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Mathematik » Topologie » Kompaktheit einer Menge nachweisen im ℝ³
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Universität/Hochschule J Kompaktheit einer Menge nachweisen im ℝ³
Scheystein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-09-10


Hallo,
ich bin gerade mit der Vorbereitung für eine Klausur beschäftig. Hierzu möchte ich nachweisen, dass die Menge
fed-Code einblenden
kompakt ist. f ist hierbei eine stetig Funktion auf [a,b] in die positiven reellen Zahlen. Ich habe bereits mich an einem Beweis versucht, jedoch einen Fehler entdeckt (im Anhang als pdf). Kann ich den Definitionsbereich von f auf ganz R abändern und stetig machen, indem ich es an den Rändern a und b konstant fortsetze? Ich bräuchte dann
fed-Code einblenden
nicht mehr und bei
fed-Code einblenden
würde ich |R^3 schreiben statt [a,b] x |R^2
Ist dann mein Beweis vollständig und richtig?

Viele Grüße
Scheystein  😄




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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo Scheystein,

vergib mir, dass es mir zu spät ist, deinen Ansatz ganz durchzulesen. ;)
Die Beweise der Beschränktheit von $K$ und der Offenheit von $K_1^c$ sind in Ordnung.
Für $K_2^c$ würde ich ein bisschen anders vorgehen:
Deine Idee $f$ auf ganz $\IR$ stetig fortzusetzen ist gut. Dann kannst du anstelle von $K_2^c$ die Menge $K_3^c:=\{(x,y,z)\in\IR^3\mid y^2+z^2>f(x)^2\}$ betrachten. Wenn du weißt, dass die Abbildung $g:\IR^3\to \IR,(x,y,z)\mapsto y^2+z^2-f(x)^2$ stetig ist, und, dass stetige Urbilder offener Mengen offen sind, dann kannst du ganz ohne $\epsilon$-Schlachten zeigen, dass $K_3^c$ offen ist.
\(\endgroup\)


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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-09-10


Hallo Scheystein,

oder man verwendet direkt, dass $h:[a, b] \times \mathbb R^2 \to \mathbb R, \, h(x, y, z) = f(x)^2-y^2-z^2$ stetig ist und damit $K = f^{-1}([0, \infty))$ abgeschlossen in $[a, b] \times \mathbb R^2$ ist als Urbild einer abgeschlossenen Menge. Da $[a, b] \times \mathbb R^2$ abgeschlossen in $\mathbb R^3$ ist, ist $K$ damit auch abgeschlossen in $\mathbb R^3$.

Alternativ kannst du auch einfach zeigen, dass ein Häufungspunkt von $K$ wieder in $K$ liegt: Gelten für eine konvergente Folge die Ungleichungen $a \leq x\leq b$, $y^2 + z^2 \leq f(x)^2$ für alle Folgenglieder so wegen der Stetigkeit von $f$ (und damit auch $f^2$) auch für den Grenzwert.



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Scheystein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-10


Euch beiden vielen Dank und Nuramon ich vergebe dir natürlich, wenn du freiwillig in einem Forum dich um eine Antwort zu später Stunde bemühst  😛 . Für \(g\) müsste ich das Urbild der offene Menge \((0,\infty)\) --> \(g((0,\infty)) = K_3^c\) betrachten. Dann ist \(K_3^c\) offen, da \(g\) stetig und Urbild einer offenen Menge ist. Bei qzwru verstehe ich den zweiten Satz nicht. Warum folgt aus \([a,b] \times \mathbb{R}^2\) abgeschlossen in \(\mathbb{R}^3\), dass \(K\) abgeschlossen ist  😵 . Kann man diesen Satz nicht einfach weglassen. Die alternative Methode ist mir wieder schlüssig.

Dankend
Scheystein



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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-09-10


2018-09-10 14:49 - Scheystein in Beitrag No. 3 schreibt:
Warum folgt aus \([a,b] \times \mathbb{R}^2\) abgeschlossen in \(\mathbb{R}^3\), dass \(K\) abgeschlossen ist  😵 . Kann man diesen Satz nicht einfach weglassen.

Ne, kann man nicht. Es ist z.B. $f:(0,2) \to \mathbb R, \, f(x)=x$ stetig und $f^{-1}([1, 3]) = [1, 2)$ ist zwar abgeschlossen in $(0,2)$ (wie es auch sein muss, als Urbild einer abgeschlossenen Menge) aber nicht in in $\mathbb R$.

Sind $A\subseteq B \subseteq \mathbb R^n$ und ist $A$ abgeschlossen in $B$ und $B$ abgeschlossen in $\mathbb R^n$ so ist $A$ abgeschlossen in $\mathbb R^n$: Ist $x\in \mathbb R^n$ ein Häufungspunkt von $A$, so ist $x$ auch Häufungspunkt von $B$  woraus $x\in B$ folgt ($B$ abgeschlossen in $\mathbb R^n$) und damit $x\in A$ (da $x\in B$ Häufungspunkt von $A$ und $A$ abgeschlossen in $B$).

Sieht man sonst auch daran, dass sich jede in $B$ abgeschlossene Menge $A$ schreiben lässt als $A = B \cap C$ mit einer in $\mathbb R^n$ abgeschlossen Menge $C$ und endliche Schnitte abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind.

Analoges gilt natürlich auch in beliebigen metrischen/topologischen Räumen.



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Scheystein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-10


Ah schön  😄  . Das macht nun Sinn und hat mir beim Verständnis von Abgeschlossenheit sehr geholfen.



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