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Strukturen und Algebra » Gruppen » Gruppenaxiome
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Universität/Hochschule Gruppenaxiome
Bibi90
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Dabei seit: 17.11.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-10-17


G sei eine multiplikative Gruppe. Ich soll mit den Gruppenaxiomen zeigen, dass
falls ax=ay gilt, dann ist x=y

Ich habe das wie folgt gemacht
ax=ay --> ax-ay=0 --> a(x-y)=0
wegen der nullteilerfreiheit muss gelten x=y , da a ungleich null.
Stimmt der beweis so?



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ligning
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Dabei seit: 07.12.2014
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-17


Hallo,

das stimmt nicht. Du verwechselst Gruppen und Ringe. Es gibt kein Element "0", keine Operation "-" und es gibt auch keinen Begriff von "Nullteiler".

Wenn du etwas mit den Gruppenaxiomen zeigen sollst, dann solltest du die Gruppenaxiome explizit vor dich legen (z.B. im Script, Lehrbuch, Wikipedia) und zu jedem einzelnen Schluss das Axiom angeben, dass diesen Schluss ermöglicht.


[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Gruppen' von ligning]


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⊗ ⊗ ⊗



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-10-17


Nein.
Du wendest hier Rechenregeln für Ringe an und was Nullteilerfreiheit im Zusammenhang mit Gruppen bedeuten soll ist auch unklar. (Gruppen besitzen üblicherweise weder eine Null noch Teiler)
Schlage die Gruppenaxiome nach und arbeite nur damit.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-17


Ah stimmt. Dann habe ich aber ja trotzdem
ax-ay=0 und weiß dann dass -ay das inverse element von ax ist. Also ist
(ax)^(-1)=-ay --> x^(-1)*a^(-1)= -ay
Stimmt das so vielleicht? Und wenn ja wie mache ich weiter?



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DerEinfaeltige
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-10-17

\(\begingroup\)
Nein, das stimmt nicht.

Was soll denn $ax-ay=0$ heißen und wie soll diese Gleichung aus der ursprünglichen entstanden sein? (welche Axiome hast du für die Umformung genau verwendet?)


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Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -
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Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-17


Also ich weiß nicht genau welches axiom ich verwende damit ich auf ax-ay=0 komme, weil ich darf doch kein minus verwenden oder?
Aber das bedeutet doch so viel wie ax+(-ay)=0 und deshalb ist -ay das inverse Element



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DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-10-17

\(\begingroup\)
Deine Schreibweise ist sehr unüblich.

Das inverse Elemente zu $ay$ würde mal normalerweise als $(ay)^{-1}$ schreiben und das neutrale Element mit $e$ oder $1$ bezeichnen.

Ein Minus $-$ und die $0$ nutzt man normalerweise nur, wenn man als Verknüpfung $+$ hat. (meist im Zusammenhang mit abelschen - also kommutativen - Gruppen)


Nützliche Umformungen auf Basis der Gruppenaxiome sind folgende:

- Falls $x=y$, so gilt auch $ax=ay$, da die Verknüpfung eindeutig ist.
- Es gilt $ae=ea=a$. (Neutrales Element)
- Es gilt $aa^{-1}=e$. (Inverses Element)

Damit kann man auch die gewünschte Rückrichtung der ersten Umformung beweisen.


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Bibi90
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-17


Ah danke jetzt habe ich es verstanden. Nun soll ich noch beantworten ob xa=ay impliziert x=y.
Ich hätte nein gesagt, weil das gilt doch nur, wenn es sich um eine kommutative oder abelsche Gruppe handelt.
Ich weiß ja dass aus ax=ay folgt x=y. Würde xa=ay gelten so müsste gelten:
ax=xa=ay und das ist nur bei einer kommutativen Gruppe der Fall.
Stimmt das dann so?



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ligning
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-10-17


Hallo,

du machst da nicht viel mehr als zu sagen, dass ein bestimmter denkbarer Beweis dieser Behauptung nicht funktioniert, weil die Voraussetzung der Kommutativität nicht vorliegt. Das heißt aber nicht, dass es keinen Beweis gibt. Die Idee ist zwar richtig, aber du müsstest schon noch ein Gegenbeispiel finden.



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Bibi90
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.11.2017
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-17


Kann ich dann als Beispiel die Matrizen
a=((3,2),(1,1))
x=((4,4),(1,2))=y
wählen und dann ist ja
ax ungleich xa und somit die Kommutativität nicht erfüllt.
Oder wie kann ich das Beispiel sonst wählen?



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ligning
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Dabei seit: 07.12.2014
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-10-17

\(\begingroup\)
Du solltest das Beispiel natürlich so wählen, dass $ax=ya$ gilt, aber $x\neq y$, ansonsten ist es ja kein Gegenbeispiel für die Behauptung. Das Beispiel aus $GL_2(K)$ zu beziehen ist aber eine gute Idee.
\(\endgroup\)


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Hans-im-Pech
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Dabei seit: 25.11.2002
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-10-17


fed-Code einblenden

lg
HiP



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Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-17


Kannst du mir vielleicht einen Tipp geben? Komme leider gerade auf kein passendes Gegenbeispiel

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-10-17

\(\begingroup\)
Wähle ein a und ein x, setze $y = axa^{-1}$. Prüfe, dass das tatsächlich $\neq x$ ist.
\(\endgroup\)


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Bibi90
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-17


Also ich stehe glaub gerade auf dem Schlauch. Habe jetzt a=((1,0),(1,1)) und x=((1,1),(0,1)) gewählt dann erhalte ich für y=((0,1),(-1,2)).
Aber es ist
xa=((2,1),(1,1)) ungleich ay=((0,1),(-1,3))

Wo liegt mein fehler?



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-10-17

\(\begingroup\)
Es ging doch um $ya$ und $ax$.
\(\endgroup\)


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Bibi90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-17


Nein um xa=ay. Hab ich übersehen dass du das vertauscht hast. Wie mache ich das dann?



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ligning
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Achja, richtig. Dann musst du in der Konstruktion einfach die Rollen von x und y vertauschen.



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