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Physik » Sonstiges » Was ist der Sinus von 1 cm?
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Universität/Hochschule Was ist der Sinus von 1 cm?
n-tupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-09-13 21:51

\(\begingroup\) \(\usepackage{units}\)
Guten Abend (noch ist er es)!

Stellt euch mal vor, jemand verlangt von dir, $\sin(1\text{cm})$ auszurechnen. Was ist die ehrlichste Antwort?

Und bevor du die Antwort geben kannst, will er auch noch $\sqrt{1\text{cm}}$, dann $e^{1\text{cm}}$ und $\ln(1\text{cm})$ von dir haben.

Abermals holst du Luft, doch bevor du zu Wort kommst, schreibt er  $$4\text{kg}+3\text{m}+6\text{s}=?$$ an die Tafel.

Ihr merkt schon, ich will auf das Wesen von physikalischen Größen hinaus. Wir kennen alle die Antwort von Äpfeln und Birnen, die nicht zusammen gehen und aus denen man erst recht keine Wurzel ausrechnen kann. Das müssen wir sicher nicht diskutieren.

Aber könnten wir das mal für einen Augenblick vergessen und versuchen, einen Begriffsapparat zu erfinden, in dem diese Fragen nicht schwachsinnig sind. Haltet ihr es für denkbar, dass diese Frage kein Blödsinn ist?

Und hauen sollt ihr mich auch nicht für die Frage.

Gruß
Martin
\(\endgroup\)


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cis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-13 21:56

\(\begingroup\)
2018-09-13 21:51 - n-tupel im Themenstart schreibt:
Stellt euch mal vor, jemand verlangt von dir, $\sin(1\text{cm})$ auszurechnen. Was ist die ehrlichste Antwort?

Mögliche Antwort: Der Sinus ist eine e-Funktion und e hoch Einheit macht keinen Sinn.


-----------------
Wenn man alles ausgeschaltet hat, was unmöglich ist, bleibt am Ende etwas übrig, das die Wahrheit enthalten muß - mag es auch noch so unwahrscheinlich sein...
(Sherlock Holmes)
·
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-09-13 22:01


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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-09-13 22:06

\(\begingroup\)
Hallo,
ich stelle mir bei sowas Einheiten gerne als Variablen vor (in die man aber nichts einsetzt). Wenn man die Gleichung x+y+z hat würde keiner sagen das sich das irgendwie vereinfachen lässt. Unterschiedliche Variablen kann man nämlich nicht addieren, demnach lassen sich nur gleichartige Einheiten addieren. Daraus folgt auch, das die Multiplikation von Einheiten erklärt ist.

Grüße,
h


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$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$
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matph
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-09-13 22:09


Hallo Martin,

Der Sinus von einer Einheiten behafteten Größe ist ganz normal, z.B. bei Schwingungen,... das gleiche gilt für deine anderen Beispiele bei denen eine Funktion angewendet wird.

Wenn du unterschiedliche Einheiten addierst, erhältst du eine Menge von unterschiedlich Einheiten, und ist auch nicht weiter tragisch, ob dies in einem bestimmten Kontext Sinn macht, ist natürlich eine andere Frage, doch wenn du 2 Äpfel + 3 Birnen hast, erhältst du z.B. 5 Früchte smile

--
mfg
matph

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-09-13 22:13

\(\begingroup\)
Die Addition von Einheiten verschiedener Dimension ist "unsinnig" bzw. nicht möglich.

Zu den Funktionen:
Das hat man in bestimmten technischen und naturwissenschaftlichen Bereichen regelmäßig.
Da schreibt man bspw. $\ln(x)$ und meint eigentlich $\ln(\frac{x}{E_X^{\Phi}})$ mit $E_X^{\Phi}$ als der Standardeinheit von $x$.


Man kann natürlich auch alle relevanten Funktionen je nach Problem für einen Definitionsbereich gemischter Größen aufstellen.
Es ist nur etwas aufwendiger und es stellt sich je nach Kontext die Sinnfrage.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-09-13 22:14

\(\begingroup\)
2018-09-13 22:09 - matph in Beitrag No. 4 schreibt:
Wenn du unterschiedliche Einheiten addierst, erhältst du eine Menge von unterschiedlich Einheiten, und ist auch nicht weiter tragisch, ob dies in einem bestimmten Kontext Sinn macht, ist natürlich eine andere Frage, doch wenn du 2 Äpfel + 3 Birnen hast, erhältst du z.B. 5 Früchte :-)
Aber das geht ja dann auch nur, wenn man die Einheiten der addieren Größen angleicht (indem Fall beides Früchte als Einheit kriegen).


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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n-tupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-13 22:17


Mir ist auch in den Sinn gekommen, dass man vielleicht die verschiedenen Einheiten als verschiedene Basisvektoren eines Vektorraumes auffassen kann. Aber dann hätte man ja eine 7-dimensionale Divisionsalgebra. So etwas gibt es doch nicht.

Oder könnte man den Körper der reellen Zahlen um 7 unspezifische Elemente erweitern?

2018-09-13 22:09 - matph in Beitrag No. 4 schreibt:
Der Sinus von einer Einheiten behafteten Größe ist ganz normal, z.B. bei Schwingungen,... das gleiche gilt für deine anderen Beispiele bei denen eine Funktion angewendet wird.

Wie das? Ich kenne das nur so, dass ein ebenfalls mit Einheit behafteter Vorfaktor vor der Größe steht, damit die Einheiten gekürzt werden können, bevor man den Sinus auswertet.

Gruß
Martin

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-09-13 23:06

\(\begingroup\)
2018-09-13 22:09 - matph in Beitrag No. 4 schreibt:
Der Sinus von einer Einheiten behafteten Größe ist ganz normal, z.B. bei Schwingungen,...

Wo soll denn bei Schwingungen so etwas vorkommen?

Du wirst dort auf einen Ausdruck wie $\sin(\omega t)$ treffen, aber obwohl $\omega$ und $t$ jeweils Einheiten $\ne 1$ haben können, kürzen die sich in dem Produkt $\omega t$, gerade weg. Das Argument des Sinus ist also dimensionslos (bzw. hat die Einheit Radiant, was auf dasselbe hinausläuft).

Grüße,
dromedar
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matph
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-09-13 23:10


Hallo,

Im Beispiel Früchte kann man wenn man möchte es auch als Mächtigkeit der Menge sehen, z.B. <math>M = \{\mbox{Apfel, Apfel, Birne, Birne, Birne}\}, \#M = 5</math>

Zum Sinus: Radiant ist ebenfalls eine Einheit (mit <math>\frac{1m}{1m}</math> allerdings Dimensionslos), oder Grad als <math>\frac{\pi}{180}rad</math>,...
Oder die imaginäre Einheit: <math>\sin(ia) = i\sinh(a)</math>
Weiters siehe Beitrag No.5 und ergänzend schreibt man auch oft nicht jeden Einheitsvektor oder jede Testfunktion hinzu...
Der Sinus einer Länge wie im Themenstart wird wohl normal in der Physik kein Endergebnis darstellen (mehr vielleicht im Fall von Logarithmus- oder Exponentialfunktionen als Trigonometrischen u.U. ein Zwischenergebnis), da die Dimension einer transzendente Funktionen auf einer Dimensionsbehafteten Größe nicht per se definiert ist smile

--
mfg
matph

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]


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dromedar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-09-13 23:15


2018-09-13 23:10 - matph in Beitrag No. 9 schreibt:
Der Sinus einer Länge wie im Themenstart wird wohl normal in der Physik kein Endergebnis darstellen

So ist es. Deshalb sollte man wohl eher nicht sagen dass "der Sinus von einer Einheiten behafteten Größe ganz normal ist".



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n-tupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-13 23:29

\(\begingroup\) \(\usepackage{units}\)
Okay, ich will noch einen Impuls setzen.

Es ist doch so: Wenn wir Frieden in der Welt hätten und alle Menschen mit den gleichen Einheiten rechnen würden, könnte man alle physikalischen Formeln und Gesetze ohne Einheiten schreiben, weil ja jeder wüsste, welche Einheiten gemeint sind. Wenn wir das tun, kann uns aber auch niemand daran hindern, aus einer Länge einen Sinus zu berechnen. Wie würde man das physikalisch interpretieren? Wie würden wir unsere Naturgesetze formulieren?

Das Rechnen ohne Einheiten ist ja schon reizvoll. Ich mag es, die Lichtgeschwindigkeit dimensionslos gleich $1$ zu setzen und den Betrag jeder Geschwindigkeit als Zahl aus dem halboffenen Intervall $[0,1)$ betrachten. Man hätte plötzlich so viele Freiheiten. Man könnte etwa die Umkehrfunktionen Arkussinus oder Arkuskosinus auf die Geschwindigkeit anwenden, um einen "Geschwindigkeitswinkel" zu definieren - wie auch immer man den physikalisch interpretieren würde. Vielleicht ist die Natur ja so beschaffen, dass die Naturgesetze am besten in Planck-Einheiten, aber ohne Einheitensymbole, formuliert werden können.

Vielleicht gibt es ja auch ein Einheitensystem, in dem eine Summe aus einer Masse $m$ und einer Länge $\ell$ tatsächlich zusammengefasst werden darf. In unserer normalen Formulierung würde das zu einem Term der Form \[A\cdot m + B\cdot \ell\] führen, wobei $A$ und $B$ irgendwelche mit Einheiten behaftete Koeffizienten sind - nicht Schön. Fakt ist doch, dass wir niemals die Summe aus einer Masse und einer Länge betrachten würden!? Vielleicht ist das ja stur und wir verschließen vor einem eleganten Formalismus die Augen?

Gruß
Martin

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

[Edit: Das stimmt nicht. Ich habe den Beitrag nicht vor No. 1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-09-14 00:25

\(\begingroup\)
2018-09-13 23:29 - n-tupel in Beitrag No. 11 schreibt:
Es ist doch so: Wenn wir Frieden in der Welt hätten und alle Menschen mit den gleichen Einheiten rechnen würden, könnte man alle physikalischen Formeln und Gesetze ohne Einheiten schreiben, weil ja jeder wüsste, welche Einheiten gemeint sind. Wenn wir das tun, kann uns aber auch niemand daran hindern, aus einer Länge einen Sinus zu berechnen. Wie würde man das physikalisch interpretieren? Wie würden wir unsere Naturgesetze formulieren?
So uneinheitlich ist das auch nicht, führend ist ja nur CGS (Theoretische Physik vor allem) und SI, und eben noch Altagseinheiten.
Den Sinus einer Länge ausrechnen kann man nicht aufeinmal, indem man einfach die Einheit nicht hinschreibt.  

2018-09-13 23:29 - n-tupel in Beitrag No. 11 schreibt:
Das Rechnen ohne Einheiten ist ja schon reizvoll. Ich mag es, die Lichtgeschwindigkeit dimensionslos gleich $1$ zu setzen und den Betrag jeder Geschwindigkeit als Zahl aus dem halboffenen Intervall $[0,1)$ betrachten. Man hätte plötzlich so viele Freiheiten. Man könnte etwa die Umkehrfunktionen Arkussinus oder Arkuskosinus auf die Geschwindigkeit anwenden, um einen "Geschwindigkeitswinkel" zu definieren - wie auch immer man den physikalisch interpretieren würde. Vielleicht ist die Natur ja so beschaffen, dass die Naturgesetze am besten in Planck-Einheiten, aber ohne Einheitensymbole, formuliert werden können.
Reizvoll ist rechnen ohne Einheiten eigentlich nicht. Zu sagen ein Auto habe die Geschwindigkeit $7,4\cdot10^{-8}$ (wen es etwa 80 km/h fährt) ist nicht nur rechnerisch eine Katastrophe, sondern auch alles andere als anschaulich.
Oder Stell dir vor ein Hersteller müsste auf einen Kondensator die Kapazität mit der ganzen Potenz aufdrucken. Das wäre vollkommen unlesbar.

2018-09-13 23:29 - n-tupel in Beitrag No. 11 schreibt:
Vielleicht gibt es ja auch ein Einheitensystem, in dem eine Summe aus einer Masse $m$ und einer Länge $\ell$ tatsächlich zusammengefasst werden darf. In unserer normalen Formulierung würde das zu einem Term der Form \[A\cdot m + B\cdot \ell\] führen, wobei $A$ und $B$ irgendwelche mit Einheiten behaftete Koeffizienten sind - nicht Schön. Fakt ist doch, dass wir niemals die Summe aus einer Masse und einer Länge betrachten würden!? Vielleicht ist das ja stur und wir verschließen vor einem eleganten Formalismus die Augen?
Niemand lehnt diese Gleichung ab (auch wenn das Zahlenmäßig gar nicht ausrechenbar ist). Mir ist aber zumindest kein physikalisches Gesetzt oder Phänomen bekannt das zu so einer Gleichung führt. Es macht eben kein Sinn ein Einheit für eine Größe zu definieren (oder eine Gleichung aufzustellen), die keine Bedeutung hat.
Generell kann man Einheiten natürlich beliebig vermixen - das ist aber nicht der Sinn. Die Einheitenkombinationen ergeben sich aus den entsprechenden Gleichungen.

Grüße,
h


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matph
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-09-14 01:16


Hallo,

@dromedar: Diese Formulierung war in der Tat vielleicht etwas missverständlich, da ich primär an dimensionslosen Einheiten dachte.

@n-tupel:
In der Physik geht es um die Beschreibung eines Systems, wobei beim Erstellen der entsprechenden Distribution die Basis frei gewählt werden kann und am Ende Transformiert. Der Ausgangspunkt sind dabei meist die Zusammenhänge eines Systems in der in der Form von Differentialgleichungen und nicht irgendwelche gewählten Einheiten. Dabei kann es natürlich verschiedene Lösungen geben, die Frage ist oft, an welchen Eigenschaften bist du interessiert, und handelt es sich bei einer Lösung um eine real Messbare Eigenschaft deines Systems.
Wenn du wie in  Beitrag No.11 die Masse und Länge addierst muss dir also klar sein, welche Eigenschaft deines Systems du damit beschreibst und ob diese Sinnvoll ist.
Meist geschieht die Darstellung in der Physik in solchen Fällen allerdings eher in Form eines Tupels/Tensors, z.B. ein Vierertensor für Ort und Zeit, wobei die Werte unterschiedlicher Indizes mit anderen Dimension nicht einfach addiert werden, sondern die Zeit mit c multipliziert, um Komponenten der selben Dimension zu erhalten.

--
mfg
matph

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]


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MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 1358
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-09-14 11:17

\(\begingroup\)
hallo n-tupel,
Wie dromedar in Beitrag #8 auch schon schrieb: ich bin NOCH NIE, nicht ein einziges Mal, in der Physik auf eine Gleichung gestoßen, wo es notwendig gewesen wäre, aus einer Länge oder einer Zeit oder sonst irgendeiner Einheit den Sinus zu bilden, den Logarithmus oder sonst irgendwas in der Art. Es ist immer, IMMER, so, dass die jeweilige Größe mit einer anderen Größe multipliziert oder dividiert wird, so dass letztlich in der Funktion die Einheit 1 zum Tragen kommt. Auch wenn "Frieden in der Welt wäre und alle Menschen mit den gleichen Einheiten rechnen würden", würde trotzdem keine Notwendigkeit bestehen, den Sinus von 1cm auszurechnen.
Und falls nun jemand einwendet, dass gelegentlich doch der Logarithmus als Stammfunktion auftaucht, zum Beispiel so:
$$y'=\frac ax$$wobei $a$ und $x$ zum Beispiel beides Längen sind, dann löst sich das entweder dadurch auf, dass ich sowieso ein "bestimmtes" Integral berechnen muss, zum Beispiel so:
$$y-y_0=a\intop_{x_0}^x\frac1{\xi}\text d\xi$$$$y-y_0=a(\ln x-\ln x_0)$$was gleichbedeutend ist mit
$$y-y_0=a\ln \frac x{x_0}$$Damit kürzen sich die Einheiten "Meter" wieder raus.
Oder als unbestimmtes Integral könnte ich eine Integrationskonstante mit in den Logarithmus reinziehen, so dass dort wieder nur eine dimensionslose Zahl im Logarithmus steht:
$$y=a\ln\frac xb$$
Wobei b eine willkürliche Länge (z.B. 1cm) sein kann, die sich nach Ableiten in Luft auflöst, wovon man sich leicht überzeugen kann.
Der Logarithmus oder Sinus einer Länge oder Zeit macht überhaupt keinen Sinn.

Ciao,

Thomas
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-09-14 11:31


Natürlich kann man den Sinus von 1m bilden.

Wegen <math>\displaystyle\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> ist

<math>\displaystyle\sin 1m=1m-\frac{1m^3}{3!}+\frac{1m^5}{5!}-\cdots</math>,
also 1m - 1/6 Kubikmeter+1/120 m^5-...

Für die Potenzen mit Exponenten größer als 4 müsste man neue Namen erfinden, nach Quadrat, Kubik, Biquadrat kenne ich keine Bezeichnungen.

In einer Geschichte wird allerdings erwähnt, dass Dagobert Duck 3 Kubikhektar Geld in seinem Speicher hat.

Nicht sehr ernst
Wally



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-09-14 11:42

\(\begingroup\)
2018-09-14 11:31 - Wally in Beitrag No. 15 schreibt:
Natürlich kann man den Sinus von 1m bilden.

Wegen <math>\displaystyle\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> ist

<math>\displaystyle\sin 1m=1m-\frac{1m^3}{3!}+\frac{1m^5}{5!}-\cdots</math>,
also 1m - 1/6 Kubikmeter+1/120 m^5-...


Dann berechne mit dieser Methode mal $\sin(45°)$.

Falls du ein Problem UND eine Lösung findest, kannst du analog sicherlich auch eine Lösung zu $\sin(\textbf{1cm})$ angeben.
(bitte nicht als bösartigen Trollversuch verstehen.)

Da man Längen in Seefahrt, Luftfahrt oder Astronomie durchaus auch als Winkel angibt, empfinde ich die Idee, umgekehrt vorzugehen jetzt nicht als völlig absurd.


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Bernhard
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-09-14 12:14


2018-09-14 11:31 - Wally in Beitrag No. 15 schreibt:
Natürlich kann man den Sinus von 1m bilden.

Wegen <math>\displaystyle\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots</math> ist

<math>\displaystyle\sin 1m=1m-\frac{1m^3}{3!}+\frac{1m^5}{5!}-\cdots</math>,
also 1m - 1/6 Kubikmeter+1/120 m^5-...
Keine schlechte Idee! Vielleicht endlich mal etwas, mit dem wir auch den Aliens imponieren können, wenn sie kommen und sich über uns lustig machen wollen!

Für die Potenzen mit Exponenten größer als 4 müsste man neue Namen erfinden, nach Quadrat, Kubik, Biquadrat kenne ich keine Bezeichnungen.
Wie wäre es mit Pentik, Hexik, Septik, Oktik,…?

In einer Geschichte wird allerdings erwähnt, dass Dagobert Duck 3 Kubikhektar Geld in seinem Speicher hat.
Wenn, dann nur Gold. Jetzt hast DU die falsche Einheit erwischt! wink

Viele Grüße, Bernhard


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Albert Einstein



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-09-14 16:36


2018-09-13 22:09 - matph in Beitrag No. 4 schreibt:
... Der Sinus von einer Einheiten behafteten Größe ist ganz normal,
Hi matph,
das stimmt nicht.
fed-Code einblenden
wobei x eine Längenkoordinate und T eine Periodenlänge ist, die Einheiten kürzen sich also heraus.
Der Term, von dem der Sinus gebildet wird, muss dimensionslos sein.
Gruß Buri



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2018-09-14 17:00


Hallo
ich halte die Frage von einem Physiker an einen Studi für sehr berechtigt.
grad ist keine wirkliche Einheit,  was soll den a=sin(1m) bedeuten? a wird in Sinusmetern bestimmt?
die richtige schnelle antwort wäre weder sin(1m) noch ln(1s) usw sind sinnvolle Physikalische Größen. was  (1m)^2 ist muss man erst definieren entsprechend was (1m)^3 ist, eine vernünftige definition für einen "Sinusmeter" gibt es nicht! und Physikanfänger machen immer wieder den Fehler nicht mit Einheiten zu rechnen und dadurch ihre Umformungen zu kontrollieren.
zu sin(30°) eine Frage im Vordiplom eines Profs war bestimmen sie sin(31°°) wenn sin(30°) bekannt ist. die Antwort  zahlloser Studis war die Taylorreihe mit x_0=30°, und dann an der Stelle 31 ausgewertet.
Gruß lula


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2018-09-14 17:48

\(\begingroup\)
2018-09-14 17:00 - lula in Beitrag No. 19 schreibt:

grad ist keine wirkliche Einheit,  was soll den a=sin(1m) bedeuten? a wird in Sinusmetern bestimmt?


Der Sinus ist ein Verhältnis und sein Wert hat die abgeleitete Dimension der ins Verhältnis gesetzten Größen. (zumeist dimensionslos)
Das hat nichts damit zu tun, in welcher Einheit das Argument angegeben wird.
Ob ich meinen Winkel in Bezug zu einem Kreisumfang von $2\pi$, zu $360°$, zu $400g$, zu $21600'$, zu $21600\textbf{sm}$ oder was auch immer angebe, sollte ich genau definieren. Es macht jedoch keinen Unterschied für die Berechnung.

Als praktisches Beispiel für unkonventionelle Benutzung von Funktionen:
Ich bin mir sicher, dass man mit etwas Suche irgendwo die "Formel" $pH = - \log(c[H^+])$ findet. (das ist sogar der erste Google-Treffer!)
Hier ziehe ich also den 10er-Logarithmus aus einem Argument der Einheit mol/liter. Da mol eine natürliche Zahl ist also den Logarithmus aus $m^{-3}$.


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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2018-09-14 18:20

\(\begingroup\)
2018-09-14 17:48 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 20 schreibt:
Als praktisches Beispiel für unkonventionelle Benutzung von Funktionen:
Ich bin mir sicher, dass man mit etwas Suche irgendwo die "Formel" $pH = - \log(c[H^+])$ findet. (das ist sogar der erste Google-Treffer!)
Hier ziehe ich also den 10er-Logarithmus aus einem Argument der Einheit mol/liter. Da mol eine natürliche Zahl ist also den Logarithmus aus $m^{-3}$.
In Wikiedpia steht dazu:
"Die (in diesem Fall dimensionslose!) Aktivität des Wasserstoffions aH+ (...)"
Man bildet somit den Logarithmus einer dimensionslosen Zahl.

Grüße,
h


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holsteiner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2018-09-14 19:06

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Moin,


Hier ziehe ich also den 10er-Logarithmus aus einem Argument der Einheit mol/liter. Da mol eine natürliche Zahl ist also den Logarithmus aus $m^{-3}$.

Hier bin ich anderer Meinung. Man logarithmiert das Verhältnis der Konzentration von <math>H_3O</math>Ionen in mol/Liter  zur Konzentration von 1 mol/Liter. Da steht eine Konstante drin, die nicht immer hingeschrieben wird.

Größen haben m.E. immer linearen Charakter. Ich meine sogar, dass die Einheit äquivalent zur Basis ist, die Masszahl ist äquivalent zum Skalar, mit  dem die Basis (Einheit) multipliziert wird.

Ich möchte postulieren (ohne das ich das recherchiert habe), dass die lineare Algebra mit ihren Vektorräumen und Tensorräumen aus der Betrachtung von Größen (genauer aus der Betrachtung von Längenmaßen) entstanden ist. Jedenfalls habe ich auch die Ausdehnungslehre von Hermann Günter Grassmann so verstanden.

Nicht jede Multiplikation von Einheiten macht also Sinn, ebenso wenig wie jede Multiplikation von Basisvektoren einen Sinn macht. Aber es gibt ja verschiedene Produkte (Vektorprodukt, Tensorprodukt, Alternierendes Produkt, Lie Produkt) mit denen man Basisvektoren multiplizieren kann, je nach betrachtetem mathematischen Raum.

Abgeleitete Größen beschreiben die Produkte von Einheiten. Wo das geht, das ist aber jeweils an die Natur gebunden. [cm^5] geht normal nicht, vielleicht in der Stringtheorie oder irgendwo in Startreks Subraum.

Nichtlineare Kombinationen von Größen [Einheiten] machen nur dann Sinn, wenn sie physikalisch sind. In der Mathematik kann man natürlich mit beliebigen Ringen oder Modulen in beliebigen Dimensionen rechnen und sich interessante Produkte überlegen, die es aber eben so in der Natur nicht gibt, dazu gehört im Prinzip auch sin(1 cm) als ein Vektor in einem unendlichdimensionalem Raum mit den Basisvektoren [cm^k].

"eichen" bedeutet den Abgleich von Einheiten an verschiedenen Orten oder zu verschiedenen Zeiten. So wird die Länge auf den Urmeter oder die Masse auf das Urkilogramm bezogen.

Die Eichtheorien beschäftigen sich damit, welche physikalischen Größen gleich (invariant) bleiben, wenn man sie zu verschiedenen Zeiten oder an verschiedenen Orten misst, z.B. vor oder nach einem Streuvorgang. Es wäre interessant, sich in diesem Kontext damit zu damit beschäftigen, ich hab aber im Moment dazu keine Zeit. Der Begriff Eichinvarianz stammt nach meiner Kenntnis von Hermann Weyl.


Viele Grüße

holsteiner



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2018-09-14 00:25 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 12 schreibt:
Den Sinus einer Länge ausrechnen kann man nicht aufeinmal, indem man einfach die Einheit nicht hinschreibt.
Man kann ja schon den Sinus der Maßzahl ausrechnen. Aber du hast natürlich Recht, da es nicht der "Sinus der Länge" ist. Der Wert hängt schließlich von der Länge und der Einheit ab, deren Maßzahl ich der Berechnung zugrunde gelegt habe. Eine wirkliche Eigenschaft der Länge sollte natürlich invariant gegenüber der verwendeten Einheit sein.

2018-09-14 00:25 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 12 schreibt:
Reizvoll ist rechnen ohne Einheiten eigentlich nicht. Zu sagen ein Auto habe die Geschwindigkeit $7,4\cdot10^{-8}$ (wen es etwa 80 km/h fährt) ist nicht nur rechnerisch eine Katastrophe, sondern auch alles andere als anschaulich.
Oder Stell dir vor ein Hersteller müsste auf einen Kondensator die Kapazität mit der ganzen Potenz aufdrucken. Das wäre vollkommen unlesbar.

Da sehe ich hingegen kein Problem. Man könnte ja chice Abkürzungen für die Zehnerpotenzen verwenden. Das ist keine "rechnerische Katastrophe", sondern nur unsere Trägheit, eine Gewohnheit zu überwinden. Ich habe das sogar mal gemacht. Ich habe mir eine Variante der Planck-Einheiten definiert und dann die SI-Einheiten als dimensionslose Zahlenwerte erhalten, die ich dann als Konstanten in meinem CAS gespeichert hatte. Wenn ich nach einer Berechnung das Ergebnis in SI-Einheiten haben wollte, habe ich einfach durch diese dimensionslosen Zahlenwerte geteilt. Ich habe das zwar nicht zur Gewohnheit gemacht, weil ich ja normalerweise ohne CAS rechne, aber es hat wunderbar funktioniert und ich konnte damit ganz normale Übungsaufgaben bequem rechnen. Meine Planck-Einheiten waren nur leicht abgewandelt. Ich hatte die Gravitationskonstante nicht $G=1$, sondern $G=\frac{1}{4\pi}$ gesetzt, weil ich finde, dass die $4\pi$ ins Gravitationsgesetz gehören.

2018-09-14 11:17 - MontyPythagoras in Beitrag No. 14 schreibt:
ich bin NOCH NIE, nicht ein einziges Mal, in der Physik auf eine Gleichung gestoßen, wo es notwendig gewesen wäre, aus einer Länge oder einer Zeit oder sonst irgendeiner Einheit den Sinus zu bilden, den Logarithmus oder sonst irgendwas in der Art. Es ist immer, IMMER, so, dass die jeweilige Größe mit einer anderen Größe multipliziert oder dividiert wird, so dass letztlich in der Funktion die Einheit 1 zum Tragen kommt.

Niemand von uns hat so etwas je gesehen. Der Sinus ist dazu auch noch ein blödes Beispiel. Nehmen wir etwas einfacheres, eine Wurzel. Ich habe auch noch nie erlebt, dass man ernsthaft die Wurzel aus einer Länge ziehen wollte/sollte/musste. Aber kann man deswegen ausschließen, dass es Zusammenhänge gibt, in denen die Wurzel der Maßzahl einer Länge bezüglich einer bestimmten Einheit eine sinnvolle physikalische Bedeutung hat? Ich will dafür nicht die Hand ins Feuer legen, nur weil ich mir so etwas nicht vorstellen kann.

Ich erinnere mich, mal einem Artikel gelesen zu haben, in dem das SI-System als anthropozentrisch bezeichnet wurde. Ich finde das trifft es ganz gut. In diesem Fall lehnen wir ab, was nicht der menschlichen Vorstellung entspricht. Wir haben natürlich Gründe, um so etwas wie $\sin(1\text{cm})$ als sinnlos abzuurteilen. Ich will ja auch nicht sagen, dass wir damit einen Fehler machen, aber ausschließen kann das doch auch keiner.

Gruß
Martin
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DerEinfaeltige
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2018-09-14 19:06 - holsteiner in Beitrag No. 22 schreibt:
Moin,


Hier ziehe ich also den 10er-Logarithmus aus einem Argument der Einheit mol/liter. Da mol eine natürliche Zahl ist also den Logarithmus aus $m^{-3}$.

Hier bin ich anderer Meinung. Man logarithmiert das Verhältnis der Konzentration von <math>H_3O</math>Ionen in mol/Liter  zur Konzentration von 1 mol/Liter. Da steht eine Konstante drin, die nicht immer hingeschrieben wird.


Das es so gemeint ist, ist mir durchaus klar. ;)
Siehe auch Beitrag Nr. 5

Man schreibt $f(x)$ und meint $f(\frac{x}{[x]^\Phi})$.
Mir fällt zwar kein Beispiel ein, in dem $\sin(\textbf{1cm})$ besonders sinnvoll ist, doch warum sollte das hier nicht gehen?

Gerade im technischen Bereich findet man sicherlich haufenweise solche Formeln, in denen erwartet wird, dass das Argument in einer bestimmten Einheit angegeben wird, ohne das Kürzen durch die Standardeinheit sauber auszuschreiben.

Das ist formal sicherlich zweifelhaft bis falsch.
Es ist allerdings praktisch und damit von einem gewissen Standpunkt her auch durchaus sinnvoll.

Im Gegensatz zu der Frage, was $\textbf{1.30m} + \textbf{2.4V}$ ergibt.
Diese ist vielleicht von einem theoretischen, mathematischen Standpunkt her interessant, praktisch jedoch komplett sinnlos.


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MontyPythagoras
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Hallo Martin,
2018-09-15 00:21 - n-tupel in Beitrag No. 23 schreibt:
Der Sinus ist dazu auch noch ein blödes Beispiel. Nehmen wir etwas einfacheres, eine Wurzel. Ich habe auch noch nie erlebt, dass man ernsthaft die Wurzel aus einer Länge ziehen wollte/sollte/musste. Aber kann man deswegen ausschließen, dass es Zusammenhänge gibt, in denen die Wurzel der Maßzahl einer Länge bezüglich einer bestimmten Einheit eine sinnvolle physikalische Bedeutung hat?
Das ist nicht einmal annähernd das gleiche, selbst wenn es Dir so vorkommt. Ich weiß zwar auch kein praktisches Beispiel für eine "Wurzellänge" oder "Längenwurzel", aber man kann natürlich Einheiten potenzieren. Was anderes tut die Wurzel ja auch nicht. Die kinematische Viskosität zum Beispiel hat die Einheit m²/s. Sie hat anschaulich nicht im entferntesten etwas zu tun mit einer Fläche pro Zeiteinheit, während die Geschwindigkeit m/s schon sehr anschaulich als Strecke pro Zeiteinheit zu verstehen ist. Die Einheit der kinematischen Viskosität ergibt sich eben aus den Einheiten der anderen beteiligten Größen (Kraft, Dichte, Schergeschwindigkeit usw.), und wie sie miteinander verrechnet werden. So etwas könnte ich mir zumindest vorstellen, dass es also irgendeine Größe geben könnte, in deren Einheit ein "Wurzelmeter" vorkommt. Aber selbst wenn es eine solche Größe gäbe oder gibt, würde sie garantiert innerhalb anderer komplizierterer Funktionen wie Sinus oder Logarithmus erst mit anderen Größen dergestalt multipliziert, dass das Funktionsargument am Ende wieder dimensionslos ist.
2018-09-14 11:42 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 16 schreibt:
Dann berechne mit dieser Methode mal $\sin(45°)$.
Nichts leichter als das. Das Grad "°" ist nichts weiter als ein Operator, der da lautet: "$\times\frac{\pi}{180}$". Die Zahl bleibt dimensionslos. Sinngemäß das gleiche gilt für die anderen Winkeleinheiten. Ein Winkel ist nun einmal das Verhältnis von zwei Längen, nämlich Kreisbogen zu Radius, und damit zwangsläufig dimensionslos.

Ciao,

Thomas

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.23 begonnen.]
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DerEinfaeltige
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2018-09-14 18:20 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 21 schreibt:

"Die (in diesem Fall dimensionslose!) Aktivität des Wasserstoffions aH+ (...)"
Man bildet somit den Logarithmus einer dimensionslosen Zahl.


Das ist eine saubere Definition des pH-Wertes.
Diese dürfte allerdings eher die Regel als die Ausnahme sein.
Die meisten Quellen werden die Näherung $a[X] = \gamma_{c[x]}\frac{c[x]}{c[x]^\Phi} \approx \frac{c[x]}{c[x]^\Phi}$ verwenden und dann die Division durch die Standardkonzentration der Bequemlichkeit halber unterschlagen.


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Hallo MontyPythagoras,

2018-09-15 11:06 - MontyPythagoras in Beitrag No. 25 schreibt:
2018-09-15 00:21 - n-tupel in Beitrag No. 23 schreibt:
[...]etwas einfacheres, eine Wurzel. [...]
Das ist nicht einmal annähernd das gleiche, selbst wenn es Dir so vorkommt.

Das habe ich auch nicht behauptet. Das klingt so, als ob Du mich für naiv hältst.

2018-09-15 11:06 - MontyPythagoras in Beitrag No. 25 schreibt:
 aber man kann natürlich Einheiten potenzieren. Was anderes tut die Wurzel ja auch nicht.

Beim Potenzieren sehe ich einen wesentlichen Unterschied zwischen ganzzahligen und echt gebrochen rationalen Exponenten. Die Algebraischen Kombinationen, die durch Multiplikation und Division verschiedener Einheiten entstehen, sind oft anschaulich oder man kann die Entstehung zumindest nachvollziehen. Wurzeln ziehen wir hingegen nur aus Einheiten, die ihrem Wesen nach das Quadrat einer anderen Einheit sind, etwa $\sqrt{\text{m}^2}=\text{m}$. Ich wage zu behaupten, dass das Wurzelziehen ist nur in solchen Fällen unkontrovers ist. In diesem Sinne tut die Wurzel schon etwas anderes.

Ich habe die Wurzel ins Spiel gebracht, weil sie homogen ist. \[
\sqrt{1\text{m}}=\sqrt{1\frac{\text{m}}{\text{cm}}\cdot\text{cm}}=\sqrt{1\frac{\text{m}}{\text{cm}}}\cdot\sqrt{1\text{cm}}=\sqrt{100}\cdot\sqrt{1\text{cm}}=10\cdot\sqrt{1\text{cm}}
\] Ohne zu wissen, was die Wurzel eines Meters ist, kann man zumindest die Wurzeln verschiedener Längen vergleichen bzw. die Wurzeln bezüglich verschiedener Einheiten ineinander umrechnen. Das wäre für den Sinus ja nicht so einfach. Es mag sein, dass es neben der großen Anzahl an Additionstheoremen auch irgendwelche Funktionalgleichungen für Ausdrücke der Form $sin(a\cdot b)$ gibt, die es erlauben, eine Umrechnungsvorschrift zwischen den Sinusdarstellungen einer Länge bezüglich verschiedener Einheiten anzugeben. Danach habe ich jetzt nicht gesucht. Worauf ich hinaus will, ist dass die Anwendbarkeit einer Funktion auf eine Länge mit Einheit unter Umständen gewisse Voraussetzungen an die Funktion notwendig macht, also nur manche Funktionen erlaubt sind. Eine solche Voraussetzung könnte etwa Homogenität oder irgendeine Funktionalgleichung für Produkte im Argument sein.

Als Grund für die Anwendbarkeit von Wurzeln ist mir noch folgendes eingefallen. Es ist doch so, dass wir in besonderem Maße Bauchschmerzen bekommen, wenn wir Wurzeln aus Basiseinheiten ziehen sollten. Aber die Basis des Einheitensystems muss ja keine Länge enthalten. Man könnte ja auch den Quadratmeter als Basisgröße definieren, nennen wir ihn $\text{qm}$. Dann würden wir wie selbstverständlich den Meter als $\text{m}:=\sqrt{\text{qm}}$ definieren und wir hätten kein Problem damit. Die Bauchschmerzen rühren daher in besonderem Maße von unserem räumlichen Denken, da wir uns eine Länge nicht als Produkt von anderen Größen vorstellen können.

2018-09-15 11:06 - MontyPythagoras in Beitrag No. 25 schreibt:
Aber selbst wenn es eine solche Größe gäbe oder gibt, würde sie garantiert innerhalb anderer komplizierterer Funktionen wie Sinus oder Logarithmus erst mit anderen Größen dergestalt multipliziert, dass das Funktionsargument am Ende wieder dimensionslos ist.

Das sehe ich schon auch so. Aber das liegt nur daran, dass ich nach jahrelangem Arbeiten mit physikalischen Formeln nie etwas anderes erlebt habe und ich es mir auch nicht vorstellen kann, dass es so etwas gibt. Wenn ich aber den Standpunkt des Pragmatikers verlasse und den eines Philosophen einnehme, muss ich sagen: Mein fehlendes Vorstellungsvermögen ist keine Begründung.

Gruß
Martin
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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2018-09-15 22:19

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2018-09-15 00:21 - n-tupel in Beitrag No. 23 schreibt:
Ich erinnere mich, mal einem Artikel gelesen zu haben, in dem das SI-System als anthropozentrisch bezeichnet wurde. Ich finde das trifft es ganz gut. In diesem Fall lehnen wir ab, was nicht der menschlichen Vorstellung entspricht. Wir haben natürlich Gründe, um so etwas wie $\sin(1\text{cm})$ als sinnlos abzuurteilen. Ich will ja auch nicht sagen, dass wir damit einen Fehler machen, aber ausschließen kann das doch auch keiner.
Niemand schließt hier irgendwas aus.  Es macht nur eben keinen Sinn irgendwelche Größen zu erzwingen damit sie da sind. Eine Größe ergibt sich immer aus einer Formel (und dem Einheitensystem). Bis her ist eben niemand eine Formel begegnet (oder bekannt, zumindest scheinen die meisten hier keine zu kennen) die $\sqrt m$ als Einheit ergibt. Es kann aber mit Sicherheit noch eine Rechnung ergeben das sowas raus gibt. Spricht ja plump gesagt nix dagegen.
Es spricht im Vorne auch gar nichts für die Einheit $m^2$. Erst die Fläche rechtfertigt diese Einheit (und jede andere Formel wo so eine Dimension vorkommt).

2018-09-15 21:28 - n-tupel in Beitrag No. 27 schreibt:
Als Grund für die Anwendbarkeit von Wurzeln ist mir noch folgendes eingefallen. Es ist doch so, dass wir in besonderem Maße Bauchschmerzen bekommen, wenn wir Wurzeln aus Basiseinheiten ziehen sollten. Aber die Basis des Einheitensystems muss ja keine Länge enthalten. Man könnte ja auch den Quadratmeter als Basisgröße definieren, nennen wir ihn $\text{qm}$. Dann würden wir wie selbstverständlich den Meter als $\text{m}:=\sqrt{\text{qm}}$ definieren und wir hätten kein Problem damit. Die Bauchschmerzen rühren daher in besonderem Maße von unserem räumlichen Denken, da wir uns eine Länge nicht als Produkt von anderen Größen vorstellen können.
Naja eine Einheit anschaulich vorstellen könne muss man nicht immer (das geht ja auch fast nie). Das CGS ist da da ein Extrembeispiel, wo die Induktivität die Dimension einer Länge hat. "Unanschaulicher" geht doch gar nicht mehr biggrin
Und das Problem ist ja nicht die Wurzel aus dem Meter an sich, sondern wie oben erwähnt das niemand einen Fall kennt wo Wurzel-Meter auftritt.

2018-09-15 21:28 - n-tupel in Beitrag No. 27 schreibt:
Ich habe die Wurzel ins Spiel gebracht, weil sie homogen ist.
Meinst du die Homogenität in diesem Sinne?
$f(kx)=kf(x)$
Das trifft ja nicht bei Wurzeln zu.

Grüße,
h

Edit: und das Problem von sin(1m) ist eben, das es kein Sinn macht, vor allem da keine Rechnung da ist die das rechtfertigt. Gäbe es irgendein Gesetzt indem dieser Ausdruck vorkommt ist das was anderes.


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$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$
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\(\begingroup\) \(\usepackage{units}\)
2018-09-15 22:19 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 28 schreibt:
Meinst du die Homogenität in diesem Sinne?
$f(kx)=kf(x)$

Wenn $f(kx)=k^n f(x)$ ist, nennt man das Homogenität vom Grad $n$. In diesem Sinne ist die Wurzel homogen vom Grad $\tfrac{1}{2}$.
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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, eingetragen 2018-09-15 22:47

\(\begingroup\)
Ach so, diese Homogenität. Dachte du meinst im sinne der linearen Algebra ^^


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\(\begingroup\) \(\usepackage{units}\)
2018-09-15 22:47 - Wirkungsquantum in Beitrag No. 30 schreibt:
Ach so, diese Homogenität. Dachte du meinst im sinne der linearen Algebra ^^

Ist schon im Sinne der linearen Algebra, weil $\mathbb R$ ja auch als Vektorraum über sich selbst aufgefasst werden kann.
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