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    Analysis » Topologie » Aufgabe mit Abschluss einer Menge    		Druckversion
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    Autor
    Universität/Hochschule J Aufgabe mit Abschluss einer Menge
    tim123
    Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
    Dabei seit: 07.06.2018
    Mitteilungen: 22
    Aus:
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-09-20

    \(\begingroup\)
    Hallo ich sitze im Moment an einer Aufgabe, die folgende  Mengeninklusion beinhaltet.

    $f(\overline{(A)})\subset \overline{f(A)}$  . Ich wollte fragen , ob jemand eventuell ein Beispiel kennen würde , wo $f(\overline{(A)})$ eine echte Teilmenge ist, da mir leider nur Beispiele einfallen wo $"="$ gilt.    \(\endgroup\)

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    Kampfpudel
    Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
    Dabei seit: 02.08.2013
    Mitteilungen: 1341
    Aus:
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-20

    \(\begingroup\)
    Hey tim123,
    wie wäre es mit folgendem:
    \(f:[0,1] \to \mathbb{R}\), \(f(x)=x\) für \(x \in [0,1)\), \(f(1)=0\) und \(A=(0,1)\).
    Dann ist \(f(A)=(0,1)\), \(f(\overline{A)}=[0,1)\) und  \(\overline{f(A)}=[0,1]\)

    Edit: Für unstetiges \(f\) muss aber nicht einmal die Inklusion \(f(\overline{A)} \subset \overline{f(A)}\) gelten, man verändere obige Funktion an der Stelle \(1\) zu \(f(1)=10\). Für ein stetiges \(f\) gilt diese Inklusion jedoch immer

    Edit2: Hier noch ein Beispiel einer stetigen Funktion, wo auch nicht die Gleichheit gilt:
    \(f:(-\infty,0] \to \mathbb{R}\), \(f(x)=e^x\), \(A= (-\infty, 0)\).
    Dann ist \(f(A)= (0,1)\), \(f(\overline{A})=(0,1]\) und \(\overline{f(A)}= [0,1]\).    \(\endgroup\)

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    tim123
    Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
    Dabei seit: 07.06.2018
    Mitteilungen: 22
    Aus:
    Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-09-20

    \(\begingroup\)
    Hallo Kampfpudel,

    danke vielmals für die Antwort. Die Aufgabe beinhaltet  $\iff  f $ ist stetig ,weshalb diese Mengeninklusion, die ich hier hingeschrieben habe nicht ganz richtig ist.    \(\endgroup\)

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