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Mathematik » Topologie » Vollständige Räume (Verständnisproblem)
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Universität/Hochschule Vollständige Räume (Verständnisproblem)
LeKau
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-08-21


Hallo Bewohner des Matheplanetens. Und zwar geht es um folgenden Wikipediaeintrag:

"Das offene reelle Intervall (0,1) ist mit der Betragsmetrik nicht
 vollständig, denn der Grenzwert 0 der harmonischen Folge liegt nicht im
 Intervall."

 Soweit so gut, nun folgt jedoch:
 
"Es gibt allerdings vollständige Metriken auf (0,1), die dieselbe
 Topologie wie die Betragsmetrik erzeugen, zum Beispiel
 d(x,y)= fed-Code einblenden + fed-Code einblenden + fed-Code einblenden + fed-Code einblenden + fed-Code einblenden für x fed-Code einblenden

 Kann mir bitte einer erklären, weshalb diese Metrik auf dem Intervall
 (0,1) vollständig ist. Ich bedanke mich im Voraus.
 
 



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ochen
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Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-08-21


Hi, ich glaube noch nicht, dass es eine Metrik ist. Es ist $d(1/2,1/2)=8\neq 0$. Aber die diskrete Metrik würde funktioneren. Hier sind Cauchyfolgen genau die Folgen, die ab irgendeinem Folgeglied konstant bleiben. Diese konvergieren aber auch.



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LeKau
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-08-21


Danke werde es morgen direkt prüfen.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-08-21


Der Term, durch den diese Metrik definiert wird, liefert bei \(x,y\in(0,1)\) immer Ergebnisse, die von Null verschieden sind. \[d(x,y)=\underbrace{\left|x-y\right|}_{\geq0}+\underbrace{\frac{1}{x}}_{>0}+\underbrace{\frac{1}{y}}_{>0}+\underbrace{\frac{1}{1-x}}_{>0}+\underbrace{\frac{1}{1-y}}_{>0}>0.\]
Ich vermute, deshalb steht da \(x\neq y\). Für \(x=y\) wird wahrscheinlich \(d(x,y)=0\) per Definition festgelegt, um die Eigenschaften einer Metrik zu erfüllen. Die Definition müsste also \[d(x,y)=\begin{cases}
\left|x-y\right|+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y} & \text{für }x\neq y\\
0 & \text{für }x=y
\end{cases}\] lauten.

Als nächstes stelle ich mir die Frage, welche Folgen bei dieser Metrik die Cauchy-Folgen sind. Bei allem, was recht ist, ich kann mir da außer den fast immer konstanten Folgen keine vorstellen.

Gruß
Martin



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-08-21


Ich denke die Metrik ist so definiert:

$d(x,y)=\begin{cases}0\space{für}\, x=y\\ |x-y|+\frac1x+\frac1y+\frac1{1-x}+\frac1{1-y}\space\text{sonst}\end{cases}$

Und gesucht ist ja auch eine Metrik die die gleiche Topologie wie der Betrag erzeugt. Das tut die diskrete Metrik ja nicht.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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Dune
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-08-21


Hi Leute,

eine Metrik ist immer stetig in (der Produkttopologie) ihrer eigenen Topologie. Ochens Anmerkung zeigt also, dass d entweder keine Metrik ist, oder nicht die Betragstopologie induzert.

VG Dune



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