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Mathematik » Topologie » Orientierbarkeit einer Mannigfaltigkeit fortsetzbar
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Universität/Hochschule J Orientierbarkeit einer Mannigfaltigkeit fortsetzbar
KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-09-12 01:31

\(\begingroup\)
Guten Abend,

hätte da folgende Frage:

Sei $M$ eine $n$-Mannigfaltigkeit und $R$ ein Hauptidealring. $M$ wird als $R$- orientierbar bezeichnet, wenn für jedes  $x \in M$ eine Familie von Erzeugern (daher Hauptidealring) existiert $[M]_x \in H_n(M, M - \{x\}) \cong H_n(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n- \{x\}) \cong \widetilde{H_n}(S^n) \cong R$ of $R$, sodass für jedes $x \in M$ eine offene Umgebung $U \subset M$ existiert mit $x \in U$, sowie ein $\alpha \in H_n(M, M- U)$ mit folgender Eigenschaft:

Für jedes $ z \in U $ gilt:

$\alpha \mapsto [M]_z$ unter kanonischer Abbildung $H_n(M, M-U) \to H_n(M, M - \{z\}) $

mit anderen Worten $\alpha$ wird lokal auf die Erzeuger $[M]_z$ abgebildet. (Bem.: Ich weiß, dass es mehrere äquiv. Definitionen von $R$-Orientierbarkeit gibt, jedoch möchte ich nach Möglichkeit den Beweis über die Obige führen)

Ich versuche folgende Äquivalenz zu beweisen:

Sei $B \subset M$ ein abgeschlossener $n$-Ball von $M$ (also $B \cong \overline{B_r(0)}$).

Zu zeigen: $M$ ist $R$-orgientierbar genau dann, wenn $M\backslash B$  $R$-orientierbar.

"$\Rightarrow$" ist trivial. Nun zu "$\Leftarrow$":

Habe folgende Überlegung angestellt:

Ansatz wäre zu zeigen, dass die per Annahme gegebene Oriertierung auf $M \backslash B$ sich kompatibel auf $B$ fortsetzt. Das Problem ist lokal. Also genügt es zu zeigen, dass falls $B′$ ein $n$-Ball ist,der $B$ enthält und und $B' \backslash B$ orienteirbar ist, diese (Orientierung) sich auf ganz $B'$ fortsetzt. Ergo OBdA $M = B'$.

Ab hier komme ich jedoch nicht weiter.
\(\endgroup\)


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Zaos
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Aus: Rosario/Argentina
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-14 13:20


Tipp: wie sehen in der gesamten Konstruktion die Homologiegruppen bzw. die Homomorphismen zwischen den Homologiegruppen aus, wenn M ein Ball ist?



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KarlRuprecht
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-14 19:40

\(\begingroup\)
Wenn $M$ ein $n$ (?)-Ball ist, also $M \cong I^n$, dann ändern sich wiederum nach Aussschneidung und Homotopieäquivalenz zwischen $I^n $ und $\mathbb{R}^n$  die Homologiegruppen $H_n(M, M - \{x\}) \cong H_n(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n- \{x\}) \cong \widetilde{H_n}(S^n) \cong R$ nicht.
Falls $U$ ein kleinerer Ball ist, so ebenso $H_n(M, M-U) \cong R$. Allerdings sehe ich nichtganz , wie mich das weiterbringt.

Vermutung: Meinst du vielleicht, dass man in $B$ einen beliebigen Punkt $x$ wählt, dann hat man zunächst einen von Inklusionen (also kanonischen) Iso $H_n(M, M-B) \cong H_n(M, M - \{x\}) $ gegeben, sodass für einen beliebigen anderen Punkt $x' \neq x$ in $B$ die wiederum kanonisch induzierte Abbildung $H_n(M, M-B) \cong H_n(M, M - \{x'\}) $ wieder wegen Homotopieäquivalenz zwischen $M -B $ und $M-*$ keine andere "Wahl" hat? Oder habe ich deinen Tipp missverstanden?
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Zaos
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Aus: Rosario/Argentina
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-09-16 12:48

\(\begingroup\)
Ja, das meine ich. Das musst du nun formalisieren. Beachte: Die Aufgabe besteht ja darin, Erzeuger $[M]_x$ von $H_n(M, M - \{x\})\cong R$ für alle x in B zu definieren, die kompatibel zu den bereits existierenden Erzeuger sind (im Sinne der gegebenen Definition, dass sie auf einer Umgebung auf die selbe Klasse $\alpha$ zurückgezogen werden).


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