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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Verknüpfung Funktionenfolge und Funktion
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Universität/Hochschule Verknüpfung Funktionenfolge und Funktion
DerM
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  Themenstart: 2018-09-13

Aufgabe: Seien I,D ⊂ R und f : D -> R gleichmäßig stetig. Weiter sei (gn : I -> D) eine gleichmäßig konvergente Funktionenfolge. Zeigen Sie, dass (f ° gn) gleichmäßig auf I konvergent ist. Also rein anschaulich ist mir schon klar, dass eine gleichmäßig konvergente Funktionenfolge natürlich eine feste Funktion als Grenzwert hat, genauso ist mir klar, dass diese Grenzwertfunktion in der Betrachtung mit einer gleichmäßig stetigen Funktion verknüpft wird. (dies habe ich rein anschaulich so verstanden,dass eine gleichmäßig stetige Funktion eine begrenzte Steigung aufweißt, weshalb f(x) = x gleichmäig stetig ist, f(x) = x^2 jedoch nicht) Nun muss es also natürlich so sein, dass diese Verknüpfung wieder gleichmäßig konvergent ist, also eine Grenzfunktion hat, also beschränkt ist. Meine Frage ist nun: wie schreibe ich das mathematisch korrekt und ordentlich auf?


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Kampfpudel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-13

Hey DerM, schreib doch mal ganz genau hin, was bekannt ist und was zu zeigen ist. Mit "ganz genau" meine ich, dass du die mathematischen Definitionen angeben sollst (also jeweils in Form von \(\forall ~\epsilon >0 ~\exists ~ ...\) Dann sehen wir weiter. Edit: Es würde der Anschauung sehr zugute kommen, wenn du Latex für die Formeln benutzen würdest.


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DerM
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-13

Erstmal danke für die Antwort, ich habe absolut keine Ahnung wie Latex funktioniert, habe ich in meinem Studium noch nicht gebraucht. Was gegeben ist habe ich quasi wortwörtlich zitiert, steht direkt nach "Aufgabe:".


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DerM
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-13

Relevante Definitionen sind allerdings wohl diese hier, hab mal ne Notlösung organisiert. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50064_mathezeug.png


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DerM
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-13

So, ich hoffe hier erkennt man das gewünschte besser. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/50064_mathezeug1.png


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Kampfpudel
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  Beitrag No.5, eingetragen 2018-09-13

Zur Not: such nach Themen, in denen auch irgendwas mit Stetigkeit oder Konvergenz gemacht wurde, drücke bei einem Beitrag auf "Quote" und schau dir den entsprechenden Latex-Code an. Ich schreib mal die Definition von gleichmäßiger Konvergenz für die \(g_n\) in \(\epsilon\)-Schreibweise hin, dann kannst du bei diesem Beitrag ja auch mal auf "Quote" drücken. Also: \(g_n: ~I \to D\) konvergiert gleichmäßig gegen \(g: ~I \to D\) per Definition genau dann, wenn \(\forall \epsilon>0 ~\exists n_0 \in \mathbb{N} ~\forall n \geq n_0:\) \(|g_n(x) - g(x)| < \epsilon\) \(\forall x \in I\). Zu zeigen ist nun das entsprechende, wenn ich \(g_n\) durch \(f \circ g_n\) und \(g\) durch \(g \circ f\) ersetze, also zu zeigen ist: \(\forall \epsilon>0 ~\exists n_0 \in \mathbb{N} ~\forall n \geq n_0:\) \(|f(g_n(x)) - f(g(x))| < \epsilon\) \(\forall x \in I\). Eine Idee wie man nun anfängt? Edit: Ursprünglich stand oben zweimal "\(\forall x \in D\)", dort gehört aber jeweils "\(\forall x \in I\)" hin und wurde entsprechend korrigiert


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DerM
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-13

Nein, absolut überhaupt nicht. Ich muss auch zugeben, dass ich diese Schreibweisen mit epsilon und delta für die normale Stetigkeit in Analysis 1 schon vollkommen unnütz und viel zu wuselig fand, ich für meinen Teil steige da überhaupt nicht durch, anschauliche Erklärungen sind mir wesentlich lieber. Tut mir leid, wenn ich mich da doof anstelle.


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Kampfpudel
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  Beitrag No.7, eingetragen 2018-09-13

Ich denke, dass sich (beinahe ohne Ausnahme) jeder erstmal doof anstellt, wenn man zum ersten mal mit der \(\epsilon - n_0\)-Definition von Konvergenz bzw. der \(\epsilon -\delta\)-Definition von Stetigkeit zu tun bekommt. Dennoch ist es unheimlich wichtig, damit umgehen zu können. Konvergenz und Stetigkeit sind die beiden grundlegendsten und wichtigsten Konzepte der Analysis. Da ist es, denke ich, logisch, dass es wichtig ist mit deren Definitionen gut umgehen zu können. Ich wiederhole noch Mal, was zu zeigen ist: \(\forall \epsilon>0 ~\exists n_0 \in \mathbb{N} ~\forall n \geq n_0:\) \(|f(g_n(x)) - f(g(x))| < \epsilon\) \(\forall x \in I\). Wenn du in dein Skript schaust, wirst du sicherlich feststellen, dass man solche "\(\forall ~\epsilon >0\)"-Aussagen immer mit "Sei \(\epsilon >0\) beliebig" beginnt. Fangen wir also auch so an: Sei \(\epsilon >0\) beliebig. Nun müssen wir also für dieses beliebige \(\epsilon >0\) zeigen, dass ein \(n_0 \in \mathbb{N}\) existiert, sodass für alle \(n \geq n_0\) und alle \(x \in I\) gilt: \(|f(g_n(x)) - f(g(x))| < \epsilon\). An der Stelle sei bemerkt, dass wir bis hierhin noch nichts gezeigt/entdeckt/geschaffen haben, sondern "nur" hingeschrieben, was zu tun ist. Und ich versuche jetzt dich Schritt für Schritt der Lösung zu nähern, ohne dir auf einmal die Lösung hinzuklatschen (denn das bringt nichts). Nun, wie findet man dieses \(n_0\)? Dazu muss man nun die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit von \(f\) mit der Definition der gleichmäßigen Konvergenz der \(g_n\) kombinieren. Unser Ziel ist es ja, den Ausdruck \(|f(g_n(x)) - f(g(x))|\) "klein" zu bekommen. Die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit von \(f\) verrät uns, wie ein Ausdruck der Form \(|f(\text{irgendwas}) - f(\text{was anderes})|\) klein wird, nämlich indem die Differenz der Argumente (also das, was in \(f\) jeweils eingesetzt wird) "klein" wird. In Unserem Fall sind die Argumente von \(f\) einmal \(g_n(x)\) und einmal \(g(x)\). Wir müssen also zusehen, dass die Differenz von \(g_n(x)\) und \(g(x)\) "klein" wird. Wie das geschieht, verrät dir die Definition der gleichmäßigen Konvergenz der \(g_n\). Versuch darüber mal nachzudenken. Vielleicht siehst du ja, worauf das hinausläuft. Teile bitte mal deine Gedanken dazu, dann können wir weiter darauf aufbauen


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DerM
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-13

Mir ist absolut bewusst, dass gn(x) im Grenzwert beliebig nah an g(x) herankommt, das ist natürlich eine Folge der gleichmäßigen Konvergenz. Ich habe absolut keine Probleme mir das vorzustellen, es hapert nur am hinschreiben (glaube ich wenigstens, vllt lässt Dunning-Kruger auch grüßen)


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DerM
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-13

Mir ist auch bewusst, dass eine Konsequenz der gleichmäßigen stetigkeit eine beschränkte Steigung ist, weshalb sich die glm. Konvergenz "fortsetzen" muss. Aber wie schon gesagt weiß ich nicht, wie ich das aufzuschreiben habe.


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Wauzi
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  Beitrag No.10, eingetragen 2018-09-13

\quoteon(2018-09-13 21:51 - DerM in Beitrag No. 9) Aber wie schon gesagt weiß ich nicht, wie ich das aufzuschreiben habe. \quoteoff So wie es definiert ist. Die Vorstellung ist hier nicht gefragt. Schreibe hin, was konkret gegeben ist, schreibe was gezeigt werden muß und finde dann den Weg. Jetzt erst kommt die Vorstellung, also wie geht man zum Ziel. Was ist dabei als Zwischenziel denkbar? Wie schaut dies in der mathematischen Formulierung aus? Was ist zu zeigen? Und all das geht nur mit und nie ohne Formalismus. Aussagen wie "Mir ist das eigentlich klar, aber ich weiß nicht, wie ich es hinschreiben soll" sagen nur eines aus: Es ist mir überhaupt nicht klar! Gruß Wauzi


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Kampfpudel
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  Beitrag No.11, eingetragen 2018-09-13

Gut, eine richtige Vorstellung zu haben, ist viel wert. Das mit der Steigung stimmt nicht ganz. Was du meinst, sind Lipschitz-stetige Funktionen. Aber nicht jede gleichmäßig stetige Funktion ist Lipschitz-stetig. Beispiel: \(f: [0,1] \to \mathbb{R}\), \(f(x)= \sqrt{x}\). Diese Funktion ist gleichmäßig stetig (als stetige Funktion auf kompaktem Intervall), hat aber keine beschränkte Steigung. Nun wieder zum ursprünglichen Problem. Nun, Ziel war es ja ein \(n_0\) zu finden, sodass für alle \(n \geq n_0\) und alle \(x \in I\) gilt: \(|f(g_n(x)) - f(g(x))| < \epsilon\). Ein Blick in die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit von \(f\) zeigt uns, dass die gewünschte Ungleichung \(|f(g_n(x)) - f(g(x))| < \epsilon\) gerade dann erfüllt ist, wenn \(| g_n(x) - g(x)| < \delta\) gilt, wobei \(\delta >0\) gerade das \(\delta\) zu unserem beliebig gewählten \(\epsilon >0\) ist, das uns die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit von \(f\) ausspuckt. Wie bekommen wir jetzt sowas wie \(| g_n(x) - g(x)| < \delta\)? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]


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Wauzi
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  Beitrag No.12, eingetragen 2018-09-13

Ein kleiner Tip: g_n(x)=g(x)+r(x) mit abs(r(x)) klein und n genügend groß. f(x)=f(x+r)+h(x,r) mit abs(h(x,r)) klein, wenn r klein. Überlege Dir, warum das gilt. Dieser Gedanke ist für Deinen Beweis nützlich. Formuliere also das obige mathematisch korrekt, überlege was von was abhängt (zB \epsilon oder eine Schranke von n vom gewählten x) und rechne dann Deine Aufgabe stur durch [Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]


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DerM
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-13

An dieser Stelle erstmal vielen Danke Kampfpudel für deine Geduld, nein ich meinte keine lipschitz stetigen Funktionen, ich hatte nur einen Denkfehler. |gn(x)−g(x)|<δ sollte doch durch wachsendes n erfüllt werden, oder sehe ich das falsch ? Und auch nochmal @Wauzi: ich erwarte auf keinen Fall, dass hier jeder so eine Geduld wie Kampfpudel mitbringt, aber solch einen Beitrag empfinde ich dann doch als hochgradig unangebracht und auch fast schon frech. Jemanden auf diese Art und Weise von oben herab zu behandeln ist echt ne üble Nummer. Brauchst hier bitte auch nicht weiter drauf eingehen, das verschwendet nur deine und auch meine Zeit. Danke. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]


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Kampfpudel
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  Beitrag No.14, eingetragen 2018-09-13

Gerne doch. \quoteon(2018-09-13 22:24 - DerM in Beitrag No. 13) |gn(x)−g(x)|<δ sollte doch durch wachsendes n erfüllt werden, oder sehe ich das falsch ? \quoteoff Ja, das sollte es. Nur die Frage ist, ab welchem \(n_0\)? Wie kommen wir an dieses \(n_0\)? Dazu schaue in die Definition der gleichmäßigen Konvergenz der \(g_n\) (Lass dich nicht davon verwirren, dass dort irgendwas mit \(\epsilon >0\) steht. Es könnte jeder beliebige, andere Buchstabe anstelle des \(\epsilon\) genauso stehen)


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DerM
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-13

Sry, ich glaube da bin ich raus, das kann ich dir nicht beantworten.


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DerM
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-13

Das n hängt doch direkt von der Funktion ab, und auch vom δ, je nachdem wie das gewählt ist variiert das doch


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Kampfpudel
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  Beitrag No.17, eingetragen 2018-09-13

Wie gesagt, schau in die Definition von gleichmäßiger Konvergenz der \(g_n\) und überlege dir, durch welchen geeigneten Buchstaben man das \(\epsilon\) in der Definition ersetzen muss, um das zu bekommen, was man haben will [Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]


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DerM
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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-13

Also für große n nähert sich gn(x) dem g(x) an, heißt der fehler wird immer kleiner, ich würde nun einfach mal sagen, dass dieser fehler ein fehler in x-richtung ist, die varianz in x-richtung bei gleichmäßig stetigen funktionen wird ja meist mit delta beschrieben. Könnte es sein, dass das epsilon aus der glm. konvergenz das delta aus der stetigkeit ist ?


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DerM
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  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-13

Und könnte es dann sein, dass ich nur warten muss, bis n so groß ist, dass das epsilon aus der konvergenz so klein ist, dass es in den "delta-bereich" fällt ? Und wenn das so ist, dann ist die verknüpfung auch glm. stetig ?


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kampfpudel
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  Beitrag No.20, eingetragen 2018-09-13

Ich picke mal das richtige und sinnvolle von dem raus, was du gesagt hast: \quoteon(2018-09-13 22:55 - DerM in Beitrag No. 18) Könnte es sein, dass das epsilon aus der glm. konvergenz das delta aus der stetigkeit ist ? \quoteoff Ja, ist es. (Insbesondere) zu eben diesem \(\delta >0\) existiert nach der Definition von gleichmäßiger Konvergenz ein \(n_0 \in \mathbb{N}\), sodass für alle \(n \geq n_0\) und alle \(x \in I\) gilt: \(|g_n(x) - g(x)|< \delta\). Jetzt haben wir alles hingeschrieben, was wir brauchen. Du musst nun nur noch alles einmal vernünftig geordnet hinschreiben. Auch wenn die Beiträge von Wauzi sicherlich scharf formuliert sind, hat er in folgender Hinsicht recht: All das geht nur mit und nie ohne Formalismus. Eine Vorstellung von irgendetwas zu haben ist besser als keine zu haben, sie nützt dir aber nur etwas, wenn du eine Vorstellung von einer klaren, präzisen Formulierung eines mathematischen Sachverhaltes hast. Was ich dir damit sagen und noch auf den Weg mitgeben will: Arbeite IMMER mit präzisen Definitionen und Formulierungen und NIE nur mit einer ungefähren Vorstellung.


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