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 Schnellstmögliches Treffen, Geometrie |
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Tareq
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 16.07.2018
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 |  Themenstart: 2018-10-24
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Hallo alle,
\quoteon(ursprünglicher Beitrag)
Hallo alle,
\quoteon(ursprünglicher Beitrag)
Hallo alle,
eine Freundin von mir hat mir diese Aufgabe geschickt, da ich gar nicht weiß wie ich vorgehen soll, wäre ich auf Hinweise sehr dankbar!
In der Wüste leben die 3 Scheichs Amar, Samir, Haluk. sie wohnen alle jeweils 357,2 KM von einander entfernt und wollen sich so schnell wie möglich mal wieder treffen. Glücklicherweise haben sie alle einen Helicopter mit dem sie anreisen können. Samirs Helikopter ist der schnellste er kann 215 KM/h schnell fliegen . Amars ist nur 100 KM/h schnell und Haluks 160 KM/h . Wo sollen sie sich treffen?
Vielen Dank im Voraus
Liebe Grüße, Tareq
\quoteoff
\quoteoff
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dietmar0609
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Dabei seit: 29.06.2007
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Wohnort: Oldenburg , Deutschland
 | Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-24
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Dies ist anscheinend keine Knobelaufgabe, da du das Ergebnis nicht weisst ...
Tipp 1: Welche Form hat denn das Dreieck ?
Gruss Dietmar
Tipp 2: folgt .......
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pzktupel
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2018-10-24
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> Wo sollen sie sich treffen?
Na am bestem innerhalb im beschriebenen Dreieck :-)
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mire2
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| Beitrag No.3, eingetragen 2018-10-24
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Tareq
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-24
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@Dietmar
Ja genau da haben Sie recht.
Ich meine das ist ein gleichseitiges Dreieck
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Tareq
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-24
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@Pzktubel
Danke dir . Das habe ich mir auch soo gedacht aber das reicht noch nicht aus ...
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Tareq
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-24
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@mire2
Danke dir!
Also tipp 2 iat bisschen unverständlich gür mich . Also man kann sagen dass alle punkte auf einer Linien liegen . Und so kann man 2 punkte (A,B) wählen wo sie doppelt entfernt sind vom Punkt A wie vom Punkt B.
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ochen
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| Beitrag No.7, eingetragen 2018-10-24
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\quoteon(2018-10-24 08:52 - Tareq in Beitrag No. 6)
@mire2
Danke dir!
Also tipp 2 ist ein bisschen unverständlich für mich . Also man kann sagen dass alle punkte auf einer Linien liegen . Und so kann man 2 punkte (A,B) wählen wo sie doppelt entfernt sind vom Punkt A wie vom Punkt B.
\quoteoff
Die Punkte, die doppelt so weit von A wie von B entfernt sind, liegen auf keiner Geraden sondern auf einem Kreis.
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werner
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| Beitrag No.8, eingetragen 2018-10-24
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https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/6049_treffp_nktchen.JPG
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Tareq
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-24
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@Werner
Danke sehr für das anschauliche Beispiel.
Das Form habe und das Treffpunkt habe ich mir vorgestellt.
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Tareq
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-24
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Ich habe das rechnerisch bestimmt, nach der Vorlesung werde ich euch es zeigen. Damit ihr das bewerten könnt.
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werner
Senior
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| Beitrag No.11, eingetragen 2018-10-24
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\quoteon(2018-10-24 15:01 - Tareq in Beitrag No. 10)
Ich habe das rechnerisch bestimmt, nach der Vorlesung werde ich euch es zeigen. Damit ihr das bewerten könnt.
\quoteoff
auch ich habe es gerechnet :-)
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Tareq
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-24
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@Werner
Könnten Sie bitte die Lösung hinzufügen?
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haribo
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| Beitrag No.13, eingetragen 2018-10-24
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wo müssten sich samir+amars treffen wenn sie möglichst lange reden wollen bevor haluk sie stören könnte?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]
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werner
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| Beitrag No.14, eingetragen 2018-10-24
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\quoteon(2018-10-24 15:01 - Tareq in Beitrag No. 10)
Ich habe das rechnerisch bestimmt, nach der Vorlesung werde ich euch es zeigen. Damit ihr das bewerten könnt.
\quoteoff
ich warte, dass du zuerst deine Drohung wahr machst :-)
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Tareq
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-24
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@Werner
ich habe es nachgerechnet und gezeichnet und dann merkte ich dass ich es falsch berechnet habe.
ich habe im Punkt A ein Kreis gezeichnet mit Radius=357,2 , dann habe ich die durchmesser 357,2*2 geteilt durch die summe der Geschwindigkeiten also 215+160+100 = 1,504 stunde und das soll die kurzerste Zeit in dem sie alle sich treffen können sein .
dann habe ich das Wert mit den Geschwindigkeiten multipliziert
1,504*215=323,36 KM
1,504*160=240,64 KM
1,504*100=150,4 KM
Wenn man diese strecken als radius nimmt und die kreise zeichnet dann hat man eine kleine Abweichung und ist fehlerhaft .
Ich hoffe dass Sie mir wirklich die Lösung zeigen, da ich recht viel Zeit drauf verloren habe.
Vielen Dank im Voraus.
Liebe Grüße, Tareq
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mire2
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Dabei seit: 29.08.2006
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| Beitrag No.16, eingetragen 2018-10-24
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\quoteon(2018-10-24 19:08 - Tareq in Beitrag No. 15)
@Werner
ich habe es nachgerechnet und gezeichnet und dann merkte ich dass ich es falsch berechnet habe.
ich habe im Punkt A ein Kreis gezeichnet mit Radius=357,2 , dann habe ich die durchmesser 357,2*2 geteilt durch die summe der Geschwindigkeiten also 215+160+100 = 1,504 stunde und das soll die kurzerste Zeit in dem sie alle sich treffen können sein .
\quoteoff
Hi Tareq,
kannst Du eine Begründung nennen, warum das so sein soll?
Gruß
mire2
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werner
Senior
Dabei seit: 23.10.2004
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| Beitrag No.17, eingetragen 2018-10-24
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die "beste" Zeit, die ich erhalte, beträgt
t\approx 1.36206
und dieser Wert liegt auch meinem Bilderl zu Grunde
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Tareq
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-25
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@Werner
das ist der Schlüssel! Wie bist du drauf gekommen? bzw. wo liegt mein Denkfehler?
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ochen
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Dabei seit: 09.03.2015
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Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.19, eingetragen 2018-10-25
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Seien $a$ und $b$ die Ortsvektoren von A und B. Weiter seien $v_a$ und $v_b$ die Geschwindigkeiten, mit denen sich die Personen von A bzw. B auf den Treffpunkt X zu bewegen. So gilt
\[
v_b^2\langle x-a, x-a\rangle
=v_a^2\langle x-b, x-b\rangle.
\]
Für $v_a=v_b$ ist die Gleichung affinlinear in $x$. In diesem Fall liefert sie eine Gleichung für die Mittelsenkrechte von AB.
Für $v_a\neq v_b$ erhält man eine Kreisgleichung. Was ist der Mittelpunkt des Kreises?
Ist es eine Aufgabe aus der Uni?
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DerEinfaeltige
Senior
Dabei seit: 11.02.2015
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 | Beitrag No.20, eingetragen 2018-10-25
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Mittels Wolfram Alpha:
\hideon
Koordinaten $S(0,0), A(357.2,0), H(178.6,178.6 \sqrt{3})$
Input:
(x^2 + y^2)^.5 = 215t;
((x-357.2)^2 + y^2)^.5 = 100t;
((x-178.6)^2 + (y-178.6*3^.5)^2)^.5 = 160t
Lösung:
$t\approx 1.37944, x\approx 275.087, y\approx 110.842$
\hideoff
t = 1h22'46''
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haribo
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Dabei seit: 25.10.2012
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| Beitrag No.21, eingetragen 2018-10-25
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\quoteon(2018-10-24 17:35 - haribo in Beitrag No. 13)
wo müssten sich samir+amars treffen wenn sie möglichst lange reden wollen bevor haluk sie stören könnte?
\quoteoff
\hideon
1,4240 stunden = 01:25:27 bekomme ich für diese ungestörte unterhaltung hin
interessanterweise scheint dieser treffpunkt ziemlich wenig mit dem genauen abflugort von haluk zu tun zu haben???
\hideoff
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viertel
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Dabei seit: 04.03.2003
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Wohnort: Hessen
 | Beitrag No.22, eingetragen 2018-10-25
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Es sei angemerkt, daß dieses Treffen nur funktioniert, wenn alle drei den optimalen Treffpunkt kennen und direkt darauf zu fliegen.
Was aber, wenn sie eine Verfolgerkurve fliegen: Amar fliegt immer in Richtung von Samirs Hubschrauber, Samir fliegt auf Haluk zu und Haluk in Richtung Amar? Oder anders herum?
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mire2
Senior
Dabei seit: 29.08.2006
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| Beitrag No.23, eingetragen 2018-10-25
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Hallo zusammen! :-)
Hmm, also ich und viertel hatten den Punkt konstruiert und waren dabei auf die Lösung aus Post #20 gekommen.
@haribo
Herzlichen Glückwunsch zum 6. MP-Geburtstag. :-)
Es ergibt doch rein "fahrtechnisch" wenig Sinn, dass zwei sich treffen und auf den Dritten warten.
Die "Wartezeit" würde doch effektiver genutzt, wenn sie statt zu warten, dem Dritten weiter entgegen kommen, um so dessen Fahrzeit und mithin die Anreisezeit insgesamt zu verkürzen, denn "Anreisezeit" = Wie lange dauert es, bis auch der Letzte da ist.
@werner
Ich habe mal mit Deinem angegebenen Wert geprüft (Kreise um die "Abflugpunkte" mit dem Radius 1,36206*Fluggeschwindigkeit), ob sich die Personen treffen und sie sind einander zwar nahe gekommen, treffen tun sie sich aber nicht.
Kann es sein, dass Du bei den gemachten Angaben evtl. etwas aus Versehen falsch übernommen hast?
Zur Konstruktion hatte ja ochen schon zuvor erläutert, dass die gesuchte Linie keine Gerade, sondern ein Kreis ist.
Von dem braucht man ja den Mittelpunkt und den Radius.
Wenn man eine mögliche Konstruktionsidee - kann ja gut sein, dass viertel eine elegantere Idee hat :-) - mal an einfacheren Zahlen erläutern will, dann kann man sich A und B auf der x-Achse im Abstand 12 vorgeben, wobei A im Ursprung und B in (12,0) liegen soll.
Sagen wir nun, um der schöneren Zahlen willen, dass B doppelt so schnell ist wie A. Die kürzestmögliche Zeit ist dann, wenn beide gleichzeitig aufeinander zurennen/fliegen ;-)
Dann treffen sie sich bei (4,0).
Rechnerisch teilt man die Strecke in (1+2) Teile ein und 1 Teil = 1/3 schafft A und 2/3 B (ist ja halt doppelt so schnell).
Diese Idee der Streckenaufteilung kann man nun an die gegebenen Gechwindigkeiten anpassen.
Der weitestmögliche Treffpunkt ist der, wenn A quasi vor B in entgegengesetzter Richtung wegläuft. Weil B schneller ist holt er dann A irgendwann ein.
Im gewählten einfachen Zahlenbeispiel bei (-12,0).
Auch das kann man auf die gegebene Situation übertragen und dann hat man einen Durchmesser und mithin den Kreis, auf dem alle Punkte liegen, die A und B gleichzeitig erreichen können.
In der Aufgabe sind dann zwei solcher Kreise zu konstruieren und der Schnittpunkt innerhalb des Dreiecks ist dann der schnellstmöglich zu erreichende Punkt.
Gruß
mire2
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.21 begonnen.]
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haribo
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| Beitrag No.24, eingetragen 2018-10-25
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\quoteon(2018-10-25 11:52 - mire2 in Beitrag No. 23)
@haribo
Herzlichen Glückwunsch zum 6. MP-Geburtstag. :-)
Es ergibt doch rein "fahrtechnisch" wenig Sinn, dass zwei sich treffen und auf den Dritten warten.
\quoteoff
danke der glückwünsche, war mir nicht bewust...
ach, wenn der dritte feindlich wäre und das treffen stören (sprengen) will, wäre die frage schon interessant,
auch ob die beiden langsamen sich treffen können bevor samir sie stört ist nicht uninteressant, gehts oder nicht?
die beiden schnellen können jedenfals dem langsamen wegfliegen, die könnten sich also auch an vielen orten treffen und in einen der schrauber umsteigen und dann beliebig lange reden und dabei den dritten hinter sich lassen...
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werner
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| Beitrag No.25, eingetragen 2018-10-25
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@mire2: steht ja auch dort ca. :-)
versuche es halt einmal mit t = 1.362059135264...
bei Bedarf kann ich noch jede Menge Nachkommastellen liefern als Lösung der quadratischen Gleichung, die besagt, dass sich die 3 Herren sicher dort treffen, wo... :-)
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mire2
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| Beitrag No.26, eingetragen 2018-10-25
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\quoteon(2018-10-25 12:25 - haribo in Beitrag No. 24)
ach, wenn der dritte feindlich wäre und das treffen stören (sprengen) will, wäre die frage schon interessant,
auch ob die beiden langsamen sich treffen können bevor samir sie stört ist nicht uninteressant, gehts oder nicht?
die beiden schnellen können jedenfals dem langsamen wegfliegen, die könnten sich also auch an vielen orten treffen und in einen der schrauber umsteigen und dann beliebig lange reden und dabei den dritten hinter sich lassen...
\quoteoff
@haribo:
Dass das schon arg in den spekulativen Raum geht, ist Dir aber schon klar.
Da freuen sich gewiss viele, die Matheaufgaben haben und die nach eigenem Gusto modifizieren. :-D
Rufen wir uns deshalb lieber nochmal die Fakten ins Gedächtnis, wo nicht von umsteigen, wegfliegen oder mutwilligem Stören die Rede ist, sondern dass sich drei Leute einfach nur schnellstmöglich treffen wollen.
\quoteon(2018-10-24 00:11 - Tareq im Themenstart)
In der Wüste leben die 3 Scheichs Amar, Samir, Haluk. sie wohnen alle jeweils 357,2 KM von einander entfernt und wollen sich so schnell wie möglich mal wieder treffen.
\quoteoff
\quoteon(2018-10-25 12:45 - werner in Beitrag No. 25)
@mire2: steht ja auch dort ca. :-)
versuche es halt einmal mit t = 1.362059135264...
bei Bedarf kann ich noch jede Menge Nachkommastellen liefern als Lösung der quadratischen Gleichung, die besagt, dass sich die 3 Herren sicher dort treffen, wo... :-)
\quoteoff
@werner
Ich bezweifele ja nicht, dass Deine Rechnung beliebig genaue Ergebnisse liefert, aber ich und andere haben halt sowohl durch Konstruktion (viertel und ich) als auch durch Rechnung (im Grunde genommen ochen und DerEinfaeltige) ein und dasselbe andere Ergebnis, das sich halt nicht mit Rundungsfehlern erklären lässt.
Und der gerundete angegebene Wert ist ja sogar etwas größer als der genaue und selbst bei dem treffen die sich bei meiner Konstruktion nicht.
Dann stellt sich ja schon die Frage, ob Fehler gemacht wurden.
Es ist ja nicht ausgeschlossen, dass wir uns alle irren, aber ich bin da doch recht zuversichtlich, dass wir rausfinden, wie denn die richtige Lösung lautet.
Magst Du vielleicht Deine Rechnung, auch gerne versteckt, zeigen?
Gruß
mire2
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MontyPythagoras
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 | Beitrag No.27, eingetragen 2018-10-25
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Hallo zusammen,
ich habe t=1,37944 Stunden, was mit viertels und mire2s Lösung übereinstimmt. Ich habe es nicht gezeichnet, sondern berechnet. Die Formel halte ich aufgrund der Symmetrie für sehr glaubwürdig:
\hideon
$$t=\frac{\sqrt{2}\;a}{\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2+\sqrt{3\left(v_1^2+v_2^2+v_3^2\right)^2-6\left(v_1^4+v_2^4+v_3^4\right)}}}$$mit a=357,2km
\hideoff
Ich denke daher, der Wert von werner ist nicht richtig.
Ciao,
Thomas
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Tareq
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-25
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Hallo Zusammen ..
Danke echt an euch alle und sorry für den großen Aufwand ..
Das ist eine Aufgabe aus der Uni, ich habe noch eine kleine Frage, zwar wie in Post no#20 kann ich die Kreisgleichungen einfach stellen , und das mittels Wolfram lösen lassen ... aber das ist leider nicht immer verfügbar bzw. erlaubt . Wie konnte man das denn lösen ohne Wolfram oder ähnliches? Z.B. MontyPythagoras hat eine Gleichung aufgestellt, ich würde gerne wissen, wie sich diese Gleichung zusammensetzt .
Viele Grüße, Tareq
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MontyPythagoras
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| Beitrag No.29, eingetragen 2018-10-25
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Hallo Tareq,
ich skizziere mal den Lösungsweg, die Zwischenschritte schaffst Du dann vielleicht selbst.
Angefangen bin ich so, wie DerEinfältige schon dargestellt hat in seinem Beitrag #20. $a$ sei die Entfernung der Leute untereinander, $v_{1..3}$ die Geschwindigkeiten. Die Startpunkte sind dann $(0,0)$, $(a,0)$ und $(\frac12a,\frac{\sqrt3}2a)$. Dann haben wir drei Bedingungen für drei Unbekannte (x, y, t):
$$(1)\qquad x^2+y^2=v_1^2t^2$$$$(2)\qquad (x-a)^2+y^2=v_2^2t^2$$$$(3)\qquad (x-\tfrac12a)^2+(y-\tfrac{\sqrt3}2a)^2=v_3^2t^2$$Ziehst Du Gleichung (1) von (2) ab, erhältst Du:
$$a^2-2ax=(v_2^2-v_1^2)t^2$$$$(4)\qquad x=\frac{a^2-(v_2^2-v_1^2)t^2}{2a}$$In ähnlicherweise Weise mit ein bisschen Getrickse erhältst Du auch:
$$(5)\qquad y=\frac{a^2-(2v_3^2-v_1^2-v_2^2)t^2}{2\sqrt{3}\;a}$$Gleichungen (4) und (5) setzt Du nun in (1) ein:
$$(6)\qquad \left(\frac{a^2-(v_2^2-v_1^2)t^2}{2a}\right)^2+\left(\frac{a^2-(2v_3^2-v_1^2-v_2^2)t^2}{2\sqrt{3}\;a}\right)^2=v_1^2t^2$$Von hier an ist es nur noch ein Haufen Umformungen, Ausmultiplizieren und so weiter. Letztlich kommt folgende, erstaunlich einfache Gleichung raus:
$$(7)\qquad (v_1^4+v_2^4+v_3^4-v_1^2v_2^2-v_1^2v_3^2-v_2^2v_3^2)t^4-a^2(v_1^2+v_2^2+v_3^2)t^2+a^4=0$$Das ist im Grunde eine quadratische Gleichung für $t^2$, deren Lösung dann in meinem Beitrag #27 steht.
Ciao,
Thomas
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werner
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| Beitrag No.30, eingetragen 2018-10-25
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ich muß mich entschuldigen, ich hatte einen Zahlendreher, statt 357,2 hatte ich 352,7 womit auch bei mir nun
t ca 1.3794... folgt :-|
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
mire2
Senior
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| Beitrag No.31, eingetragen 2018-10-25
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\quoteon(2018-10-25 11:52 - mire2 in Beitrag No. 23)
@werner
Kann es sein, dass Du bei den gemachten Angaben evtl. etwas aus Versehen falsch übernommen hast?
\quoteoff
Und die Antwort lautet offenbar "Ja." :-P
Gruß
mire2
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haribo
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| Beitrag No.32, eingetragen 2018-10-26
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\quoteon(2018-10-25 13:15 - mire2 in Beitrag No. 26)
@haribo:
Dass das schon arg in den spekulativen Raum geht, ist Dir aber schon klar.
\quoteoff
ich halte das durchaus nicht für spekulativ aus dem raum gegriffen, sondern nur für nen anderen gemetrischen ort im exakt gleichen diagramm...
die beiden trippel-gleichen orte sind eingezeichnet und mein versuch der verspätungsbetrachtung(blaue längen)vom roten, wenn schwarz+gelb sich an verschiedenen orten ihres gemeinsamen kreises (gelb) treffen würden...
offenbar müsste schwarz den gelben kreis tangential an der von rot abgewandten seite anfliegen, und gelb genau rechtwinklig zur richtung nach schwarz starten, damit rot am gemeinsamen treffpunkt maximal weit entfernt sei
ich liebe ja diese geometrischen diagramme, die so genau sind dass man ansich erstmal gar nix mehr erkennt...
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_samirs1.png
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