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Mathematik » Numerik & Optimierung » Gleitkommaarithmetik
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Universität/Hochschule Gleitkommaarithmetik
lulapalo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-09-14 12:48


Hallo und zwar ich stehe gerade auf den Schlauch und wollte dann mal hier nachfragen ob mir jemand helfen könnte.
Die Aufgabe lautet:

a) Auf einem Rechner mit Gleitkommaarithmetik und relativer Maschinengenauigkeit 10^-10 seien 1 und 10^-7 sowie 10^-14 exakt darstellbar. Gebe an, ob die Ergebnisse der folgenden Rechnungen auf diesem Rechner kleiner, größer oder gleich 1 sind und begründe sie Ihre Antwort:
     i) 1 + 10^-7 * 10^-7
     ii) 1+ 10^-7

Ich hoffe ihr könnt mir helfen und vielen Dank schon mal :)

Liebe Grüße



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-14 13:03


Was hast du dir denn bisher gedacht?

Hast du schon etwas gerechnet oder zumindest eine Vermutung, was hier passieren könnte?


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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lulapalo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-14 14:05


2018-09-14 13:03 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 1 schreibt:
Was hast du dir denn bisher gedacht?

Hast du schon etwas gerechnet oder zumindest eine Vermutung, was hier passieren könnte?


Ne ehrlich gesagt nicht, habe es mit dem Taschenrechner ausgerechnet und ich kam bei i) auf genau 1 und bei ii) auf 1.0000001 aber wie man das erklären kann ist mir noch unschlüssig



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-09-14 14:25

\(\begingroup\)
2018-09-14 14:05 - lulapalo in Beitrag No. 2 schreibt:
2018-09-14 13:03 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 1 schreibt:
Was hast du dir denn bisher gedacht?

Hast du schon etwas gerechnet oder zumindest eine Vermutung, was hier passieren könnte?


Ne ehrlich gesagt nicht, habe es mit dem Taschenrechner ausgerechnet und ich kam bei i) auf genau 1 und bei ii) auf 1.0000001 aber wie man das erklären kann ist mir noch unschlüssig

Das ist ja schon mal ein Ansatz und falls dein Taschenrechner eine relative Maschinengenauigkeit von $10^{-10}$ hat ein (allerdings schlecht begründetes) Ergebnis.


Eine relative Maschinengenauigkeit von $10^{-10}$ bedeutet in etwa, dass die Mantisse der Gleitkommazahl 10 Dezimalstellen enthält. (stimmt so streng genommen nur im Binärsystem)
Vor Addition/Subtraktion müssen die Zahlen zunächst auf den gleichen Exponenten gebracht werden.
Nach jeder arithmetischen Operation wird das Ergebnis anschließen normalisiert, also im Exponenten erneut angepasst und auf die vorgegebene Mantissenlänge gerundet.

Daher ergibt sich bspw. mit 3 Stellen Genauigkeit:
$1 + 0.0001 = 1.00e0 + 1.00e-4 = 1.00e0 + 0.00e0 = 1.00e0$

Die Zwischenergebnisse können je nach Architektur auch mit höherer Präzission berechnet werden.


Das musst du jetzt auf dein Beispiel übertragen.


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\(\endgroup\)


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lulapalo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-14 20:18

\(\begingroup\)
2018-09-14 14:25 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 3 schreibt:
2018-09-14 14:05 - lulapalo in Beitrag No. 2 schreibt:
2018-09-14 13:03 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 1 schreibt:
Was hast du dir denn bisher gedacht?

Hast du schon etwas gerechnet oder zumindest eine Vermutung, was hier passieren könnte?


Ne ehrlich gesagt nicht, habe es mit dem Taschenrechner ausgerechnet und ich kam bei i) auf genau 1 und bei ii) auf 1.0000001 aber wie man das erklären kann ist mir noch unschlüssig

Das ist ja schon mal ein Ansatz und falls dein Taschenrechner eine relative Maschinengenauigkeit von $10^{-10}$ hat ein (allerdings schlecht begründetes) Ergebnis.


Eine relative Maschinengenauigkeit von $10^{-10}$ bedeutet in etwa, dass die Mantisse der Gleitkommazahl 10 Dezimalstellen enthält. (stimmt so streng genommen nur im Binärsystem)
Vor Addition/Subtraktion müssen die Zahlen zunächst auf den gleichen Exponenten gebracht werden.
Nach jeder arithmetischen Operation wird das Ergebnis anschließen normalisiert, also im Exponenten erneut angepasst und auf die vorgegebene Mantissenlänge gerundet.

Daher ergibt sich bspw. mit 3 Stellen Genauigkeit:
$1 + 0.0001 = 1.00e0 + 1.00e-4 = 1.00e0 + 0.00e0 = 1.00e0$

Die Zwischenergebnisse können je nach Architektur auch mit höherer Präzission berechnet werden.


Das musst du jetzt auf dein Beispiel übertragen.
\

Was stellt denn dieses E dar? Ist es etwa der Exponent und woher kriegst du die -4 her?
\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-09-14 22:49


Das ist eine übliche Schreibweise für Gleitkommazahlen. (auch wenn Latex ungeschickt formattiert)
Vor dem "e" steht die Mantisse, dahinter der Exponent.


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