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Differentialgleichungen » Partielle DGL » partielle Differentialgleichungen anschaulich für Nichtphysiker?
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Universität/Hochschule partielle Differentialgleichungen anschaulich für Nichtphysiker?
GordonYoung
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-09-25 20:15


Also, ich bin Mathematikstudent, habe seit dem Gymnasium keine Physik mehr gemacht und gehe jetzt in eine PDE-Vorlesung.

Ich habe leider einen Dozenten der etwas sehr Mathematik-fokussiert ist: Er holt sich einfach die Diffgleichungen von den Physikern, ohne zu überlegen woher sie genau kommen, und will sie mit trockener Mathematik analysieren. Dabei wäre eine minimale physikalische Vorstellung dieser Gleichungen doch sicher sehr nützlich und motivierend.

Ich konnte dank dem Internet schon ein paar Sachen herausfinden (ich kenne jetzt physikalische Interpretationen der Laplace Equation und der Heat Equation), aber das hat auch seine Grenzen: Zum Beispiel haben wir heute eine Energiemethode angeschaut:

fed-Code einblenden

Das Wort Energie tönt sehr nach Physik, aber ich kann es nicht mit diesem Funktional in Zusammenhang bringen. Kann jemand helfen? Gibt es vielleicht ein gutes Buch, das bei solchen Problemen helfen kann? Vielleicht so etwas, wie das ODE-Buch von Heuser, einfach für PDE.



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-09-26 12:37

\(\begingroup\)
Als Energiefunktional bezeichnet man in der Theorie elliptischer Differentialgleichungen ein zu einer elliptischen DGL gehöriges Funktional, das von jeder Lösung dieser DGL (oder dieses Randwertproblems) minimiert wird. Andersrum ist ein Minimierer des Energiefunktionals auch stets eine Lösung der DGL bzw. des Randwertproblems, in einem gewissen Sinne zumindest.

Wenn der Mathematiker von Energie spricht, meint er immer solche Funktionale, bei denen einem theoretisch möglichen "Zustand" eine Zahl zugeordnet wird und genau der Zustand in der Realität eintritt, bei dem diese Zahl minimal ist.

Wenn wir uns den physikalischen Energiebegriff ansehen, dann strebt ein "System" ja immer den physikalischen Zustand an, bei dem die Energie minimal ist.

Oder betrachte einen Lichtstrahl, der in ein Medium (bestehend aus unterschiedlichen Stoffen) an der Stelle A eintritt und an der Stelle B wieder austritt. Welchen Weg hat der Lichtstrahl genommen? Antwort: Den, bei dem der Lichtstrahl am wenigsten Zeit brauchte. Dann stellt man ein "Energiefunktional" auf, dass jedem theoretisch möglichen Weg durch das Medium, bei dem der Lichtstrahl an Stelle A ein- und an Stelle B wieder austrat, die benötigte Zeit zuordnet. Der Weg, der dieses Energiefunktional minimiert, ist dann der vom Lichtstrahl genommene Weg.

Aus Energiefunktionalen kann man relativ leicht die zugehörige DGL gewinnen. Sei etwa \(w \in D\) ein Minimierer eines Energiefunktionals \(E:D \to \mathbb{R}\), wobei \(D\) die Menge aller möglichen Zustände beschreibt. Dann muss die reelle Funktion \(\varphi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(\varphi(t)= E(w+tv)\) ein Minimum an der Stelle \(t=0\) haben. Es muss also \(0=\frac{d}{dt} \varphi(t)_{|t=0}\) gelten. Wenn man die rechte Seite nun auflöst und so mathematische Spielereien wie den Satz von Gauß oder das Fundamentallemma der Variationsrechnung benutzt, kommt man schließlich zu einer Differentialgleichung.

Wenn also die Mathematik behauptet, eine partielle DGL beschreibt irgendein in der Realität vorkommendes Phänomen, dann kommt diese DGL in oftmals (vllt sogar immer?) von einem "Energiefunktional", dessen Minimierer den tatsächlich auftretenden Zustand dieses Phänomens beschreibt. In Wahrheit will man also Energiefunktionale minimieren, nicht DGLs lösen...

Das war jetzt eine grobe Beschreibung von mir, was das alles soll. Genaueres findest du, wenn du nach Variationsrechnung oder Variationsungleichungen suchst.

PS: bei deinem Energiefunktional fehlt ein \(\frac{1}{2}\) vor dem \(|\nabla w|^2\).
\(\endgroup\)


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holsteiner
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-09-26 15:26


Moin,
gemeint ist möglicherweise das Dirichlet Prinzip in der Potentialtheorie.

Dirichlet Prinzip

In vielen Bereichen der Physik braucht man die Laplacegleichung und hat damit auch dieses Prinzip.


Viele Grüße

holsteiner



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