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Universität/Hochschule J Exakte Sequenzen
Teddyboer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-08-16


Hallo zusammen,

ich lerne gerade im Selbststudium etwas zur Homologie und Kohomologietheorie. Beim Üben bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen:

How many short exact sequences of the form
...$\overset{f_3}{\rightarrow}\IZ/ 4\IZ\overset{f_2}{\rightarrow}\IZ/ 4\IZ\overset{f_1}{\rightarrow}\IZ/ 4\IZ\overset{f_0}{\rightarrow}\IZ/ 2\IZ\rightarrow 0$
do exist?


Die Aufgabe ist sicherlich recht überschaubar aber ich verstehe einfach die Frage nicht. Die Sequenz ist ja nicht kurz. Wird hier ein Zusammenhang zwischen langen und kurzen Sequenzen vorausgesetzt?

Vielen Dank im Voraus!




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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-16


Hallo Teddyboer,

das würde schon unter Schreibfehler in der Vorlage verbuchen und nach allen langen exakten Sequenzen suchen.
How many long exact sequences of the form ...



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Teddyboer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-16


Das habe ich schon vermutet, aber evtl. gibt es ja eine Relation zwischen langen und kurzen exakten Sequenzen nach der hier gefragt ist. Vielen Dank:)



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-08-16


Eigentlich gibt es keinen besonderen Zusammenhang. Du kannst  eine lange exakte Sequenz "abschneiden", indem \(f_n:X_{n+1}\to X_n\) durch \(\overline f_n:X_{n+1}/ker{f_n}\to X_n\) ersetzt wird.

Bei der Aufgabe wird ggf. auch \(f_n=0\) auftreten, was dann einen ähnlichen Effekt hat.

Nachtrag. Das "abschneiden" funktioniert auch in die andere Richtung, indem das Bild / der Kokern verwendet wird.



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Teddyboer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-29


Danke für die Hinweise. Ich habe die Aufgabe jetzt eine Weile nicht angeschaut, möchte aber der Vollständigkeit halber einen Lösungsvorschlag angeben:
Es gibt genau eine lange exakte Sequenz der obigen Form. Da $f_0$ surjektiv ist, muss $f_0(\bar{1}) = \bar{1}$ sein. Es gibt somit nur einen Epi. $\mathbb{Z}_4\rightarrow\mathbb{Z}_2$. Dieser hat $ker(f_0) = \{\bar{0},\bar{2}\}$. Nun muss $im(f_1) = ker(f_0)$ gelten und dies gilt nur für den Homo. $f_1(\bar{0})=f_1(\bar{2}) = \bar{0}$ und $f_1(\bar{1})=f_1(\bar{3})=\bar{2}$. Es gilt wieder $ker(f_1) = \{ \bar{0},\bar{2}\}$ und per Iteration erhält man, dass alle $f_i$,  $i\geq 1$, übereinstimmen.



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