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Mathematik » Stochastik und Statistik » Wahrscheinlichkeit, zwei passende Schlüssel zu finden
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Kein bestimmter Bereich Wahrscheinlichkeit, zwei passende Schlüssel zu finden
fragge
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-10-19


Hallo,
hier das Setting:
Man läuft durch 2 Räume mit jeweils einer Tür, die man jeweils mit einem blauen Schlüssel aufschließen kann (und nicht mit einem gelben). Man gewinnt wenn man beide Türen aufschließen kann, und wenn nicht dann hat man verloren. Ich muss immer eine Truhe öffnen, sofern eine in dem Raum ist wo ich bin. Steckt man einen Schlüssel in eine Türe, bleibt dieser Schlüssel stecken und man bekommt ihn nicht wieder.

Nun gibt es zwei verschiedene Szenarien:
1.Szenario:
Im 1. Raum gibt es eine Truhe, die einem einen Schlüssel gibt der mit Wahrscheinlichkeit 1 zu 100 blau ist und mit 99 zu 100 gelb.
Genauso: Im 2. Raum gibt es eine Truhe, die einem einen Schlüssel gibt der mit Wahrscheinlichkeit 1 zu 100 blau ist und mit 99 zu 100 gelb.


2.Szenario: Im 1. Raum gibt es zwei Truhen, die einem jeweils einen Schlüssel geben der mit Wahrscheinlichkeit 1 zu 100 blau ist und mit 99 zu 100 gelb.




Wie sind in den jeweiligen Szenarien die Chancen zu gewinnen?

Hier die vorgehensweise.

Im 1. Szenario: Der Gewinnfall ist wenn ich in beiden Truhen einen blauen Schlüssel finde. Es gibt also genau einen Gewinnfall.
Ein Verlorenfall gibt es wenn ich im 1. Raum einen gelben Schlüssel finde oder wenn ich im 1. Raum einen blauen Schlüssel finde und im 2. Raum einen gelben Schlüssel. Es gibt also 99 (im 1. Raum ist der Schlüssel gelb)+99 (im ersten Raum ist der Schlüssel blau und im 2. ist er gelb)=198 Verlorenfälle.
Ist die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen hier also 1 zu 199?

Im 2. Szenario: Hier kann ich immer zwei Truhen öffnen, da ja beide im 1. Raum sind. Es gibt 100*100=10000 Möglichkeiten und nur einen Gewinnfall, nämlich wenn beide Schlüssel blau sind. Also ist hier die Möglichkeit zu gewinnen 1 zu 10000?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-19


Hallo fragge,

willkommen auf dem Matheplaneten!

Deine Szenarien habe ich noch nicht ganz verstanden.

1. Wenn sich die Truhen mit den Schlüsseln IN den Räumen befinden, wie kommt man dann an die Schlüssel, um die Räume aufzuschließen.

2. Unterscheiden sich die blauen Schlüssel? Oder kann man, wenn man einen blauen Schlüssel gefunden hat, beide Türen aufschließen?



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fragge
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-19


Danke für die Antwort.
Zu 2.:Die Schlüssel unterscheiden sich nicht (wer Spaß daran hat, kann aber die Frage auch unter der Annahme beantworten, die Schlüssel würden sich unterscheiden).

Zu 1.: Der erste Raum ist frei zugänglich und man braucht einen blauen schlüssel um von Raum 1 zu Raum 2 zu gelangen. Man braucht einen weiteren blauen Schlüssel um von Raum 2 zum Ende (Gewinn) zu kommen.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-10-19


Wenn du im ersten Raum einen blauen Schlüssel findest, dann bist du ja schon durch, weil man damit beide Türen öffnen kann. Richtig? Die W'keit für Szenario 1 wäre dann 1/100. Die zweite Truhe ist belanglos.



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fragge
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-19


Hallo,
wenn man einen Schlüssel in die Türe steckt, dann bleibt dieser stecken und die Türe geht auf. Man kriegt ihn nicht wieder.
Sorry, das habe ich vergessen zu sagen.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-10-19


Dann ist es aber doch egal, ob in jedem Raum eine Truhe ist oder ob sich im ersten Raum alle beide Truhen befinden. Die W'keit, dass beide Schlüssel blau sind, ist 1/10000. Deine Berechnung für Szenario 1 ist unzulässig.



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fragge
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-19


Danke für die Antwort.

Das ist ja gerade das verwirrende. Die Wahrscheinlichkeit sollte gleich der Anzahl günstige Fälle geteilt durch alle möglichen Fälle sein.
Es gibt aber in Szenario 1 nur 199 mögliche Fälle während es in Szenario 2 100*100 mögliche Fälle gibt.

In Szenario 1 kommt der 2. Schlüssel ja nur ins Spiel sofern der 1. Schlüssel blau war, weil man sonst ja garnicht an die 2. Truhe kommt.
Es sollte in Szenario 1 also nicht 100*100 Fälle geben, oder wie kommst du auf 100*100?
Wenn man den Möglichkeitsbaum malt, dann hat er am Anfang(=root) 100 Äste : 1 Ast ist blau und 99 sind gelb. An den gelben Ästen geht es nicht mehr weiter, während an dem blauen Ast nochmal 100 Äste sind, wovon wieder einer blau und 99 gelb sind. Es kommen also 100+99=199 mögliche Fälle raus.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-10-19


2018-10-19 21:43 - fragge in Beitrag No. 6 schreibt:
Es gibt aber in Szenario 1 nur 199 mögliche Fälle während es in Szenario 2 100*100 mögliche Fälle gibt.

Das stimmt schon. Aber die Formel
Wahrscheinlichkeit = Anzahl der günstigen Fälle dividiert durch Anzahl der möglichen Fälle
ist nur dann richtig, wenn alle Fälle gleichwahrscheinlich sind. Das ist hier aber nicht der Fall! Dass überhaupt in die zweite Truhe gegriffen werden kann, ist ja nur möglich, wenn der erste Schlüssel blau ist. Also ist die W'keit, dass der zweite Schlüssel blau ist (wenn es überhaupt so weit kommt), wesentlich geringer, als dass der erste Schlüssel blau ist.



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fragge
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-19


Was kommt dann für Szenario 1 als Wahrscheinlichkeit raus (mit einer mathematischen Begrüdungung)?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-10-19


2018-10-19 21:55 - fragge in Beitrag No. 8 schreibt:
Was kommt dann für Szenario 1 als Wahrscheinlichkeit raus (mit einer mathematischen Begrüdungung)?

Die Lösung und Begründung steht in Beitrag #5 smile



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fragge
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-19


Ich finde die Begrüdung nicht sehr mathematisch, da es ja doch irgendwie anderst als in Szenario 2 ist wo man die Standardformel verwenden kann weil alle Fälle gleich wahrscheinlich sind.

Wie kann man die Lösung für Szenario 1 sehen, wenn man eine (irgendwie gewichtete) Formel nimmt, die nur die 199 Fälle betrachtet?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-10-19


Ich versuchs mal so:

P(verlieren)
= P(erster Schlüssel gelb) + P(erster Schlüssel blau und zweiter Schlüssel gelb)
= 99/100 + 1/100 * 99/100
= (99 * 100 + 1 * 99) / (100 * 100)
= (101 * 99) / (100 * 100)
= (100 * 100 - 1) / (100 * 100) [dritte binomische Formel]

P(gewinnen)
= 1 - P(verlieren)
= (100 * 100) / (100 * 100) -  (100 * 100 - 1) / (100 * 100)
= 1 / (100 * 100)



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fragge
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Das klingt, gut.
Vielen Dank nochmal.



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