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Universität/Hochschule J Sind es Gruppen?
Casima
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-10-31


Betrachten Sie die Mengen A = {2 n : n ∈ Z},
B = {2 n + 1 : n ∈ Z}, C = {a^n: n ∈ Z}, a ∈ R \ {0},

(a) Untersuchen Sie, ob die Mengen A bis D eine Gruppe bzgl. Addition   bilden.
(b) Untersuchen Sie, ob die Mengen A bis D eine Gruppe bzgl. Multiplikation bilden.

Wie kann ich das "n" in der Menge verstehen?
Ich kenne die 5 Eigenschaften einer (Abelsche)-Gruppe.
Es mag lustig wirken, aber ich weiß nicht wie ich das "n" verwenden soll.

Nehme ich 2 Elemente aus der Menge A um die algebraische abgeschlossenheit zu zeigen:
Muß dann das Ergebnis in Z liegen, weil n so angegeben wurde?
Menge A mit der Verküpfung + wobei n ein Element aus den ganzen Zahlen ist.  Also z.B.: a+b
Nehme ich dann 2n+b ?  oder bin ich falsch und sehe hier vielleicht eine Gruppe als Multiplikation und überprüfe (G,*)
Oder ist nur 2n die Menge und ich darf nicht so arbeiten.

Also ich kann ja auch 2*1+3=6 dann liegt "n" und das Ergebnis in den Ganzen Zahlen und wäre somit Magma, also A eine Abgeschlossene Abbildung.
Dann noch die anderen Eigenschaften überprüfen.
Oder könnt ihr mir einen Tipp gegen wo ich nachschlagen kann wie es wirklich geht?

Danke





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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-10-31


Hallo Casima,
n ist hier einfach eine gebundene Variable, mit der man die Elemente der Menge angibt. Im ersten Fall besteht die Menge einfach aus allen geraden ganzen Zahlen, da jedes Element von der Form \(2n\) ist mit einer ganzen Zahl n. Was ist dann die zweite Menge?

Ich hoffe, das beantwortet deine Frage.

lg WLadimir



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Casima
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-31


Also jedes Element was ich rausnehmen kann ist 2n,
das heißt ich kann z.B  diese Elemente rausnehmen:
2*1=2 ein Element aus A und weiter 2*2=4, usw. A={2,4,6,8,..,2n}
Und wenn ich die Gruppen Eigenschaften überprüfe, muß das Ergebnis oder der eingesetze Term aus diesen Zahlen bestehen?
Danke



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-10-31


Du musst beachten, dass $n\in\mathbb{Z}=\{0,\pm 1, \pm 2, \pm 3,\dotso\}$

Die Menge $A$ enthält alle geraden Zahlen.
Die Menge $B$ alle ungeraden Zahlen.



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Casima
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-31


Danke für die schnelle Antworten



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-10-31


Wenn du (A, +) zum Beispiel darauf prüfst, ob die Menge bezüglich Addition abgeschlossen ist, dann wählst du $x,y\in A$ und musst nun zeigen, dass auch $x+y\in A$ liegt.

Sei also $x,y\in A$. Weil $A=\{2n|n\in\mathbb{Z}\}$ wissen wir, dass es $k,l\in\mathbb{Z}$ gibt so, dass $x=2k$ und $y=2l$ gilt.
Denn die Elemente aus $A$ haben ja genau diese Form.

Nun musst du zeigen, dass $x+y\in A$ liegt. Also auch von der Form $2n$ ist.



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Casima
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-31


Ähm, ich habe mal A-C untersucht und vielleicht könnt Ihr nochmal drüber schaun...Danke

folgendes festgestellt:

A = {2 n : n ∈ Z}, die Elemente aus A bestehen aus geraden Zahlen
A={...,-8,-6,-4,-2,0,+2,+4,+6,...}

Die Menge A bildet eine Abelsche Gruppe bzgl. der Addition,
alle Eigenschaften sind erfüllt.
1. Algebraisch abgeschlossen:  0-2=-2, also schonmal Magma.
2. Assoziativ, (a+b)+c=a+(b+c) :   (2+4)+6=2+(4+6)
                                        12=12
3. Neutrales Element, a+n=n+a=a :  2+0=2
   Da die 0 in Z enthalten ist, gibt es ein neutrales Element.
4. Inverses Element, a+a´=a´+a=n  :  2+(-2)=0
5. Kommutativ, a+b=b+a :  2+4=4+2
                            6=6
Die Menge A bildet keine Gruppe bzgl. der Multiplikation,
die Menge ist Monoid, d. h. die ersten drei Eigenschaften sind erfüllt.
Aber es gibt kein Inverses Element, da
4. 2*(-2)=0 nicht funktioniert, der Tern a´,wäre nicht in der Menge A.


B = {2 n + 1 : n ∈ Z}, die Elemente aus A bestehen aus ungeraden Zahlen
B={...,-7,-5,-3,-1,+1,+3,...}

Die Menge B bildet keine Gruppe.
Bei der Addition scheitert es schon an der ersten Eigenschaft.
1. Algebraisch abgeschlossen :  1+3=4, die 4 ist nicht i. d. Menge B
Bei der Multiplikation reicht es für drei Eigenschaften und ist somit ein Monoid. es gibt kein Inverses Element: 1+(-1)=1 klappt,
aber -3*(a´)=1 geht nicht, da dann a´nicht i. d. Menge B entahlten wäre.

C = {a^n: n ∈ Z}, a ∈ R \ {0}      
Muß gleich arbeiten, also kurz:
Die Menge C ist eine Gruppe bzgl.  der Multiplikation
aber nicht in mit der Verknüfung Addition, weil a nicht die 0 enthält.

?

Mit besten Grüßen    

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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Casima
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-31


Aah das letzte C ignorieren das stimmt nicht. Muß nochmal schaun



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wladimir_1989
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-10-31


Hallo
deine Rechnungen sehen ein wenig seltsam aus.
1. Du scheinst, deine Aussagen anhand von Beispielen zu zeigen. Das geht natürlich nicht. Du musst die Eigenschaften der ganzen Zahlen verwenden, um die Aussagen allgemein zu zeigen.
2. Was ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation in \(\mathbb{Z}\)? Was ist das inverse Element in \(\mathbb{Z}\) bezüglich Multiplikation?


lg Wladimir



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Casima
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-10-31


Auf geht´s...,n}



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Casima
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-01


Servus,
wenn ich mir nochmal die Antworten von Prinzessin Einhorn und Wladimir ansehe, verstehe ich das meine Beschreibung falsch ist.

Nun versuche ich es nochmal:

Sei A eine Menge, mit dem Additiven Verknüpfungdgebilde und die Elemente x,y liegen in d. Menge, (A,+).
Wir wählen x,y fed-Code einblenden
Kann man das so schreiben?
fed-Code einblenden
A={x,y:sind gerade ganze Zahlen} oder A={x,y:x,y\el\\IZ}
fed-Code einblenden
Sei x,y\el\A mit A={2n:n\el\\IZ}, wissen wir, dass es k,l\el\\IZ gibt,
s.d. x=2k und y=2l gilt. (jetzt das ganze einsetzen oder?)
x+y=z fed-Code einblenden
Für alle x,y aus A mit einem z aus A.

Und das Inverse:
Wir behaupten das A eine Gruppe mit der Additiven Verknüpfung.
(Jetzt sieht das eigentlich so aus, glaub ich)
(A,+), x\el\A, y und y´Inverse von x fed-Code einblenden
Mein Neutralelement bei der Addition ist die 0.
(Formal sieht das vielleicht so aus:)
In (A,\circ\ ) gibt es zu jedem Element ein Inverses
\forall\ y:A. \exists\ y´:A. y+y´=y´+y=n, n=neutrales Element.

(Das neutrale Element) x+y= 0 =x+y´ (das Inverse)
(einsetzen) <=> y+(x+y)=y+0= y+(x+y´)
(Assoziativ) <=>(y+x)+y = y =(y+x)+y´
(jetzt setht in Klammern x+y=0 ist, und kann das rausnehmen)
<=> y=y´
SO,hoffe das stimmt irgendwie, ABER wir haben ja die Form A={2n:n\el\\IZ}
Kann\Muss ich nun x=2k und y=2l einsetzen?
fed-Code einblenden

Oje, dann noch das Neutrale Element ist eindeutig in (A,+)
Wir nehmen zwei Elemente und zeigen, dass "sie" gleich sind.
In A gibt es bzgl. der Addition ein Neutrales Element.

\exists\ n:A.  \forall\ x:A.  
Sei n das neutrale Element in A, d.h.  x+n=n+x=x, \forall\ n\el\ A.
Seien n, n´\el\ A neutrales Element, d.h.
  \forall\ n\el\ A. x=x+n =n+x
          x=x+n´=n+x
n=>n+n´=>n´.

Keine Ahnung ob das richtig ist, würde jetzt auch wieder einsetzten
und eben hab ich mir esrt überlegt das N als Neutral Element lieber anders bestzt werden sollte z.B "e", dann kommt man mit 2n nicht durcheinander.

Wäre toll wenn Ihr etwas Zeit opfert und nochmal drüber schaut und mir Tipps gebt.

Übrigens denke ich,
 dass das neutrale Element bzgl. der Multiplikation in \IZ=1 ist.
Und das inverse Element bzgl. der Multiplikation in \IZ variabel ist,
ich meine es gibt viele Inverse den zu jedem rausgesuchten Element gibt es eins.

Muß jetzt mal mit meiner Tochter raus, sie dreht schon am RAD.
Grüße und Danke









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Casima
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-01


ok das klappt noch nicht so:

fed-Code einblenden




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PrinzessinEinhorn
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2018-11-01 15:59 - Casima in Beitrag No. 10 schreibt:

Sei A eine Menge, mit dem Additiven Verknüpfungdgebilde und die Elemente x,y liegen in d. Menge, (A,+).
Wir wählen x,y fed-Code einblenden

Die Abgeschlossenheit möchtest du ja beweisen.


Kann man das so schreiben?
fed-Code einblenden

Nein.
Denn $A\times A$ ist ja eine Menge von Paaren. Die Elemente haben also die Form $(a, a')\in A\times A$.

Daher wäre zu schreiben: $+:A\times A\to A, (a,a')\mapsto a+a'$


Sei x,y\el\A mit A={2n:n\el\\IZ}, wissen wir, dass es k,l\el\\IZ gibt,
s.d. x=2k und y=2l gilt. (jetzt das ganze einsetzen oder?)
x+y=z   fed-Code einblenden
Für alle x,y aus A mit einem z aus A.

Wie sieht das $z\in A$ denn aus? Du musst $z$ ja als Element aus $A$ darstellen können. Daher als vielfaches von 2. Warum gibt es so eine Darstellung für $z$?

Zum Rest schreibe ich vielleicht später etwas.



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Casima
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-01


LOL   Katastrophe! Da kann man ja gar nix lesen.
Auf ein neues...



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PrinzessinEinhorn
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Du musst entweder diesen fed-Editor benutzen, oder deine Codes in $-Zeichen setzen.



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Casima
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Das z, sollte das Ergebnis zeigen.
Und es muß auch klar definiert werden.
Also, würde vielleicht z=2m besser erklären, dass das Ergebnis auch in der Menge A liegen muss um die Bedingung, der Abgeschlossenheit erfüllen zu können.



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PrinzessinEinhorn
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Du schreibst nun $z=2k+2l=2m$. Aber wie genau sieht $m$ aus?
Das kann man ganz konkret hinschreiben, ohne einen neuen Buchstaben einzuführen.



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Casima
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fed-Code einblenden

fed-Code einblenden



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Casima
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Servus,

hab noch herrausgefunden, das man anstatt für alle,
in den Beweisen "sei x beliebig" schreibt.

Es war einmal eine liebe Nachricht,
darin wird die Definition der Menge Z wichtig.
Da A eine Teilmenge von ganzen Zahlen ist und da die Multiplikation u. Addition...
Da waren es nur noch 3 Eigenschaften.

Merci





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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2018-11-04


Hallo Casima,

tut mir leid, dass ich bisher nicht weiter auf deine ausbleibenden Fragen eingegangen bin.

Das hat zum einen den Grund, dass deine Beiträge aufgrund fehlender Formeln (also korrekter Darstellung mittels $-Zeichen) mühselig zu lesen sind.

Außerdem sind deine Beiträge immer recht lang.
Das ist grundsätlich natürlich sehr lobenswert, macht es Helfern aber in der Regel schwer darauf zu antworten, weil es dann oft viele Baustellen gleichzeitig gibt.

Vielleicht magst du uns mal eben mitteilen, was so bisher der Zwischenstand ist.
Also vielleicht eine kurze Zusammenfassung von dem was du bisher geschafft hast, oder wozu noch konkrete Fragen hast.

Dann kann man dir denke ich auch besser helfen. :)



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Casima
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Alles super,

hab viel gelernt, es gibt viel zu beachten
und es war bestimmt nicht die letzte Frage.
Da ich allein vor den Hausaugaben sitze,
bin ich froh über die Hinweise auch wenn ich nicht immer gleich drauf eingehen kann, oder versteh. LOL
Ich will nun öfter hier nerven ;-)

Liebe Grüße



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Casima hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Casima hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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