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Strukturen und Algebra » Ringe » Nakayama-Lemma Anwendung
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Universität/Hochschule Nakayama-Lemma Anwendung
nomeal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-10-07


Hallo Zusammen,

ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Es sei \(A\) ein lokaler Ring mit maximalem Ideal \( \mathfrak{m} \).
Dann ist immer genau eine der folgenden Aussagen richtig:

1) \( \mathfrak{m}^{n} \neq \mathfrak{m}^{n+1} \) für jedes \( n \in \mathbb{N} \)

2) \( \mathfrak{m}^{n} = \{ 0 \} \) für ein \( n \in \mathbb{N} \)

Eine Lösung ist gegeben unter Anwendung des Nakayama Lemmas. Jedoch ist mir nicht klar, wieso \( \mathfrak{m}^{n} \) endlich erzeugt sein soll..

Dann wäre nämlich \( \mathfrak{m}^{n} = \mathfrak{m}^{n} * \mathfrak{m} \)
Also \( ^{\mathfrak{m}^{n}}/_{\mathfrak{m}^{n} * \mathfrak{m}} = 0\).
Und nach Nakayama: \(\mathfrak{m}^{n} = 0 \)

Vielen Dank schonmal!



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kurtg
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Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1194
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-07


Hi,

$\mathfrak{m}^n$ ist auch i.A. nicht endlich erzeugt, z.B. $R = k[T_1,T_2,\ldots]$ und $\mathfrak{m} = (T_1,T_2,\ldots)$. Ist der Ring noethersch? Wo ist die Aufgabe her? Für $\mathbb{N}$-graduierte Ringe und homogene Ideale braucht man nicht die Endlich-Erzeugtheit in Nakayama. Vielleicht kannst du $\mathrm{gr}_\mathfrak{m}(A) = \bigoplus_{n \geq 0}\mathfrak{m}^n/\mathfrak{m}^{n+1}$ betrachten?



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nomeal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-07


Ich habe die Aussage noch mal gefunden und hier wird vorausgesetzt, dass A noethersch ist. Inwiefern ändert das was?



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kurtg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-10-07


Ein Ring ist genau dann noethersch, wenn alle Ideale endlich erzeugt sind.



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nomeal
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Mitteilungen: 75
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-07


Stimmt nicht genug darüber nachgedacht. Dann macht das natürlich alles Sinn! Danke!



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-09


Ohne "noethersch" (oder zumindest, dass $\mathfrak{m}$ endlich-erzeugt ist) ist die Aussage auch nicht richtig.

Betrachte $R = k[T_1,T_2,\dotsc,]_{(T_1,T_2,\dotsc)}$ mit $\mathfrak{m} = (T_1,T_2,\dotsc)$. Dann gilt $\mathfrak{m}^n \neq \mathfrak{m}^{n+1}$ für alle $n$, aber zugleich $\mathfrak{m}^n \neq 0$ für alle $n$.



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