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Universität/Hochschule J Untergruppen mit Kartesischem Produkt
Babohabo111
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-06


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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-06


Moin, viel hast du noch nicht herausgefunden.

Einleuchtend ist doch Folgendes:

Sind \(H_i \le G_i, \: i=1,2\), dann ist \(H_1 \times H_2 \le G_1 \times G_2\)

Suche also zunächst alle Untergruppen der einzelnen Gruppen.

So bekommst du aber i.a. nicht alle Untergruppen des Produkts.



[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Gruppen' von helmetzer]



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-11-06


Hallo,

könntest du deine Schreibweise $\langle G, \oplus\rangle$. Erklären.
Oder schreibst du die eckigen Klammern für üblichere runde Klammern $(G,\oplus)$?

$\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_5=\{(z, z')|z\in \mathbb{Z}_4\wedge z'\in \mathbb{Z}_5\}$

Insbesondere hat diese Menge 20 Elemente.
Die Elemente sehen so aus:

(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (0,4)

(1, 0) ...

(2, 0) ...

(3, 0), (3, 1), (3,2), (3,3), (3,4)

So wie du es hinschreibst, hast du einen Dreher, oder Fehler drin.

Wenn du Gruppen $G, G'$ hast, dann sind für $G\times G'$ alle $H\times H'$ Untergruppen, wobei $H\subseteq G$ Untergruppe und $H'\subseteq G'$ Untegruppe.

Das könntest du beweisen.

[Edit: Nach dem Beitrag von helmetzer reicht das aber noch nicht um alle Untergruppen zu kennen.]

Auf dem Produkt hast du jeweils die Verknüpfung der jeweiligen Gruppe im entsprechenden Beitrag.

Das heißt bei $\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_5$ wird im ersten Eintrag modulo 4 und im zweiten Beitrag modulo 5 gerechnet. Ansonsten funktioniert Addition komponentenweise.

Beispiel: $(1,2)+(3,4)=(1+3,2+4)=(4,6)=(0,1)$

Denn im ersten Beitrag wird modulo 4 gerechnet und $4\equiv 0\mod 4$. Denn $4=1\cdot 4+\color{red}{0}$

Im zweiten Beitrag wird modulo 5 gerechnet und $6\equiv 1\mod 5$.
Denn $6=1\cdot 5+\color{red}{1}$.


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Babohabo111
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-06


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-11-06


Ja, doch.

Du könntest auch nachrechnen, dass dies eine Untergruppe ist.

Dazu muss die Menge abgeschlossen sein bezüglich der (komponentenweisen) Verknüpfung und es muss jedes Element invertierbar sein.

(0,0) ist das neutral Element. Das hat offensichtlich all diese Eigenschaften.

Was ist mit (2,0)?
Es gilt (2,0)+(2,0)=(4, 0)=(0,0)

Also in der Menge enthalten und insbesondere ist (2,0) sein eigenes Inverses.
Also haben wir tatsächlich eine Untergruppe.



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Babohabo111
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-06


Ach stimmt, hab im Kopf was vertauscht.

Danke für die Hilfe, melde mich falls ich noch weitere benötige



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