Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Gockel Dune
Mathematik » Topologie » Orientierbarkeit einer Mannigfaltigkeit fortsetzbar
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Orientierbarkeit einer Mannigfaltigkeit fortsetzbar
KarlRuprecht
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.03.2017
Mitteilungen: 167
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-09-12


Guten Abend,

hätte da folgende Frage:

Sei $M$ eine $n$-Mannigfaltigkeit und $R$ ein Hauptidealring. $M$ wird als $R$- orientierbar bezeichnet, wenn für jedes  $x \in M$ eine Familie von Erzeugern (daher Hauptidealring) existiert $[M]_x \in H_n(M, M - \{x\}) \cong H_n(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n- \{x\}) \cong \widetilde{H_n}(S^n) \cong R$ of $R$, sodass für jedes $x \in M$ eine offene Umgebung $U \subset M$ existiert mit $x \in U$, sowie ein $\alpha \in H_n(M, M- U)$ mit folgender Eigenschaft:

Für jedes $ z \in U $ gilt:

$\alpha \mapsto [M]_z$ unter kanonischer Abbildung $H_n(M, M-U) \to H_n(M, M - \{z\}) $

mit anderen Worten $\alpha$ wird lokal auf die Erzeuger $[M]_z$ abgebildet. (Bem.: Ich weiß, dass es mehrere äquiv. Definitionen von $R$-Orientierbarkeit gibt, jedoch möchte ich nach Möglichkeit den Beweis über die Obige führen)

Ich versuche folgende Äquivalenz zu beweisen:

Sei $B \subset M$ ein abgeschlossener $n$-Ball von $M$ (also $B \cong \overline{B_r(0)}$).

Zu zeigen: $M$ ist $R$-orgientierbar genau dann, wenn $M\backslash B$  $R$-orientierbar.

"$\Rightarrow$" ist trivial. Nun zu "$\Leftarrow$":

Habe folgende Überlegung angestellt:

Ansatz wäre zu zeigen, dass die per Annahme gegebene Oriertierung auf $M \backslash B$ sich kompatibel auf $B$ fortsetzt. Das Problem ist lokal. Also genügt es zu zeigen, dass falls $B′$ ein $n$-Ball ist,der $B$ enthält und und $B' \backslash B$ orienteirbar ist, diese (Orientierung) sich auf ganz $B'$ fortsetzt. Ergo OBdA $M = B'$.

Ab hier komme ich jedoch nicht weiter.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ex_Mitglied_4018
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-14


Tipp: wie sehen in der gesamten Konstruktion die Homologiegruppen bzw. die Homomorphismen zwischen den Homologiegruppen aus, wenn M ein Ball ist?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
KarlRuprecht
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.03.2017
Mitteilungen: 167
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-14


Wenn $M$ ein $n$ (?)-Ball ist, also $M \cong I^n$, dann ändern sich wiederum nach Aussschneidung und Homotopieäquivalenz zwischen $I^n $ und $\mathbb{R}^n$  die Homologiegruppen $H_n(M, M - \{x\}) \cong H_n(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n- \{x\}) \cong \widetilde{H_n}(S^n) \cong R$ nicht.
Falls $U$ ein kleinerer Ball ist, so ebenso $H_n(M, M-U) \cong R$. Allerdings sehe ich nichtganz , wie mich das weiterbringt.

Vermutung: Meinst du vielleicht, dass man in $B$ einen beliebigen Punkt $x$ wählt, dann hat man zunächst einen von Inklusionen (also kanonischen) Iso $H_n(M, M-B) \cong H_n(M, M - \{x\}) $ gegeben, sodass für einen beliebigen anderen Punkt $x' \neq x$ in $B$ die wiederum kanonisch induzierte Abbildung $H_n(M, M-B) \cong H_n(M, M - \{x'\}) $ wieder wegen Homotopieäquivalenz zwischen $M -B $ und $M-*$ keine andere "Wahl" hat? Oder habe ich deinen Tipp missverstanden?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ex_Mitglied_4018
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-09-16


Ja, das meine ich. Das musst du nun formalisieren. Beachte: Die Aufgabe besteht ja darin, Erzeuger $[M]_x$ von $H_n(M, M - \{x\})\cong R$ für alle x in B zu definieren, die kompatibel zu den bereits existierenden Erzeuger sind (im Sinne der gegebenen Definition, dass sie auf einer Umgebung auf die selbe Klasse $\alpha$ zurückgezogen werden).





Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
KarlRuprecht hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
KarlRuprecht hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]