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Mathematik » Kombinatorik & Graphentheorie » Ziehen mit und ohne Zurücklegen kombinieren
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Universität/Hochschule Ziehen mit und ohne Zurücklegen kombinieren
alex4naoki
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-03


Hallo zusammen,

folgendes Problem:

Der Klassenlehrer einer Schulklasse mit 25 Schülern lost 15 Wochen lang jede Woche einen Schüler für den Tafeldienst aus.

(a) Modellieren Sie das Szenario durch ein geeignetes Laplace-Experiment. Bestimmen Sie hierzu die Ergebnismenge \(\Omega\) und ihre Mächtigkeit \(|\Omega|\).

(b) Stellen Sie das Ereignis

fed-Code einblenden
in Mengenschreibweise als Teilmenge von \(\Omega\) dar.

(c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für \(A\).



Zu (a): Ich hätte als Lösung hier
\[
 \Omega = \lbrace (a_1, \ldots, a_{15} ) \in \lbrace 1, \ldots , 25 \rbrace^{15} \mid a_1 \leq \ldots \leq a_{15} \rbrace
\] und
\[
 |\Omega| = \binom{25+15-1}{15} = 25 140 840 660
\] also Ziehen ohne Reihenfolge und mit Zurücklegen.

Zu (b): Hier habe ich
\[
 A = \lbrace (a_1, \ldots, a_{15}) \in \lbrace 1, \ldots , 25 \rbrace^{15} \mid \exists a_i \exists a_j : (a_i = a_j \land i, j \in \lbrace 1, \ldots , 8 \rbrace ) \rbrace
\]
Zu (c): Hier komme ich nicht weiter. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, möchte ich die Mächtigkeit von \(A\) bestimmen, diese ergibt sich hier aus \(|A| = |\Omega| - |A^\mathsf{c}|\). Grundsätzlich war meine Idee, dass ich alle Kombinationsmöglichkeiten nehme und diejenigen davon subtrahiere, die das Kriterium \(A\) nicht erfüllen. Das bedeutet also ich möchte von \(|\Omega|\) alle Möglichkeiten abziehen, wo die ersten 8 Schüler ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen gezogen werden und wo die restlichen 7 Schüler ohne Reihenfolge aber mit Zurücklegen gezogen werden.

Wie kann ich das am besten irgendwie zusammenbasteln? Oder ist mein Ansatz hier total falsch?


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"Natürlich findet das in deinem Kopf statt, aber warum in aller Welt sollte das heißen, dass es nicht real ist?"



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-03


Hallo alex4naoki,

zu a)
Das Ereignis \((a_1,...,a_{15})\) soll doch bestimmt bedeuten, dass der Schüler mit der Nummer \(a_i\) in der i-ten Woche Tafeldienst hat. Was soll dann die Bedingung \(a_1\leq ...\leq a_{15}\)?

zu b)
Hier musst du über i und j quantifizieren und nicht über \(a_i,a_j\). Klar wieso? Außerdem müssen i und j verschieden sein.

zu c)
Am ersten Tag kann noch jeder Schüler drankommen: 25 Möglichkeiten
Am zweiten Tag können nur noch 24 Schüler drankommen.
...
Am achten Tag können nur noch 16 Schüler drankommen.
Ab dem neuneten Tag können wieder alle 25 Schüler drankommen.

Berechne so \(|A^C|\).





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alex4naoki
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-03


Hallo StrgAltEntf,

zu a)
Die Menge stellt die Möglichkeiten des Ziehens ohne Reihenfolge und mit Zurücklegen dar. Wir hatten in der Vorlesung, dass dabei \(a_1 \leq \ldots \leq a_{15}\) gelten muss. Ich bin mir aber nicht ganz sicher, wieso diese Bedingung genau diesen Sachverhalt ausdrücken soll.

zu b)
Ich verstehe deine Aussage nicht ganz. Meine Menge umfasst doch eigentlich alle Kombinationen, wo unter den ersten 8 gewählten Schülern mindestens zwei mal der gleiche ausgewählt wird. Dass \(i\) und \(j\) verschieden sein müssen stimmt allerdings. Darauf hatte ich nicht geachtet.

zu c)
Wenn ich das richtig verstehe müsste dann doch
\[
|A^\mathsf{c}| = \frac{25!}{17!} \cdot 25^7
\]
gelten, was aber nicht sein kann, denn dann wäre ja \(|A^\mathsf{c}| > |\Omega|\).


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"Natürlich findet das in deinem Kopf statt, aber warum in aller Welt sollte das heißen, dass es nicht real ist?"



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-03


a) Dann stelle ich noch einmal die Frage: Wofür steht bei dir das Ereignis \((a_1,...,a_{25})\)? Beachte auch, dass bei einem Laplace-Experiment alle Ereignisse gleichwahrscheinlich sein müssen.

c) Das Ergebnis kann schon sein, und ist wohl auch so. Dein \(\Omega\) aus a stimmt ja m. E. nicht.

b) Deine Menge ergibt wirklich keinen Sinn. Es muss heißen:
\[
 A = \lbrace (a_1, \ldots, a_{15}) \in \lbrace 1, \ldots , 25 \rbrace^{15} \mid \exists i \exists j : i, j \in \lbrace 1, \ldots , 8 \rbrace \land i\neq j\land a_i = a_j ) \rbrace
\]



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