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Universität/Hochschule J reelle Zahlen formal definieren
mhipp
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  Themenstart: 2018-09-21

Hi zusammen. Nehmen wir mal an, die Menge der natürlichen Zahlen ist bereits definiert als \IN:={1; 2; 3; 4; 5; 6; ...}. Dann kann ich die ganzen Zahlen \IZ so definieren: \IZ:=(union({i; -i},i\el\ \IN))\union\ {0} Die rationalen Zahlen gehen jetzt auch: \IQ:=union(m/n,m\el\ \IZ\ \and\ n\el\ \IZ) (n!=0) Nehmen wir nun an, die reellen Zahlen sind definiert, dann sind die komplexen auch einfach: \IC:=union(m+ni,m\el\ \IR\ \and\ n\el\ \IR)(i:=sqrt(-1) Meine Frage: Wie kann man \IN und \IR formal definieren (so wie ich hier \IZ, \IQ und \IC)? LG mhipp


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Wauzi
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  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-21

Hallo, \IR als unendliche Dezimalbrüche \IN induktiv. M_(n+1)={M_n } mit M_0:=\0 \IQ ist nicht korrekt, was ist der formale Bruch und wie schaut es mit der Eindeutigkeit aus? Besser wäre es, Paare aus \IZ x \IN zu betrachen, Äquivalenzklassen zu bilden (welche Paare sollen dieselbe Zahl beschreiben?) und dann die Menge der Aquivalenzklassen mit \IQ zu identifizieren Gruß Wauzi


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lucceius
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  Beitrag No.2, eingetragen 2018-09-21

\quoteon(2018-09-21 22:20 - mhipp im Themenstart) Hi zusammen. Nehmen wir mal an, die Menge der natürlichen Zahlen ist bereits definiert als \IN:={1; 2; 3; 4; 5; 6; ...}. Dann kann ich die ganzen Zahlen \IZ so definieren: \IZ:=(union({i; -i},i\el\ \IN))\union\ {0} Die rationalen Zahlen gehen jetzt auch: \IQ:=union(m/n,m\el\ \IZ\ \and\ n\el\ \IZ) (n!=0) Nehmen wir nun an, die reellen Zahlen sind definiert, dann sind die komplexen auch einfach: \IC:=union(m+ni,m\el\ \IR\ \and\ n\el\ \IR)(i:=sqrt(-1) Meine Frage: Wie kann man \IN und \IR formal definieren (so wie ich hier \IZ, \IQ und \IC)? LG mhipp \quoteoff Hallo mhipp, deine Definitionen der ganzen und rationalen Zahlen über die natürlichen Zahlen funktionieren so nicht. Es ist beispielsweise nicht klar, was -i oder p/q für Objekte sein sollen. Allgemein konstruiert man die ganzen Zahlen und die rationalen über die Äquivalenzklassen bestimmter Äquivalenzrelationen (s. hier unter Konstruktion oder hier unter Definition). Für die reellen Zahlen gibt es mehrere Möglichkeiten: Dedekind-Schnitte, Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen, Intervallschachtelungen etc. Wenn dich diese Grundlagen interessieren, würde ich gezielt nach Konstruktionen der ganzen/rationalen/reellen/komplexen Zahlen suchen. Gruß, Lucceius [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.3, eingetragen 2018-09-21

Im Buch "Grundlagen der Analysis" von Edmund Landau wird die Konstruktion der reellen Zahlen aus den natürlichen Zahlen sehr detailliert beschrieben. https://www.amazon.de/Grundlagen-Analysis-Berliner-Studienreihe-Mathematik/dp/3885381117 In den üblichen Lehrbüchern der Analysis wird die Konstruktion oft nur angedeutet oder gar nicht behandelt. Das Buch von Landau macht nur das und nichts anderes. Es hat ca. 140 Seiten. Die Konstruktion der Natürlichen Zahlen machen wenige. Man beruft sich eher auf die Axiome von Peano. Es gibt aber von John von Neumann ein Mengentheoretisches Modell. Das findet man einfach in der Wikipedia. https://de.wikipedia.org/wiki/Natürliche_Zahl#Von_Neumanns_Modell_der_natürlichen_Zahlen Das ganze funktioniert so: $$\begin{align*} 0 &:= && &&\quad\ \emptyset\\ 1 &:= 0' &&= \{0\} &&= \{ \emptyset \}\\ 2 &:= 1' &&= \{0, 1\} &&= \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \}\\ 3 &:= 2' &&= \{0, 1, 2\} &&= \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} \}\\ &\vdots&& &&\\ (n+1) &:= n' &&= \{0,1,\ldots,n\} &&= n \cup \{n\} \end{align*}$$ Gruß Martin


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Ehemaliges_Mitglied
  Beitrag No.4, eingetragen 2018-09-22

Für die reellen Zahlen gibt es mehrere Möglichkeiten, z.b. über Dedekindschnitte, oder über Cauchyfolgen. Letzteres ist die cantorsche Konstruktion, und diese hat den Vorteil, dass ihre Technik auch zur Vervollständigung bezüglich anderer Metriken verwendet werden kann. Z.B. führt die Vervollständigung bezüglich der vom p-adischen Absolutbetrag induzierten Metrik zu den p-adischen Zahlen. MfG np_complete


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