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Universität/Hochschule J Freier Fall und Wachstumsraten
curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-09-03


Hallo,

habe ein Problem mit dem Verstehen einer Musterlösung.

Zwei Aufgaben:

Aufgabe 1 (Fallgeschwindigkeit):
Berechnen Sie für den freien Fall mit Anfangsgeschwindigkeit 0 die mittleren Geschwindigkeiten für die Zeitintervalle [0;1s],[1s;2s],[2s;3s],[1s;1,1s] und [1s;1,001s].

Ich habe gerechnet wie folgt:

fed-Code einblenden
Das stimmt auch mit den Geschw. in der Musterlösung überein. Allerdings nennt er da eine Funktion
fed-Code einblenden
mit der er anscheinend diese Werte errechnet haben will. Ich verstehe das x^2 dabei aber nicht.

Wenn ich anhand meines Rechenwegs eine Funktion hatte aufstellen wollen, hätte sie ausgesehen wie folgt:
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Was hat es mit dem x^2 in seiner Funktion auf sich und was müsste man für x einsetzen um auf die Lösungen zu kommen?


Aufgabe 2 (Wachstumsraten):
Nehmen wir an auf der Erde leben zu einem Zeitpunkt 0 genau 6 Milliarden Menschen und diese Zahl verdoppelt sich alle 30 Jahre. Berechnen Sie die mittlere Wachstumsrate der Erdbevölkerung in den Zeitintervallen [0;1a],[0;1d],[0;1h] und [0;1s].

Die Aufgabe konnte ich nicht lösen. Als Wachstumsrate gab er eine Seite vor der Aufgabe an, dass man diese mittels:
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
berechne.
Also habe ich es versucht wie folgt:
fed-Code einblenden
wenn ich wie in Aufg. 1 rechne, oder
fed-Code einblenden
wenn ich nach der von ihm geg. Formel für die Wachstumsrate gehe.

Beides ist anscheinend falsch. Laut Musterlösung ist die Antwort:
fed-Code einblenden
Hier verstehe ich weder wie die Funktionsgleichung hergeleitet wurde noch wie die Raten berechnet wurden. Was müsste man für x eingeben, um auf seine Raten zu kommen?

Freue mich, wenn jemand Lust hat mir die Fragen zu beantworten und bitte gebt dabei an, ob ihr zu Aufgabe 1 oder Aufgabe 2 antwortet.











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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-04


Hallo,
ich bleib erstmal bei der ersten Aufgabe.
erstmal wie man auf die Funktion kommt: f(x) ist die Ortsfunktion, also einfach nur $v(t)$ integriert (mit Anfangsbedingung 0).
Die mittlere Geschwindigkeit oder Durchschnittsgeschwindigkeit ist definiert als
$$v=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$ Etwas inkonsistent ist hier die Variable x und nicht mehr t.

Deswegen wurde auch diese f(x) Funktion verwendet (um die Orte bzw. zurückgelegten Strecken zu bestimmen). Rein vom Kontext her macht das eigentlich auch mehr Sinn, weil die momentane Geschwindigkeit ist ja eher das was man gerne haben möchte und nicht schon hat 😁

Wie kommst du denn auf deine $f(t_1,t_2)$ Funktion?


-----------------
$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-05


Die Frage ist für mich noch nicht beantwortet, auch wenn ich glaube, dass du recht haben wirst mit deinen Aussagen.

Ich würde gern wissen, wie du auf diese Funkion kamst, und wieso es die Ortsfunktion und nicht Geschwindigkeitsfunktion heißen muss, obwohl wir ja Geschwindigkeiten suchen.

Dass v(t)=g*t integriert nach t V(t)=1/2*g*t^2 ist, verstehe ich, aber nicht wieso das wichtig ist.

Ich dachte er hat eine Funktion angegeben, wo man für ein eingegebenes t die mittlere Geschwindigkeit erhält. Aber mir wäre nicht klar, was man für t dann eingeben müsste für Werte, da wir ja Intervalle mit immer zwei Randwerten hat.

Deshalb übrigens auch meine Funktion f(t_1,t_2)=1/2*g*(t_1+t_2) oder vielleicht suggestiver f(t_1,t_2)=g*(t_1+t_2)/2, wobei t_1 linker Randwert und t_2 rechter Randwert des jeweils gegebenen Intervalls [t_1,t_2] ist.

Edit: Ups, ich meine natürlich f(t_1,t_2)=g*(v(t_1)+v(t_2))/2.



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-05


Ok, mittlerweile habe ich begriffen, was du mit <math>v=\frac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}</math> meinst und dass ich diese <math>f(t_i)</math> berechne mittels der Stammfunktion von <math>v(t_i)=g*t_i</math> , die du Ortsfunktion nennst.

Ich wüsste jetzt nur noch gern, wieso man diese Ortsfunktion (Stammfunktion) braucht. Was geben diese <math>f(t_i)</math> genau an?



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-09-05


2018-09-05 20:48 - curious_mind in Beitrag No. 3 schreibt:
Ich wüsste jetzt nur noch gern, wieso man diese Ortsfunktion (Stammfunktion) braucht. Was geben diese <math>f(t_i)</math> genau an?
Die $f(t_i)$ geben den momentanen Ort [des fallenden Teilchens] zum Zeitpunkt $t_i$ an. Gesucht ist ja die mittlere Geschwindigkeit, d.h. man bestimmt welche Strecke wurde in welcher Zeit zurückgelegt.
Das kann man sich mit Autofahren gut veranschaulichen: wenn du wissen willst wie viel du im Durchschnitt fährst dann schaust du wie viel bist du gefahren ($f(t_2)-f(t_1)$ und in welcher Zeit hast du das geschafft ($t_2-t_1$).
Etwas formaler ausgedrückt ist die angegebene Formel übrigens die Steigung der Sekante (Gerade die man durch zwei Punkte zieht). Die Steigung der Sekante ist die mittlere Änderungsrate (zwischen zwei Punkten), was dann wieder auf die obige Formel führt.


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markusv
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-09-06


Die angegebene Formel ist die allgemein gültige für sämtliche Bewegungsgleichungen. Für die vorliegende gleichförmig beschleunigte Bewegung, kannst du ohne weiteres natürlich auch die Anfangs- und Endgeschwindigkeit der jeweiligen Abschnitte nutzen. Den Zusammenhang hast du ja selbst erkannt bzw. wurde er von Wirkungsquantum mit der Sekantengleichung noch einmal mathematisch genau beschrieben.

Noch einfacher könntest du \(a\cdot t_m\) nutzen, mit der mittleren Zeit \(t_m\), die zwischen \(t_1\) und \(t_2\) (arithm. Mittel) liegt. Genau genommen hast du das ja getan, denn wenn man die Gleichung umstellt, erhält man:
\[v_{1,2} = \frac{v_2-v_1}2=a\cdot\frac{t_2-t_1}2=a\cdot t_m\]
Warum die allgemeine Formel nutzen?
Um das Beispiel der Autofahrt aufzugreifen: stehst du hier zwischendrin in einem Stau, fährst mal langsamer, mal schneller, greift deine Gleichung natürlich nicht mehr. Hier lässt sich die Durchschnittsgeschwindigkeit sinnvoll nur über die zurückgelegte Strecke und die dafür benötigte Zeit ermitteln.



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-08


Um das wirklich zu verstehen - in meiner eigenen Welt  😁  - müsste ich besser verstehen, was es mit der Ortsfunktion auf sich hat.

Die mittlere oder Durchschnittsgeschwindigkeit wird mit <math>v=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}</math> errechnet. Die genaue Ableitung, also <math> \lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h}</math> würde mir die momentane Geschwindigkeit bei <math>x_1</math> liefern.

Soweit alles klar.

Aber die Ortsfunktion kann ich mir nicht vorstellen. Wie lauten für sie die Koordinatenachsen? Was sind die Einheiten für Ordinate und Abzisse?

Wenn die Steigung der Ortsfunktion die Geschwindigkeit angibt, wie müsste dann die Kurve der Ortsfunktion aussehen? Ich frage auch, weil Ort und Strecke bei Aufg. 1 überhaupt nicht erwähnt werden.

 




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reik
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-09-08


2018-09-08 12:04 - curious_mind in Beitrag No. 6 schreibt:

Aber die Ortsfunktion kann ich mir nicht vorstellen. Wie lauten für sie die Koordinatenachsen? Was sind die Einheiten für Ordinate und Abzisse?

Siehe Physiklehrbuch Klasse 9 auf mathematikalpha.de Weg-Zeit-Diagramm Seite 6.



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-08


Also für mein Verständnis:

So stelle ich mir das vor:

Ortsfunktion: \(f(t)=g*\frac{1}{2}*t^2\)

<math>
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[cross/.style={draw, cross out,
minimum size=2*(#1-1pt), inner sep=0pt, outer sep=0pt}]
%Raster zeichnen
\draw [color=gray!50]  [step=5mm] (-.0,-.0) grid (1.5,1.5);
% Achsen zeichnen
\draw[->,thick] (0,0) -- (2.0,0) node[right] {$Zeit[s]$};
\draw[->,thick] (0,0) -- (0,2.0) node[right] {$Strecke[m]$};
% Achsen beschriften

\end{tikzpicture}
\end{document}
</math>

|
|Ableitung
|
v

Geschwindigkeitsfunktion: \(f'(t)=g*t\)

<math>
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[cross/.style={draw, cross out,
minimum size=2*(#1-1pt), inner sep=0pt, outer sep=0pt}]
%Raster zeichnen
\draw [color=gray!50]  [step=5mm] (-.0,-.0) grid (1.5,1.5);
% Achsen zeichnen
\draw[->,thick] (0,0) -- (2.0,0) node[right] {$Zeit[s]$};
\draw[->,thick] (0,0) -- (0,2.0) node[right] {$Geschwindigkeit[\frac{m}{s}]$};
% Achsen beschriften

\end{tikzpicture}
\end{document}
</math>

|
|Ableitung
|
v

Beschleunigungsfunktion: \(f''(t)=g\)

<math>
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[cross/.style={draw, cross out,
minimum size=2*(#1-1pt), inner sep=0pt, outer sep=0pt}]
%Raster zeichnen
\draw [color=gray!50]  [step=5mm] (-.0,-.0) grid (1.5,1.5);
% Achsen zeichnen
\draw[->,thick] (0,0) -- (2.0,0) node[right] {$Zeit[s]$};
\draw[->,thick] (0,0) -- (0,2.0) node[right] {$Beschleunigung[\frac{m}{s^2}]$};
% Achsen beschriften

\end{tikzpicture}
\end{document}
</math>

Soweit mit meiner Vorstellung der Zusammenhänge einverstanden? (Sorry, verstehe immer nur Dinge, die ich visualisieren kann, deshalb brauche ich Graphen).

Jetzt waren mir Intervalle wie \([t_1, t_2]\), die Erdbeschl. \(g=9,81\frac{m}{s^2}\) und "freier Fall" als Informationen gegeben.

Um die mittleren Geschwindigkeiten zu berechnen, hätte ich also auf die Idee kommen müssen nicht die/eine Geschwindigkeitsfunktion zu betrachten, sondern die Stammfunktion der Geschwindigkeitsfunktion zu betrachten, um die zurückgelegten Strecken \(f(t_i)\) bzw. \(f(t_j)\) für \(t_i\) bzw. \(t_j\) zu berechnen, um diese dann ins Verhältnis zu setzen mittels der Sekantengleichung der Ortsfunktion: \(v=\frac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}\).

Habe ich das jetzt richtig verstanden alles?


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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reik
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-09-08


2018-09-08 13:55 - curious_mind in Beitrag No. 8 schreibt:

Habe ich das jetzt richtig verstanden alles?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]

Deine Ausführungen sind soweit in Ordnung und können dem verlinkten Buch entnommen werden. Mein Eindruck ist, dass du noch etwas Zeit in diese Sachverhalte investieren solltest, bevor du dich interessanteren Problemen widmest. Deine Verwendung von \(\LaTeX\) und TikZ lässt vermuten, dass du möglicherweise kein Schüler mehr bist.

2018-09-08 13:55 - curious_mind in Beitrag No. 8 schreibt:

Soweit mit meiner Vorstellung der Zusammenhänge einverstanden? (Sorry, verstehe immer nur Dinge, die ich visualisieren kann, deshalb brauche ich Graphen).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]

Du findest in diesem Video hervorragende Visualisierungen der Zusammenhänge. In diesem Thread hatte ich gleiches Videos verlinkt und ein paar Ausführungen gemacht, welche jedoch nicht vom Fragesteller gelesen wurden. Ob diese hilfreich sind/waren sei dahingestellt.

PS: Entweder \(f(x)=\dfrac{1}{2}ax^2\) oder \(f(t)=\dfrac{1}{2}at^2\) aber nicht \(f(x)=\dfrac{1}{2}at^2\) oder \(f(t)=\dfrac{1}{2}ax^2\).



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-09


Hallo reik,

ich habe keinen der Koordinatensysteme deinem verlinkten Buch entnommen, das hatte ich nur ganz kurz überflogen. Danke dafür, aber "Kinematics" interessiert mich momentan nicht sonderlich; und ich denke, dass noch genug aus der Physik-Mittelstufe hängengeblieben ist, falls ich das je brauche. Aber wenn ich es die Tage mal schaffe, schaue ich mir gern dein Video an. Schaden kann's nicht. Du hast recht, dass ich mich mit dem Verständnis einiger Themen der Differentialrechnung (auch besonders Stetigkeitsbeweisen) sehr schwer tue, zum Glück fällt mir dafür (Lineare) Algebra und anderes aus der Mathematik leichter. (Ich studiere in Teilzeit Mathe - deshalb auch der Bereich Uni)

Es geht nicht darum, dass ich keine Weg-Zeit-Diagramme verstehe oder Sekantengleichungen, mich hat aber gewundert, dass ich hätte darauf kommen müssen eine Stammfunktion zu konstruiieren an einer Stelle in meinem Buch an dem noch nie von Integralbildung die Rede war. Da war der Stoff, den ich gerade bearbeite also etwas unpädagogisch. Mir fehlt auch irgendwie die erhellende Antwort hier im Thread, wie(so) man hätte darauf kommen / dahin schließen müssen, die Stammfunktion zu bilden, außer eben durch Erfahrung. Aber vielleicht ändert sich das, wenn ich darüber noch mal in Ruhe nachdenke.

Danke an alle Beteiligten! :-)

P.S. Ich glaube nicht, dass alle sich immer einloggen, wenn sie Antworten in ihrem Thread lesen.



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-10


Nee Leute,

es ist doch nicht alles klar.

Jetzt habe ich mich an Aufgabe Nr. 2 gemacht mit der Erdbevölkerung. Gegeben sind die Informationen <math>E(t_0)=E(0)=6\cdot10^9</math> als Erdbevölkerung zum Zeitpunkt <math>t_0</math>, und dass diese sich alle 30a verdoppelt.
Damit soll ich die mittleren Wachstumsraten berechnen für die Zeitintervalle [0,1a],[0,1d],[0,1h],[0,1s].

Folgendes (analog zu Aufg. 1) dachte ich mir:
Ich will also die mittl. Wachstumsrate berechnen und diese wäre dann

<math> \bar{w} =\frac{E(t_i)-E(t_j)}{t_i-t_j}</math>, d.h. ich muss eine Funktion aufstellen, die mir die <math>(E_i)s</math> liefert.

Also brauche ich die Bevölkerungsfunktion

 <math>
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[cross/.style={draw, cross out,
minimum size=2*(#1-1pt), inner sep=0pt, outer sep=0pt}]
%Raster zeichnen
\draw [color=gray!50]  [step=5mm] (-.0,-.0) grid (1.5,1.5);
% Achsen zeichnen
\draw[->,thick] (0,0) -- (2.0,0) node[right] {$Zeit[t]$};
\draw[->,thick] (0,0) -- (0,2.0) node[right] {$E[t]$};
% Achsen beschriften

\end{tikzpicture}
\end{document}
</math>

Das müsste die Stammfunktion sein von:

 <math>
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[cross/.style={draw, cross out,
minimum size=2*(#1-1pt), inner sep=0pt, outer sep=0pt}]
%Raster zeichnen
\draw [color=gray!50]  [step=5mm] (-.0,-.0) grid (1.5,1.5);
% Achsen zeichnen
\draw[->,thick] (0,0) -- (2.0,0) node[right] {$Zeit[t]$};
\draw[->,thick] (0,0) -- (0,2.0) node[right] {$Wachstumsrate[w]$};
% Achsen beschriften

\end{tikzpicture}
\end{document}
</math>

Also bin ich der Meinung ich brauche erst mal die Funktionsgleichung <math>w(t)=...</math> und muss davon dann die Stammfunktion nehmen, um meine <math>E(t_i)</math> zu berechnen.

Die Wachstumsfunktion hätte ich so formuliert:
<math>w(t)= 6\cdot10^9\cdot2\cdot\frac{t}{30a} </math>.

Die Stammfunktion wäre dann: <math>E(t)= 6\cdot10^9\cdot\frac{t^2}{30a} </math>.

In der ML steht aber die Funktion:  <math>f(x)= 6\cdot10^9\cdot2^{\frac{x}{30a}} </math>.

 ☹️

Selbst wenn ich nachvollziehen kann, dass er eine Potenz von 2 nutzt, verstehe ich nicht wie er darauf kommt.




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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-10


.



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-09-10


Wie kommst du denn auf deine Funktion?

Bevölkerungen sind immer so ein Indiz für exponentielles Wachstum 😁 Aber das kann natürlich begründet werden (auf zwei Arten, ich teste mal beide):
1. Die intuitivste Art ist übe die geometrische Folge:
Nach Aufgabenstellung verdoppelt sich der Bestand jährlich. Es gilt demnach $$f(1)=2f(0)$$ Weiter folgt (da er jedes Jahr sich verdoppelt) folgt für das nächste mal $$f(2)=2f(1)=2\cdot 2 f(0)=2^2f(0)$$ Für das n-te mal gilt demnach $$f(n)=f(0)2^n$$ Da sich der Bestand nach n Jahren, n mal verdoppelt (also n-mal "mal 2 genommen").

2. Es liegt exponentielles Wachstum vor, wenn die Änderung des Bestands proportional zu seinen Bestand ist (als DGL ausgedrückt $f'(x)=kf(x)$). Anders gesagt bedeutet das: je mehr man hat, desto mehr ändert es sich auch. Das hier der Fall, da es sich jährlich verdoppelt, ist der Effekt der Verdopplung umso größer, je mehr schon da ist.
Das kannst du dir wie Zinsen vorstellen: je mehr Geld auf dem Konto ist, desto werden auch die Zinsen sein.

Um das ganze nicht auf Folgen zu beschränken betrachtet man aber nicht nur natürliche Zahlen sondern reelle.

Grüße
h


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$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-12


Was ich nicht verstehe ist, wieso da jetzt ein ganz anderes Vorgehen ist
- ohne Stammfunktion bilden - als in Aufg. 1.



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-09-12


Naja das Stammfunktion bilden war ja in Aufgabe 1 nicht Pflicht. Man hätte auch auch direkt die Ortsfunktion ansetzen können (so wie die Musterlösung es in Aufgabe 1 getan hat).
Das Ziel ist es immer eine Funktion zu finden, die Aussage über den momentanen Stand gibt. Im Fall des freien Falls ist sie (zumindest Herleitungsmäßig) eher über die Stammfunktion zugänglich und im zweiten Beispiel direkt.

Grüße,
h


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$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$



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2018-09-12 11:38 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 15 schreibt:
Im Fall des freien Falls ist sie (zumindest Herleitungsmäßig) eher über die Stammfunktion zugänglich und im zweiten Beispiel direkt.

Ok, damit kann ich leben. Dann ist es wohl Erfahrungssache.
Danke für die Antwort.



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-09-12


Naja Erfahrungssache nicht direkt (zumindest im zweiten Beispiel). Wie man darauf kommt hab ich ja in #13 erläutert. Im Zweifel hilft es auch immer sich eine DGL aufzustellen wenn man unsicher ist wie man den Prozess beschreiben soll.

Grüße,
h


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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-09-12


Hallo
 noch mal zu deinem Ansatz und der Aufgabe. wenn da stünde: sich in 30 Jahren verdoppelt, wäre dein Ansatz richtig, oder genausogut wie der Exponentielle
 Da steht aber "ALLE 30 Jahre verdoppelt", das geht nicht mit deinem Ansatz sondern nur mit  2^(t/30a) weil nur dann nach 60 Jahren die Zahl von 30 Jahren  wieder verdoppelt ist usw.
Gruß lula


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Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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2018-09-10 19:39 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 13 schreibt:
...die geometrische Folge:
Nach Aufgabenstellung verdoppelt sich der Bestand jährlich. Es gilt demnach $$f(1)=2f(0)$$ Weiter folgt (da er jedes Jahr sich verdoppelt)...


Der Bestand verdoppelt sich aber in 30 Jahren, nicht jährlich.

Mit Erfahrungssache meinte ich eher: Zu wissen, ob man bei solchen Aufgaben (wie Aufg. 1 und 2., wo es um Wachstumsrate bzw. ihre Bestimmung geht) lieber die Stammfunktion nutzt (wenn wie in Aufg.1 die Berechnung der Geschwindigkeit mittels g*t klar ist, also die Funktion f klar ist) oder ob man sich die Wachstumsfunktion durch Denken herleitet, wie in Aufg. 2, wo keine Funktion für das Wachstum gegeben war.



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lula
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Hallo
 in Aufgabe 1 ist es eigentlich wirklich überflüssig die Stammfunktion zu benutzen, es geht hier nur weil die Tangente im Mittelpunkt eine Stückes parallel zu der Sekante ist. es ist also ein Sonderfall, den man nicht wichtig nehmen sollte, ausser diesem Fall braucht man immer die Sekantensteigung für die Rate zwischen 2 Punkten.
Gruß lula


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2018-09-12 11:38 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 15 schreibt:
Naja das Stammfunktion bilden war ja in Aufgabe 1 nicht Pflicht. Man hätte auch auch direkt die Ortsfunktion ansetzen können (so wie die Musterlösung es in Aufgabe 1 getan hat)

In der ML stand bloß <math>f(x)=1/2\cdot g\cdot x^2</math> - wie der Autor darauf gekommen ist, weiß ich ja gerade nicht. Ich dachte, weil es die Stammfunktion von <math>g*t </math> ist (mit t als sinnvollere Variable).
Was meinst du mit "Ortsfunktion direkt ansetzen"? Meinst du selbst herleiten? Dann wüsste ich gern, mit welchen Gedanken man auf diese Ortsfunktion kommen würde. Oder wird die einfach als bekannt vorausgesetzt, aus dem Physikunterricht?

2018-09-13 15:22 - lula in Beitrag No. 20 schreibt:
Hallo
 in Aufgabe 1 ist es eigentlich wirklich überflüssig die Stammfunktion zu benutzen, es geht hier nur weil die Tangente im Mittelpunkt eine Stückes parallel zu der Sekante ist.

Wir haben ja nicht <math>\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x_1)+h-f(x_1)}{h}=0</math> gebildet, falls du das meinst.

Wie hätte man es denn sonst lösen sollen?




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markusv
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2018-09-14 12:49 - curious_mind in Beitrag No. 21 schreibt:
Dann wüsste ich gern, mit welchen Gedanken man auf diese Ortsfunktion kommen würde.
\(s=\frac12a\cdot t^2 +v_0\cdot t+s_0\) mit \(a=g\) und \(v_0=s_0=0\).



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reik
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2018-09-15


2018-09-14 12:49 - curious_mind in Beitrag No. 21 schreibt:

Dann wüsste ich gern, mit welchen Gedanken man auf diese Ortsfunktion kommen würde.


Aus der konstanten Beschleunigung der Masse, hervorgerufen durch die an ihr angreifende Gewichtskraft, erfolgt beim freien Fall mit Randbedingungen $s(0)=0$ und $v(0)=0$ bei doppelter Fallzeit auch eine Verdopplung der Endgeschwindigkeit und damit Durchschnittsgeschwindigkeit. Mit dieser verdoppelten Durchschnittsgeschwindigkeit fällt die Masse doppelt so lange, legt also die vierfache Fallstrecke zurück.

Hieraus lässt sich auch leicht einsehen, dass für die Geschwindigkeitsverdopplung eine Kraft entgegen der Gewichtskraft entlang des vierfachen Weges Arbeit verrichten musste und damit dem Körper eine vierfache potentielle Energie innewohnt, d.h. die Arbeit, welche nun potentiell durch die Gewichtskraft am Körper wiederum verrichtet werden kann, wenn er sich von seinem erhöhten Endzustand zurück zum Ausgangszustand bewegt. Diese Arbeit trägt zur Änderung der kinetischen Energie bei, welche bei verlustfreier Umwandlung (Reibungsfreiheit) der ursprünglichen potentiellen Energie entspricht. Eine Geschwindigkeitsverdopplung resultiert also in vierfacher kinetischer Energie. (Gedankengang dem Buch Denksport Physik von Lewis C. Epstein entlehnt.)

Wer also in der 30er Zone mit 42 km/h fährt, verdoppelt seinen Bremsweg.

Eine konstante Beschleunigung \(a=\frac{\text{d}v}{\text{d}t}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\) ist die Rate der Geschwindigkeitsänderung \(\Delta v=v(t_2)-v(t_1)\) in der Zeit \(\Delta t=t_2-t_1\), d.h. die Geschwindigkeitsänderung ist \(\Delta v=a\Delta t\). Die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten \(t_1\) und \(t_2\) ist \(\bar{v}=\frac{v(t_1)+v(t_2)}{2}\) und wegen der Randbedingung \(v(0)=0\) mit \(t_1=0\) gilt zu jedem Zeitpunkt $t$ des freien Falls für die Geschwindigkeitsänderung \(v(t)=at\) und für die Durchschnittsgeschwindigkeit \(\bar{v}=\frac{1}{2}v(t)=\frac{1}{2}at\).

Die konstante Durchschnittsgeschwindigkeit \(\bar{v}=\frac{\text{d}s}{\text{d}t}=\frac{\Delta s}{\Delta t}\) ist die Rate der Verschiebung \(\Delta s=s(t_2)-s(t_1)\) in der Zeit \(\Delta t=t_2-t_1\), d.h. die Verschiebung ist \(\Delta s=\bar{v}\Delta t\). Wegen der Randbedingung \(s(0)=0\) mit \(t_1=0\) gilt zu jedem Zeitpunkt $t$ des freien Falls für die Verschiebung \(s(t)=\bar{v}t=\frac{1}{2}v(t)t=\frac{1}{2}at^2\).



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-16


Ok, danke. Das hilft mir weiter.



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curious_mind hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
curious_mind hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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