*1.236cm) -- (4*72:2*1.236cm) -- cycle;
\draw[green] (0,0) circle (2);
\end{tikzcd}
</math>
Die Abbildung zeigt das einem Einheitskreis (Radius = 1) "einbeschriebene" und das "umbeschriebene" n-Eck im Fall n = 5. Entsprechend auf beliebige n erweitern.

LG Steffen



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lula
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Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 10878
Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-08-12


Hallo
 hier die Rechnung dazu, mit ein- und umbeschriebenem 6 Eck,  die inneren 6 Gleichseitigen Dreiecke haben Die Seitenlänge s=r=1, die äußeren die Höhe h=r=1 .

Gruß lula

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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leroxxx
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Dabei seit: 02.06.2016
Mitteilungen: 63
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-12


Danke euch! Hab's verstanden. Nur um sicher zu gehen: das "einbeschriebene" ist das äußere?

Muss jetzt nur noch die 2. Aufgabe machen, mit den Mitteln :)



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JoeM
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Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 441
Aus: Oberpfalz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-08-14


Hallo leroxxx,

es ist umgekehrt:

Das >einbeschriebene n- Eck< liegt innerhalb des Kreises.

mfG. JoeM



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leroxxx
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.06.2016
Mitteilungen: 63
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-14


Vielen Dank für die Info! :)

Hat vielleicht jemand eine Idee, wie ich den zweiten Teil der Aufgabe lösen kann? Also G_2n = GM(G_n, F_n) und F_2n = HM(G_2n, F_n)?



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viertel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 26472
Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-08-14


Einfach mal statt für das 6-Eck für das n-Eck ausrechnen.

Gruß vom ¼


-----------------
Bild



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leroxxx
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.06.2016
Mitteilungen: 63
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-14


Hallo, mit einem Taschenrechner komme ich auf das richtige Ergebnis für G_2n schon mal.

Nun weiß ich nur nicht, wie ich schriftlich von:

fed-Code einblenden

auf:
fed-Code einblenden

komme. also explizit dasa zusammenfassen von Sinus und Tangens bereitet mir Probleme. Kann mir da jemand helfen? :)




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JoeM
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 441
Aus: Oberpfalz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-08-15


Hallo leroxxx,

zu Deiner Umformung:

Es gilt zu zeigen ....


viele Grüße

JoeM



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leroxxx
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.06.2016
Mitteilungen: 63
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-15


Vielen Vielen Dank dafür! :)

Kannst du mir vielleicht noch bei einer anderen Trigonometrischen Gleichung helfen? Da komme ich auch nicht wirklich weiter, hab ebenfalls schon eine ganze Weile probiert..

fed-Code einblenden

Also auch hier habe ich wieder die Schwierigkeiten mit sinus und tangens..



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majoka
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Dabei seit: 25.02.2014
Mitteilungen: 752
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-08-15


Probiere es hiermit



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StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 4274
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-08-15


Oder hiermit:

tan(x) = sin(x) / cos(x)

Gruß
StrgAltEntf



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leroxxx
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.06.2016
Mitteilungen: 63
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-15


Vielen Dank für eure Hilfe!

Leider komme ich bei dem Schritt:

fed-Code einblenden

Kann mir da jemand noch einen Tipp geben?



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majoka
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.02.2014
Mitteilungen: 752
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-08-15

\(\begingroup\)
Hast Du mal $\sin(x)=\frac{2\tan(\frac{x}{2})}{1+\tan^2(\frac{x}{2})}$ und $
\cos(x)=\frac{1-\tan^2(\frac{x}{2})}{1+\tan^2(\frac{x}{2})}$ eingesetzt?
\(\endgroup\)


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JoeM
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Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 441
Aus: Oberpfalz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-08-16


Hallo Leroxxx,

zu Deinem Beitrag- Nr. 12:

Zu zeigen ist ....


Das kann doch nicht so schwer sein.

viele Grüße

JoeM



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leroxxx
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.06.2016
Mitteilungen: 63
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-16


Hallo, vielen Dank für eure vielen Hilfen!

Ich habe es gestern Abend dann noch hinbekommen - aber ohne eure Infos hätte ich das nicht geschafft. Wenn man die Formeln alle kennt ist das nicht so schwer aber da ich die nicht wirklich drauf hatte, war das für mich eine echte Herausforderung..

Vielen Dank jedenfalls! :)



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viertel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 26472
Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-08-16


Man muß die Formeln ja auch nicht alle (auswendig) kennen. Man muß nur wissen, wo man sie notfalls findet wink
Viel Spaß beim Stöbern …



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
cis
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.08.2002
Mitteilungen: 15230
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-08-17


2018-08-12 23:06 - stpolster in Beitrag No. 1 schreibt:
<math>
\begin{tikzcd}
\draw (0:2cm) -- (72:2cm) -- (2*72:2cm) --
(3*72:2cm) -- (4*72:2cm) -- cycle;
\draw (0:2*1.236cm) -- (72:2*1.236cm) -- (2*72:2*1.236cm) --
(3*72:2*1.236cm) -- (4*72:2*1.236cm) -- cycle;
\draw[green] (0,0) circle (2);
\end{tikzcd}
</math>

Man muss für TikZ nicht die Lage der (Polar-)Koordinaten kennen. Mit der Bibliothek shapes.geometric kann man auch konstruieren:

<math>

% \usetikzlibrary{shapes.geometric}

\pgfmathsetmacro{\Eckenzahl}{5}
\pgfmathsetmacro{\Kantenlaenge}{2.85}

\pgfmathsetmacro{\Inkreisradius}{\Kantenlaenge/(2*tan(180/\Eckenzahl))}
\pgfmathsetmacro{\Umkreisradius}{\Kantenlaenge/(2*sin(180/\Eckenzahl))}
%\pgfmathsetmacro{\Mittelpunktswinkel}{360/\Eckenzahl}
\pgfmathsetmacro{\Innenwinkel}{180-360/\Eckenzahl}

\begin{tikzpicture}[rotate=1*\Innenwinkel/2, transform shape, thick]
% In- und Umkreis
\draw[green!50!black] circle[radius=\Inkreisradius cm];
%\draw[blue] circle[radius=\Umkreisradius cm];

% Vieleck 1
\node[draw,regular polygon,
regular polygon sides=\Eckenzahl,
minimum size=2*\Umkreisradius cm,
] (a) {};

% Vieleck 2
\node[draw,regular polygon,
regular polygon sides=\Eckenzahl,
minimum size=2*\Inkreisradius cm,
] (a) {};

%\def\temp{\Umkreisradius}
%\draw[red] (0,0) -- (\temp,0) node[right]{\temp};
%\draw[red] (0,0) -- (0,\temp);


%\foreach \x in {1,2,...,5}
%  \fill (a.corner \x) circle[radius=1pt];

\end{tikzpicture}
</math>

_______________________
<math>

% \usetikzlibrary{shapes.geometric}


\begin{tikzpicture}[rotate=-15, transform shape]
\pgfmathsetmacro{\Eckenzahl}{7}
\pgfmathsetmacro{\Kantenlaenge}{0.85}

\pgfmathsetmacro{\Inkreisradius}{\Kantenlaenge/(2*tan(180/\Eckenzahl))}
\pgfmathsetmacro{\Umkreisradius}{\Kantenlaenge/(2*sin(180/\Eckenzahl))}

% In- und Umkreis
\draw[blue!50!black] circle[radius=\Inkreisradius cm];
%\draw[blue] circle[radius=\Umkreisradius cm];

% Vieleck 1
\node[draw,regular polygon,
regular polygon sides=\Eckenzahl,
minimum size=2*\Umkreisradius cm,
] (a) {};

% Vieleck 2
\node[draw,regular polygon,
regular polygon sides=\Eckenzahl,
minimum size=2*\Inkreisradius cm,
] (a) {};

%\def\temp{\Umkreisradius}
%\draw[red] (0,0) -- (\temp,0) node[right]{\temp};
%\draw[red] (0,0) -- (0,\temp);

%\foreach \x in {1,2,...,5}
%  \fill (a.corner \x) circle[radius=1pt];

\end{tikzpicture}
</math>

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]


-----------------
Wenn man alles ausgeschaltet hat, was unmöglich ist, bleibt am Ende etwas übrig, das die Wahrheit enthalten muß - mag es auch noch so unwahrscheinlich sein...
(Sherlock Holmes)
·



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