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Aufgabe mit Abschluss einer Menge |
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tim123
Aktiv  Dabei seit: 07.06.2018 Mitteilungen: 43
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Hallo ich sitze im Moment an einer Aufgabe, die folgende Mengeninklusion beinhaltet.
$f(\overline{(A)})\subset \overline{f(A)}$ . Ich wollte fragen , ob jemand eventuell ein Beispiel kennen würde , wo $f(\overline{(A)})$ eine echte Teilmenge ist, da mir leider nur Beispiele einfallen wo $"="$ gilt.
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Kampfpudel
Senior  Dabei seit: 02.08.2013 Mitteilungen: 1433
 |     Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-20
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Hey tim123,
wie wäre es mit folgendem:
\(f:[0,1] \to \mathbb{R}\), \(f(x)=x\) für \(x \in [0,1)\), \(f(1)=0\) und \(A=(0,1)\).
Dann ist \(f(A)=(0,1)\), \(f(\overline{A)}=[0,1)\) und \(\overline{f(A)}=[0,1]\)
Edit: Für unstetiges \(f\) muss aber nicht einmal die Inklusion \(f(\overline{A)} \subset \overline{f(A)}\) gelten, man verändere obige Funktion an der Stelle \(1\) zu \(f(1)=10\). Für ein stetiges \(f\) gilt diese Inklusion jedoch immer
Edit2: Hier noch ein Beispiel einer stetigen Funktion, wo auch nicht die Gleichheit gilt:
\(f:(-\infty,0] \to \mathbb{R}\), \(f(x)=e^x\), \(A= (-\infty, 0)\).
Dann ist \(f(A)= (0,1)\), \(f(\overline{A})=(0,1]\) und \(\overline{f(A)}= [0,1]\).
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tim123
Aktiv  Dabei seit: 07.06.2018 Mitteilungen: 43
 |     Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-20
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Hallo Kampfpudel,
danke vielmals für die Antwort. Die Aufgabe beinhaltet $\iff f $ ist stetig ,weshalb diese Mengeninklusion, die ich hier hingeschrieben habe nicht ganz richtig ist.
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