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Analysis » Maßtheorie » Aufgabe Borel-Messbarkeit und Lebesgue-Integrierbarkeit
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Universität/Hochschule Aufgabe Borel-Messbarkeit und Lebesgue-Integrierbarkeit
saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-09-14 17:18

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Mein Ansatz:
(a) Die Funktion $g$ ist eine Stufenfunktion und somit messbar. Diese ist auch nicht-negativ und somit existiert das Integral.

(b) Das Integral der gegeben Stufenfunktion lautet $\sum_{n=1}^\infty$ $n^2 * log(n)$ *$\lambda$( ($2^{-n}$ , $2^{-(n-1)}$] ) = $\sum_{n=1}^\infty$ $n^2 * log(n)$ * $2^{-n}$. Nun muss ich zeigen, dass diese Reihe konvergiert. Ich hab es mit dem Quotientenkriterium versucht, jedoch klappt das nicht so gut.

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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-14 17:33


Mit dem Quotientenkriterium sollte es funktionieren. Wo hängst Du denn?



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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-14 18:19

\(\begingroup\)
Quotientenkriterium:

$a_{n} = n^{2} * log(n) * 2^{-n}$ und $a_{n+1} = (n+1)^{2} * log(n+1) * 2^{-(n+1)}$. Wir haben also $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ = $\frac{(n+1)^{2}*log(n+1)}{n^{2}*log(n)*2}$.

Nun mache ich den Bruch größer, indem ich die $2$ entferne.
Ich könnte $log(n+1)$ noch mit $n$ nach oben abschätzen.
Wenn ich das mache erhalte ich $\frac{(n+1)^{2}*n}{n^{2}*log(n)}$ = $\frac{(n+1)^{2}}{n*log(n)}$. Ich habe halt jetzt den Hänger und weiß nicht wie ich weiter abschätzen soll.
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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-09-14 18:27

\(\begingroup\)
Sieht doch gut. Was ist den \(\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^2}{n^2}\) bzw. \(\lim_{n\to\infty} \frac{log(n+1)}{log(n)}\)?

log(n) durch n nach oben abschätzen ist keine gute Idee.
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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-14 18:29





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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-14 18:30

\(\begingroup\)
2018-09-14 18:27 - TomTom314 in Beitrag No. 3 schreibt:
Sieht doch gut. Was ist den \(\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^2}{n^2}\) bzw. \(\lim_{n\to\infty} \frac{log(n+1)}{log(n)}\)?

Bei beiden ist der Grenzwert $1$.

log(n) durch n nach oben abschätzen ist keine gute Idee.

Warum nicht?
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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-09-14 18:33

\(\begingroup\)
Bei beiden ist der Grenzwert 1.

Das kannst Du jetzt für das Quotientenkriterium verwenden. Mit \(log(n)<n\) hast Du einfach zu grob abgeschätzt.
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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-14 18:42

\(\begingroup\)
Nun dann habe ich:

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{(n+1)^{2}*log(n+1)}{n^{2}*log(n)}}$ = $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}}$ * $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{log(n+1)}{log(n)}}$ = $1 * 1$ = $1$.

Jedoch kann man für $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}$ = $1$ keine Aussage über die Konvergenz der Reihe machen.
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-09-14 18:45


Du hast das 1/2 vertrödelt. smile



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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-14 18:48


Tatsächlich.  biggrin

Gibt es zur Teilaufgabe (a) noch Anmerkungen oder kann man das so stehen lassen?



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-09-14 20:38


Was ist eine Stufenfunktion? Dir ist klar, dass die Funktion unendlich viele Werte annimmt?



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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-15 12:54

\(\begingroup\)
Was ist eine Stufenfunktion?

Eine Funktion ist eine Stufenfunktion, wenn sie sich schreiben lässt als
$g(x)$ = $\sum_{n=0}^\infty$ $b_n\cdot 1_{A_n}(x)$, wobei $b_n$ $\in$ $\mathbb{R}$
und $A_n$ paarweise disjunkte Mengen sind.

Dir ist klar, dass die Funktion unendlich viele Werte annimmt?

Ja das war mir klar. Mein Gedanke war: Die Intervallgrenzen werden immer kleiner und näher sich immer der $0$ und da die Funktion nicht-negativ ist, spielt das keine Rolle, dass sie unendliche viele Werte annimmt.
Um ehrlich zu sein, habe ich mir da sonst keine großen Gedanken drum gemacht. confused
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-09-15 13:20

\(\begingroup\)
Das reicht nicht. Es gibt durchaus Treppenfunktionen die Riemann- aber nicht Lebesgue-integrierbar sind. Die alternierende harmonische Reihe kann zur Konstruktion eines Beispiels verwendet werden.

Borel-messbar läßt sich für g auch direkt nachrechnen, indem Du die Mengen \(\{x\in[0,1]\mid g(x)\geq c\}\) bestimmst.
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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-09-15 13:34

\(\begingroup\)
2018-09-15 12:54 - saintskamara in Beitrag No. 11 schreibt:
Was ist eine Stufenfunktion?

Eine Funktion ist eine Stufenfunktion, wenn sie sich schreiben lässt als
$g(x)$ = $\sum_{n=0}^\infty$ $b_n\cdot 1_{A_n}(x)$, wobei $b_n$ $\in$ $\mathbb{R}$
und $A_n$ paarweise disjunkte Mengen sind.

Ok, diese Definition ist mir nicht geläufig. (Auch nicht, wenn du noch hinzufügst, dass die $A_n$ messbar sind, was du wahrscheinlich gemeint hast.) Der ähnliche, in der Maßtheorie übliche, Begriff der "einfachen Funktionen" bezieht sich auf Funktionen mit nur endlich vielen Werten.

Dann ist die Frage, woher du weißt, dass solche Funktionen messbar sind.
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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-15 13:50

\(\begingroup\)

Borel-messbar läßt sich für g auch direkt nachrechnen, indem Du die Mengen \(\{x\in[0,1]\mid g(x)\geq c\}\) bestimmst.

Ich tue mich gerade schwer damit. Ich weiss nicht wie ich das angehen soll.
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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-15 13:53

\(\begingroup\)


Der ähnliche, in der Maßtheorie übliche, Begriff der "einfachen Funktionen" bezieht sich auf Funktionen mit nur endlich vielen Werten.

Dann ist die Frage, woher du weißt, dass solche Funktionen messbar sind.

Den Begriff der Stufenfunktion hatten wir auch.

Eine Funktion s: X $\rightarrow$ $\mathbb{R}$ heißt Stufenfunktion, wenn s(X) endlich ist.
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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-09-15 14:26

\(\begingroup\)
Ich tue mich gerade schwer damit. Ich weiss nicht wie ich das angehen soll.
Ein Skizze der Funktion ist dabei ganz nützlich. Entscheidend sind die Mengen \(\{x\in[0,1]\mid g(x)\geq n^2\cdot log(n)\}; n\in\IN\).

Stufenfunktion...
Nach dieser Definiton ist g keine Stufenfunktion. Eine Stufenfunktion entspricht dann einer "einfachen Funktion", wobei hier noch eine Aussage zu den Urbildern fehlt. Alternativ zu meinem Ansatz, kannst Du g auch über einfache Funktionen beschreiben. Dazu wird noch ein Satz benötigt.
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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-15 15:11

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Ein Skizze der Funktion ist dabei ganz nützlich. Entscheidend sind die Mengen \(\{x\in[0,1]\mid g(x)\geq n^2\cdot log(n)\}; n\in\IN\).


Aus der Skizze sehe ich, dass die Funktion monoton fallend ist und dass die Intervallgrenzen für größere $n$ immer kleiner wird.  $n=1$ $\rightarrow$ ($\frac{1}{2}$,1], $n=2$ $\rightarrow$ ($\frac{1}{4}$,$\frac{1}{2}$] usw.

Edit: Ich habe im Skript folgendes gefunden:


Ich weiß, dass das Urbild halboffener Intervalle messbar sind, also weiß ich dann auch, dass die Funktion $g$ messbar ist, oder?
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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-09-15 16:09

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Der Satz - insbesondere Teil c) - ist die theoretische Begründung dafür, dass ich die Mengen \(\{x\in[0,1]\mid g(x)\geq c\}; c\in\IR\) ins Spiel gebracht habe. Monoton fallend ist nun eine richtig schöne Eigenschaft, um diese Mengen zu berechnen...
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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-15 16:23

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Es ist $\{x\in[0,1]\mid g(x)\geq c\}$ $=$ $g^{-1}([c,\infty))$ für $c\in\IR$.
Edit1: Ich muss also zeigen, dass $g^{-1}([c,\infty))$ $\in$ $\mathcal B(\mathbb R)$.

Da die Funktion monoton fallend ist, ist (kurze Gedankenpause)
Edit2: Meine Idee wäre nun, dass ich versuche alle möglichen Fälle durchzugehen und zu zeigen dass alle in $\mathcal B(\mathbb R)$ sind.
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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2018-09-15 16:42

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Richtiger Weg. Die Fälle \(c=n^2\cdot log(n)\) sind dabei besonders interessant.
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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-15 16:58

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Ich habe folgende zwei Fälle:

Fall 1: Gilt $g < c$, so ist $g^{-1}([c,\infty))$ $=$ $\emptyset$ $\in$ $\mathcal B(\mathbb R)$,
Fall 2: Gilt $g \geq c$, so ist $g^{-1}([c,\infty))$ $=$ $\mathbb R$ $\in$ $\mathcal B(\mathbb R)$ für $c \in \mathbb R$.
Wahrscheinlich gibt es noch einen dritten Fall, den ich nicht berücksichtigt habe.

Wie sehr sich das Resultat verändert, wenn ich explizit $c=n^2\cdot log(n)$ betrachte weiß ich nicht.
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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2018-09-15 17:10

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Nein, das glaube ich nicht. $g < c$ als Fallunterscheidung ergibt keinen Sinn (Schreibfehler ?). Nimm Deine Skizze, c kannst Du dort als waagerechte Linie eintragen. Für verschiedene c läßt sich dann am Graph \(\{g(x)<c\}\) ablesen.
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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-15 17:41

\(\begingroup\)
Nimm Deine Skizze, c kannst Du dort als waagerechte Linie eintragen. Für verschiedene c läßt sich dann am Graph \(\{g(x)<c\}\) ablesen.

Für verschiedene c sieht ja mein $\{g(x)<c\}$ immer anders aus.
Also z.B. für $c_{1}$ haben wir $\{g(x)<c_{1}\}$ $=$ $(n^{2}*log(n),c_{1}]$ und analog für $c_{n}$ für $n$ $\in$ $\mathbb N$.
Dadurch ändert sich ja auch immer die Anzahl der "Stufen" meiner Stufenfunktion, da meine waagerechte Linie nur eine endliche Anzahl an Stufen eingrenzt.

Edit: Da immer $\{g(x)<c_{n}\}$ $=$ $(n^{2}*log(n),c_{n}]$ gilt, egal für welches $n$ $\in$ $\mathbb N$, ist $\{g(x)<c_{n}\}$ $=$ $(n^{2}*log(n),c_{n}]$ $\in$ $\mathcal B (\mathbb R)$ und somit messbar?
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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2018-09-15 17:59

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Edit: Da immer $\{g(x)<c_{n}\}$ $=$ $(n^{2}*log(n),c_{n}]$ gilt, egal für welches $n$ $\in$ $\mathbb N$, ist $\{g(x)<c_{n}\}$ $=$ $(n^{2}*log(n),c_{n}]$ $\in$ $\mathcal B (\mathbb R)$ und somit messbar

Im Prinzip ja, die Rechnung ist aber falsch. $\{x\in [0,1] \mid g(x)<c\}$ ist schon ein Interval und somit Borel-meßbar.
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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-15 18:17

\(\begingroup\)
Im Prinzip ja, die Rechnung ist aber falsch.
Inwiefern ist die Rechnung falsch?
$\{x\in [0,1] \mid g(x)<c\}$ ist schon ein Interval und somit Borel-meßbar.
Das verstehe ich noch nicht ganz. Kann ich das einfach so sagen und das wars?
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2018-09-15 18:38

\(\begingroup\)
2018-09-15 18:17 - saintskamara in Beitrag No. 25 schreibt:
$\{x\in [0,1] \mid g(x)<c\}$ ist schon ein Interval und somit Borel-meßbar.
Das verstehe ich noch nicht ganz. Kann ich das einfach so sagen und das wars?
Ich habe Dir nur das Ergebnis mitgeteilt. Wie man dort hinkommt fehlt noch. Was ist denn $\{x\in [0,1] \mid g(x)<3/4\}$ oder $\{x\in [0,1] \mid g(x)<1/10\}$. Dabei wird auch die Monotonie von g ausgenutzt.
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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-16 12:47

\(\begingroup\)
Was ist denn $\{x\in [0,1] \mid g(x)<3/4\}$ oder $\{x\in [0,1] \mid g(x)<1/10\}$. Dabei wird auch die Monotonie von g ausgenutzt.

Ist nicht beides dann $(n^2 * log(n), 1/10]$ bzw. $(n^2 * log(n), 3/4]$?
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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2018-09-16 13:08

\(\begingroup\)
Nein. Es ist auch nicht klar welchen Wert n annimmt. Die Mengen haben die Gestalt \((d,1]\). Welchen Wert d annimmt und warum es so aussieht muß aber noch berechnet/begründet werden.

Sorry, die Beispiele habe ich sehr unglücklich gewählt, besser wäre $\{x\in [0,1] \mid g(x)<40\}$ oder $\{x\in [0,1] \mid g(x)<10\}$
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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-16 13:27

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Okay. Ich habe folgenden Gedankengang: Je nachdem wie ich mein c wähle, ist $\{x\in [0,1] \mid g(x)<c\}$ unterschiedlich groß und somit von c abhängig.
Also sage ich, dass d = $n^{2} * log(n)$ ist mit der Bedingung, dass n $\leq$ c ist.

Das Problem ist, dass ich die Monotonie nirgends verwende.

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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, eingetragen 2018-09-16 13:41

\(\begingroup\)
Kleiner Einschub. Sei \(h:\IR\to\IR\) eine monoton fallende Funktion. \(c_1< c_2\).

1) Welche Beziehung besteht zwischen den Mengen $\{x\in \IR \mid h(x)<c_1\}$ und $\{x\in \IR \mid h(x)<c_2\}$? (Für die Frage wird die Monotonie von h nicht benötigt)
2) Welche Gestalt hat die Menge $\{x\in \IR \mid h(x)<c_1\}$? (Aufgrund der Monotonie hat diese Menge eine besondere Eigenschaft)

Das sind zwei Fragen, um Dir eine nützliche Vorstellung zu vermitteln (oder so?!).
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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-16 14:39

\(\begingroup\)
1) Welche Beziehung besteht zwischen den Mengen $\{x\in \IR \mid h(x)<c_1\}$ und $\{x\in \IR \mid h(x)<c_2\}$? (Für die Frage wird die Monotonie von h nicht benötigt)

Folgende Beziehung besteht zwischen den beiden Mengen: $\{x\in \IR \mid h(x)<c_1\}$ $\subset$ $\{x\in \IR \mid h(x)<c_2\}$.

2) Welche Gestalt hat die Menge $\{x\in \IR \mid h(x)<c_1\}$? (Aufgrund der Monotonie hat diese Menge eine besondere Eigenschaft)

Wegen der Monotonie von $h$ ist $h(c_{1}) > h(c_{2})$ für $c_{1} < c_{2}$
Tut mir leid, aber irgendwie will es einfach nicht "Klick"machen. frown  confused
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.32, eingetragen 2018-09-16 14:52

\(\begingroup\)
Tut mir leid, aber irgendwie will es einfach nicht "Klick"machen.
Da kommen wir dich noch hin.  smile

Berechne die Menge $\{x\in \IR \mid h(x)<c_1\}$ für den Fall \(h(x):=-3x\). Was könnte dann allgemein für monoton fallend gelten?
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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.33, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-16 16:29

\(\begingroup\)
Berechne die Menge $\{x\in \IR \mid h(x)<c_1\}$ für den Fall \(h(x):=-3x\). Was könnte dann allgemein für monoton fallend gelten?

$\{x\in \IR \mid h(x)<c_1\}$ = $[c_{1}, \infty)$?
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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.34, eingetragen 2018-09-16 16:34

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Nicht ganz. $[c_{1}, \infty)$ hängt nicht von h(x) ab...
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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.35, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-16 16:39

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Dann muss es $[h(c_{1}), \infty)$ sein, oder?
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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.36, eingetragen 2018-09-16 17:11

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Die richtige Antwort ist \((h^{-1}(c_1),\infty)\) falls \(h^{-1}(c_1)\) einen Sinn ergibt.

Allgemein gilt. Def. \(h_c := \{x\in \IR \mid h(x)<c\}\). Dann gilt wegen monoton fallend: \(x_0\in h_c\Rightarrow [x_0,\infty)\subset h_c\). Damit erhält man
\[h_c=\bigcup_{x\in h_c} \{x\} = \bigcup_{x\in h_c} [x,\infty)\] Für \(d:=inf(h_c)\) erhält man dann \(h_c=[d,\infty)\) oder \(h_c=(d,\infty)\), jenachdem ob \(d\in h_c\) oder \(d\not\in h_c\).

Dieses kannst Du nun auf das g in der Aufgabe anpassen.
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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.37, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-16 17:53

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Ich würde also dann analog vorgehen.
Statt $\infty$ hätte ich als obere Intervallgrenze $1$.
Da sowohl halboffene als auch offene Intervalle in $\mathcal B(\mathbb R)$, wäre die Messbarkeit gezeigt. Stimmt das? Ich muss mir das gleich nochmal genauer anschauen, aber ich glaube das war's dann auch wirklich.

Puhh war das eine schwere Geburt biggrin

Ich möchte mich gerne jetzt schon bedanken für deine unbeschreiblich tolle Hilfe.
Obwohl es oft Schwierigkeiten gab, hast du immer wieder geholfen und hast versucht mir immer den ein oder anderen Gedankenanstoß zu geben. Dafür danke ich dir!


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.38, eingetragen 2018-09-16 18:44


Das ist die eine Beweisvariante. Die Aussage (monoton => Borel-messbar), die aus #36 folgt, kann durchaus als eigenständige Aufgabe gestellt werden. Ansonsten ist ein nützliches Detail für andere Aufgaben.

In einer anderen Variante kannst Du g als Grenzwert einfacher Funktionen darstellen und darüber die Messbarkeit zeigen.

Schreib erst einmal die eine Lösung auf - mußt Du hier auch nicht alles posten, falls es Dir klar ist. Wenn Du Interesse an einer zweiten Rundreise mit Brotkrumenspur hast, können wir uns auch noch mit der anderen Beweisvariante befassen.  cool



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saintskamara
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.39, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-17 12:15

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In einer anderen Variante kannst Du g als Grenzwert einfacher Funktionen darstellen und darüber die Messbarkeit zeigen.
Ich will's wissen.
Eine einfache Funktion nimmt nur endlich viele Werte an. Die Funktion $g$ nimmt jedoch unendlich viele Werte an. Ich kann $g$ schreiben als Grenzwert einfacher Funktionen. Als einfache Funktion kann ich die Funktion $g$ nehmen, die nur die ersten $m$ Werte annimmt. Also

Edit: Natürlich muss es 1 $\leq$ n $\leq$ m sein.
Edit2: Die rechte Intervallklammer muss nach $2^{-(n-1)}$ kommen.

Wir haben also $g(x) = \lim\limits_{m \rightarrow \infty}{g_{m}(x)}$
Einfache Funktionen sind messbar und der Grenzwert messbarer Funktionen ist messbar. Ist das korrekt?
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