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Analysis » Topologie » Aufgabe mit Abschluss einer Menge
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Autor
Universität/Hochschule J Aufgabe mit Abschluss einer Menge
tim123
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 07.06.2018
Mitteilungen: 22
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-09-20

\(\begingroup\)
Hallo ich sitze im Moment an einer Aufgabe, die folgende  Mengeninklusion beinhaltet.

$f(\overline{(A)})\subset \overline{f(A)}$  . Ich wollte fragen , ob jemand eventuell ein Beispiel kennen würde , wo $f(\overline{(A)})$ eine echte Teilmenge ist, da mir leider nur Beispiele einfallen wo $"="$ gilt.
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1341
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-20

\(\begingroup\)
Hey tim123,
wie wäre es mit folgendem:
\(f:[0,1] \to \mathbb{R}\), \(f(x)=x\) für \(x \in [0,1)\), \(f(1)=0\) und \(A=(0,1)\).
Dann ist \(f(A)=(0,1)\), \(f(\overline{A)}=[0,1)\) und  \(\overline{f(A)}=[0,1]\)

Edit: Für unstetiges \(f\) muss aber nicht einmal die Inklusion \(f(\overline{A)} \subset \overline{f(A)}\) gelten, man verändere obige Funktion an der Stelle \(1\) zu \(f(1)=10\). Für ein stetiges \(f\) gilt diese Inklusion jedoch immer

Edit2: Hier noch ein Beispiel einer stetigen Funktion, wo auch nicht die Gleichheit gilt:
\(f:(-\infty,0] \to \mathbb{R}\), \(f(x)=e^x\), \(A= (-\infty, 0)\).
Dann ist \(f(A)= (0,1)\), \(f(\overline{A})=(0,1]\) und \(\overline{f(A)}= [0,1]\).
\(\endgroup\)


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tim123
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 07.06.2018
Mitteilungen: 22
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-20

\(\begingroup\)
Hallo Kampfpudel,

danke vielmals für die Antwort. Die Aufgabe beinhaltet  $\iff  f $ ist stetig ,weshalb diese Mengeninklusion, die ich hier hingeschrieben habe nicht ganz richtig ist.
\(\endgroup\)


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