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Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » * Lehrer erkennt Messfehler ohne selbst zu messen
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Schule * Lehrer erkennt Messfehler ohne selbst zu messen
Caban
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 64
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-04 21:48


Hallo

Ein Lehrer stellt in einer Geometriearbeit folgende Aufgabe:

Zeichnet ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck und messt den Winkel, der von der Hypotenuse und der Seitenhalbierenden einer der Katheten eingeschlossen wird!

Ein Schüler schreibt, der Winkel beträgt 25°. Der Lehrer schreibt sofort    f (falsch) hin. Woher kann das der Lehrer wissen, ohne selbst zu messen?

Lösungen können direkt gepostet werden, aber mit hide.

Gruß Caban!



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Dies ist eine Knobelaufgabe!
Der Themensteller hat bestimmt, dass Du Lösungen oder Beiträge zur Lösung direkt im Forum posten darfst.
Bei dieser Aufgabe kann ein öffentlicher Austausch über Lösungen, Lösungswege und Ansätze erfolgen. Hier musst Du keine private Nachricht schreiben!
MartinN
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 973
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-04 23:16

\(\begingroup\)

Das Dreieck sei ABC mit rechten Winkel bei C und Mittelpunkt D der Seite a = BC. Dann sei:
- der Winkel zwischen AB und AC = \(w > 25°\)
- der Winkel zwischen AD und AB = \(v = 25°\)
- das Verhältnis der Katheten \(r = BC/AC = a/b > 0\)

Dann gilt:
\(\tan (w) = BC/AC = r\\
\tan (w-v) = DC/AC = (BC/2)/AB = r/2\)

Außerdem:
\(\tan (w-v) = \frac{\tan(w) - \tan(v)}{1+\tan(w)\tan(v)} = \frac{r - \tan(v)}{1+r\tan(v)}\\
\to r/2 = \frac{r - \tan(v)}{1+r\tan(v)}\\
\to r + r^2\tan(v) = 2r - 2\tan(v)\\
\to r^2 - \frac{r}{\tan(v)} + 2 = 0\\
\to r = \frac{1}{2\tan(v)} \pm \sqrt{\frac{1}{4\tan^2(v)} - 2}\)

Es müsse also gelten:
\(\frac{1}{4\tan^2(v)} - 2 \geq 0\\
1 \geq 8\tan^2(v)\\
|\tan(v)| \leq \sqrt{\frac{1}{8}}\)

Somit:
\(0 < v \leq 19.47122...°\)

Der gemessene Winkel von 25° war somit deutlich zu groß.


\(\endgroup\)


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Wauzi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11228
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-11-05 00:13



Ich bin anders vorgegangen und komme seltsamerweise auf einen kleineren Grenzwinkel. Zieht man vom Seitenmittelpunkt das Lot auf die Hypotenuse, ist die halb so groß wie die Höhe. Auch der zugehörige Achsenabschnitt wird halbiert.
Mit Höhensatz und den üblichen Bezeichnungen ist dann
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Gruß Wauzi



-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



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JoeM
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 460
Aus: Oberpfalz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-05 01:53


Hallo,


Ich komme auf das gleiche Ergebnis, wie MartinN.

---> max. Winkel W = 19,471 °.

Bei Symmetrie sind beide Winkel gleich .....

W = 45 - arctan(0,5) = 18,435 °.

viele Grüße

JoeM



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viertel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 26569
Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-11-05 01:54

\(\begingroup\)
Ich stimme MartinN zu:

$\alpha=\frac{\pi}{2}-2 \cdot \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 19.47122063^\circ$



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


-----------------
Bild
\(\endgroup\)


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DerEinfaeltige
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 1871
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-11-05 09:49

\(\begingroup\)
@Wauzi: Dir scheint beim Ableiten ein klitzekleiner Fehler unterlaufen zu sein.

Für $p_\max$ müsstest du $\frac{2}{3}$ erhalten.

Damit ergibt sich dann auch der Wert der anderen Nutzer.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -
\(\endgroup\)


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Caban
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Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 64
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-05 10:57


Hallo

Martin, schöne Lösung wie immer.

Wauzi, deine Idee ist schon so richtig, aber bei der Rechnung muss ein Fehler passiert sein, wie bereits der Einfältige festgestellt hat.

Gruß Caban

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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viertel
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Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 26569
Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-11-05 11:47


Meine Rechnung:



(Die rote Kurve ist der Zahlenwert des Winkels beim Verschieben von A.)

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MartinN
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 973
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-11-05 12:28


Was ist denn davon der Grenzwert für x gegen unendlich @Viertel
Interessiert mich gerade :D

Edit... Ach nee, müsste 0 sein.



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viertel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 26569
Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-11-05 12:50


Die Geraden AB und AC werden für <math>x \rightarrow\infty</math> parallel, der Winkel also 0°.



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Wauzi
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Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11228
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-11-05 21:47


2018-11-05 10:57 - Caban in Beitrag No. 6 schreibt:
Wauzi, deine Idee ist schon so richtig, aber bei der Rechnung muss ein Fehler passiert
Stimmt, beim Nachrechnen war dann plötzlich die komische quadratische Gleichung weg.



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JoeM
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Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 460
Aus: Oberpfalz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-11-05 23:44


Hallo,

ich bin im Prinzip genauso vorgegangen, wie viertel, und erhalte dann:


viele Grüße

JoeM



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Hans-Juergen
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Dabei seit: 31.03.2003
Mitteilungen: 1299
Aus: Henstedt-Ulzburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-11-06 01:26



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Caban
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 64
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-06 13:36


Hallo

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Bozzo
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Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2078
Aus: Franken
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-11-08 23:09


Hallo

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Gruß
Bozzo



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Bozzo
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2078
Aus: Franken
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-11-08 23:36


Hallo

Hier noch eine weitere Lösung über den Peripheriewinkelsatz.  Betrachte den Umkreis um das Dreieck ABC in Viertels Zeichnung.  Der Mittelpunkt M des Kreises muss auf der Mittelsenkrechten von BC liegen.  Nach dem Peripheriewinkelsatz ist der Winkel bei A im Dreieck ABC die Hälfte des Winkels bei M im Dreieck MBC und dieser ist maximal, wenn M soweit links wie möglich liegt.  M muss aber weit genug rechts liegen, um die x-Achse im Schnittpunkt A schneiden zu können.  Das optimale Dreieck ABC liegt also genau dort, wo sein Umkreis die x-Achse gerade berührt.

Setze dazu (nicht ganz) willkürlich OB = 4 und OC = 2 und lasse D den Mittelpunkt zwischen B und C mit OD = 3 und BD = CD = 1 sein.  Wenn der Umkreis die x-Achse berühren soll, muss sein Radius gerade 3 sein (Abstand OD der Horizontalen durch D von der x-Achse).  Über das rechtwinklige Dreieck BDM ist also nun bekannt, dass BD = 1 und BM = 3 ist und es den gesuchten maximalen Winkel α bei M hat.  Für diesen gilt nun daher sin α = 1/3.

Gruß
Bozzo



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Caban
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-09 10:44


Hallo

Bozzo, danke für deinen schönen elementaren Lösungsweg!

gruß Caban



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