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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Äquivalenzklassen bestimmen
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Universität/Hochschule Äquivalenzklassen bestimmen
Mere123
Neu Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.11.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-08 23:32


Hallo,

Ich versuche schon seit geraumer Zeit das Thema Äquivalenzklassen zu verstehen, schaff es aber trotz zig Internetseiten, Videos, Beispiele anschauen nicht. Bei einfachen Äquivalenzrelationen verstehe ich ja noch, wie man drauf kommen. Wir machen gerade jedoch Äquivalenzrelationen aus zwei Tupeln also:
(x1,y1) ~ (x2,y2) :<-> (Es existiert ein a > 0: (x2,y2)=(ax1,ay1)

Alles auf der Menge R^2.
Das das eine Äquivalenzrelationen ist konnte ich noch zeigen, jetzt sollen wir jedoch die Äquivalenzklassen [(x, y)] geometrisch darstellen und ich hab keine Ahnung wie das geht. Über Tipps wär ich dankbar.

Lg Mere



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 1685
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-08 23:50

\(\begingroup\)
Hallo,


(x1,y1) ~ (x2,y2) :<-> (Es existiert ein a > 0: (x2,y2)=(ax1,ay1)

Nimm mal den Punkt $(1,1)\in\mathbb{R}^2$.
Welche Punkte sind zu $(1,1)$ äquivalent?

Schreibe mal ein paar auf.
Trage diese Punkte in ein Koordinatensystem ein.
Was fällt auf?

Danach kannst du es mit einem anderem Punkt probieren und Punkte hinschreiben die dazu äquivalent sind.
\(\endgroup\)


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Mere123
Neu Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.11.2018
Mitteilungen: 2
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-09 07:44


Dann müsste doch eine Ursprungsgerade mit der Steigung 1 rauskommen oder? Mein Problem ist momentan, dass ich nicht weiß wie ich mit solchen Tupeln umgehen kann. Muss ich immer die gleichen Zahlenwerte ins erste Tupel eintragen? Ansonsten ist die Relation doch nicht darstellbar da man 2 Tupel à 4 Zahlen und nur zwei Koordinatenachsen hat. Die x-Koordinaten-Achse entspricht dann dem ersten Tupel oder? Ich bin verwirrt :/ Ich hoff dass nicht alles falsch is, was ich gerade schreibe. enn ich jetzt für x1,y1 eins einsetze, dann können für das erste Tupel doch alle möglichen Werte x1=y1 rauskommen, da das erste Tupel doch ist (a*x1,b*y1). Im zweiten Tupel müssen doch folglich die gleichen Zahlenpaare stehen, also auch a*1,b*1 oder? Entschuldige mich, wenn ich vieles überhaupt nicht verstehe.



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 1685
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-09 08:24

\(\begingroup\)

Dann müsste doch eine Ursprungsgerade mit der Steigung 1 rauskommen oder?

Nicht ganz, aber fast.

Wir wollen ja die Äquivalenzklasse von dem Punkt (1,1) geometrisch darstellen.
Wenn dies die gesamte Ursprungsgerade nimmt, dann trifft man auch Punkte, die nicht zu (1,1) äquivalent sind.

Damit ein Punkt $(x,y)$ zu (1,1) äquivalent ist, muss es es eine positive reelle Zahl $a$ geben so, dass $(ax, ay)=(1,1)$.

Der Punkt $(-1,-1)$ liegt auch auf der Ursprungsgeraden, also der Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x$.
Es gibt aber keine positive(!) Zahl so, dass $(-a, -a)=(1,1)$, wobei ich $x=y=-1$ gesetzt habe, da wir ja gerade den Punkt $(-1,-1)$ betrachten.

Also sind (-1,-1) und (1,1) nicht äquivalent bezüglich der gegebenen Äquivalenzrelation.
Vor allem liegen sie in verschiedenen Äquivalenzklassen.
Denn wie du vielleicht weißt, sind Äquivalenzklassen entweder gleich, oder disjunkt.


Welche Punkte wären zu $(-2, \tfrac12)$ äquivalent?
Welche Punkte wären zu $(0,0)$ äquivalent.


Die x-Koordinaten-Achse entspricht dann dem ersten Tupel oder?

Nein. Vielleicht kommst du auch nur mit den Begriffen gerade durcheinander?
Es ist so wie immer. Das Koordinatensystem beschreibt, wie du es aus der Schule kennst den $\mathbb{R}^2$. Du nimmst nun einen Punkt/Tupel/Paar $(x_1, x_2)\in\mathbb{R}^2$. $x_1$ wäre dabei die x-Koordinate und $x_2$ die y-Koordinate.
Der Punkt $(1,1)$ wird dann ganz normal im Koordinatensystem eingezeichnet.


Muss ich immer die gleichen Zahlenwerte ins erste Tupel eintragen?

Das kommt darauf an.
Wenn du herausfinden möchtest, welche Paare zu einem gegebenen Paar $(x_1, x_2)$ äquivalent sind, dann schon.


Wenn ich jetzt für x1,y1 eins einsetze, dann können für das erste Tupel doch alle möglichen Werte x1=y1 rauskommen

Nein. Es sind nicht alle Punkte (x_1, y_1) zu (1,1) äquivalent wenn $x_1=y_1$ gilt.
Ich habe oben erklärt warum.


da das erste Tupel doch ist (a*x1,b*y1). Im zweiten Tupel müssen doch folglich die gleichen Zahlenpaare stehen, also auch a*1,b*1 oder?

Ich verstehe nicht ganz, was du meinst.
Insbesondere warum du hier noch ein $b$ ins Spiel bringst.
\(\endgroup\)


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