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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Dem von Gödel konstruierten Satz einen Wahrheitswert zuordnen
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Universität/Hochschule Dem von Gödel konstruierten Satz einen Wahrheitswert zuordnen
Simon_St
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-10-15


Hallo,
dieses Thema wurde von vielen aufgegriffen, ich möchte die Sache aber hier in einem Thread endgültig klären.

Gödel konstruiert in seinem Unvollständigkeitstheorem einen Satz S, der von sich selbst behauptet, dass von einem gegebenen Axiomensystem A keine Beweiskette zu dem Satz S führt.

Hier das Problem: Man kann dem Satz in keinem Modell in dem A gilt einen Wahrheitswert zuordnen. Angenommen ein konkretes aber beliebiges Modell M, welches A erfüllt. Hätte S den Wahrheitswert "false" so gäbe es eine Beweiskette von A zu S. Da A in M gilt, so gilt auch S. Somit hätte S den Wahrheitswert "true". Da M beliebig gewählt wurde, muss S in JEDEM Modell M den Wahrheitswert "true" haben. Dies ist aber im Widerspruch zum Gödelschen Vollständigkeitssatz, der besagt, wenn in allen Modelle M in denen A gilt auch S gilt, so gibt es eine syntaktische Beweiskette von A nach S: Im Widerspruch zu Satz S, der ja behauptet, dass es keine syntaktische Beweiskette von A nach S gibt.


Ich habe ein paar Sachen gelesen, dass man ein paar Sachen relativieren muss, damit nicht ein solcher Widerspruch entsteht.


Ich hätte gerne eine Aufklärung des Problems.


Grüße
Simon



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index_razor
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-16

\(\begingroup\)
2018-10-15 20:28 - Simon_St im Themenstart schreibt:
Hallo,
dieses Thema wurde von vielen aufgegriffen, ich möchte die Sache aber hier in einem Thread endgültig klären.

Gödel konstruiert in seinem Unvollständigkeitstheorem einen Satz S, der von sich selbst behauptet, dass von einem gegebenen Axiomensystem A keine Beweiskette zu dem Satz S führt.

Hier das Problem: Man kann dem Satz in keinem Modell in dem A gilt einen Wahrheitswert zuordnen. Angenommen ein konkretes aber beliebiges Modell M, welches A erfüllt. Hätte S den Wahrheitswert "false" so gäbe es eine Beweiskette von A zu S. Da A in M gilt, so gilt auch S.

Ich denke das kann man so nicht sagen.  Es gäbe nur ein Element x aus M, auf welches das Prädikat "... ist ein Beweis von S" zutrifft.  Aber Elemente von M sind nicht das, was man im gewöhnlichen Sinne unter "Beweisketten" verstehen würde.  Insbesondere scheint mir die implizite Annahme unbegründet zu sein, daß man dem fraglichen Element aus M eine korrekte Sequenz \(A \vdash S\) zuordnen kann. Also kannst du m.E. aus der Existenz von x auch nicht auf die Wahrheit von S in M schließen.


\(\endgroup\)


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carlox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-10-19


2018-10-15 20:28 - Simon_St im Themenstart schreibt:


Ich hätte gerne eine Aufklärung des Problems.


>
>Ich hätte gerne eine Aufklärung des Problems.
>
Für mich stellt sich bei solch tiefgreifenden Problemen eine prinzipielle Frage:
Was ist die Objekttheorie?
Was ist die Metatheorie?

Beispiel:
Das Peanosche Axiomensystem (PA).
In diesem sollen die naiven natürlichen Zahlen (die man von der Grundschule her kennt) formalisiert werden.
Oft wird in diesem Zusammenhang aber nicht angegeben, dass man in der zugehörigen Metatheorie diese naiven Zahlen  _voraussetzt_.
Ebenso wird oft nicht erwähnt, dass man die metasprachliche Induktion über die natürlichen Zahlen ebenso _voraussetzt_.
In  der Objekttheorie (Objektsprache) wird die Induktion über die natürlichen  Zahlen als Axiom formuliert.
Um irgendwelche Fragen über Beweise, Wahrheit, usw. zu klären, muss das m.M. nach  zuerst geklärt werden.

Mfg
cx



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Simon_St
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-19


Ich stimme Carlox zu!

In dem Gödelschen Vollständigkeitssatz werden gerade Objektsprache und Metasprache vermischt. Angeblich aber korrekt!

Man kann das Gödelsche Thereom auch über den Fixpunktsatz verstehen (der ebenfalls gleichzeitig mit Objekt- und Metasprache arbeitet), indem Gödel ein Beweisbarkeitsprädikat einführt. Dann gibt es einen Satz, der über sich selbst aussagt, dass er nicht beweisbar ist.


Zurzeit versuche ich den Gödelschen Satz OHNE Selbstbezug zu verstehen, indem ich mir die Arithmetische Hierachie bzw. den Turingjump anschaue. Betrachtet man ein Axiomensystem, welches in der Arithemtischen Hierachie begrenzt ist, so kann man einen Satz formulieren, der eine Stufe höher steht in der Arithmetischen Hierachie (wenn Turingmaschinen in der Theorie formulierbar sind). Da (endliche) Beweisketten eine Berechnung darstellen, wäre dieser Satz arithmetisch nicht "erreichbar".


Was an der oben genannten Interpretation nicht ganz hinkommt, ist, dass der Gödelsche Unvollständigkeitssatz auch für Theorien mit nicht beschränkter Arithmetischen Hierachie gilt. Z.B. wird in der Mengenlehre ein Axiomenschema definiert (Aussonderungsaxiom), welches über alle einstelligen Prädikate läuft, und somit unbeschränkt ist in der Arithmetischen Hierachie. Allerdings verwendet jeder endliche Beweis nur endlich viele Axiome. Somit wäre in jedem endlichen Beweis die Arithmetische Hierachie begrenzt.


Gibt es einen Erklärungsansatz für den Unvollständigkeitssatz, der mit der Arithmetischen Hierachie argumentiert?



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index_razor
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-10-19

\(\begingroup\)
2018-10-19 11:13 - Simon_St in Beitrag No. 3 schreibt:
Ich stimme Carlox zu!

In dem Gödelschen Vollständigkeitssatz werden gerade Objektsprache und Metasprache vermischt. Angeblich aber korrekt!

Meinst du den Unvollständigkeitssatz oder den Vollständigkeitssatz?

In keinem von beiden und auch nicht im Fixpunktsatz werden Objekt- und Metasprache "vermischt" (was ein grammatikalischer Fehler wäre), außer in dem trivialen Sinn, daß es sich um metasprachliche Behauptungen handelt, die als solche selbstverständlich objektsprachliche Konstrukte erwähnen müssen.  Das trifft aber auf alle Sätze der mathematischen Logik zu.  Wenn du etwas anderes meinst, ist mir nicht klar was.


Man kann das Gödelsche Thereom auch über den Fixpunktsatz verstehen (der ebenfalls gleichzeitig mit Objekt- und Metasprache arbeitet), indem Gödel ein Beweisbarkeitsprädikat einführt. Dann gibt es einen Satz, der über sich selbst aussagt, dass er nicht beweisbar ist.


Ich dachte, genau darum ging es dir. Du sprachst doch genau von einem "Satz S, der von sich selbst behauptet, dass von einem gegebenen Axiomensystem A keine Beweiskette zu dem Satz S führt."  Diese Behauptung erfordert natürlich, daß in der Sprache von A irgendein Beweisprädikat formulierbar ist.  Ansonsten könnte S keine solche Behauptung über sich selbst machen.  

Der Unvollständigkeitssatz behandelt also gerade die Situation, in der ein Prädikat \(\text{Bew}_A\) zu den Ausdrucksmöglichkeiten der Sprache gehört, und verwendet die Existenz eines Satzes S, so daß

\(A \vdash S \leftrightarrow \neg \text{Bew}_A('S'), \)

wobei 'S' irgendein Name für S innerhalb der Sprache ist.  (Dies ist genau die Anwendung des Fixpunktsatzes, von dem du sprichst.)  Dies ist keine Vermischung von Objekt- und Metasprache, denn Bew und 'S' gehören beide zur selben Sprache, in der auch A und S formuliert sind.

Unter diesen notwendigen Voraussetzungen ist aber deine Behauptung, daß man S in keinem Modell von A einen Wahrheitswert zuordnen kann m.E. falsch.  Siehst du das anders?


Zurzeit versuche ich den Gödelschen Satz OHNE Selbstbezug zu verstehen, indem ich mir die Arithmetische Hierachie bzw. den Turingjump anschaue. Betrachtet man ein Axiomensystem, welches in der Arithemtischen Hierachie begrenzt ist, so kann man einen Satz formulieren, der eine Stufe höher steht in der Arithmetischen Hierachie (wenn Turingmaschinen in der Theorie formulierbar sind). Da (endliche) Beweisketten eine Berechnung darstellen, wäre dieser Satz arithmetisch nicht "erreichbar".

Davon verstehe ich nichts.  Was genau hat das mit dem Unvollständigkeitssatz zu tun?
\(\endgroup\)


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