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Strukturen und Algebra » Gruppen » Gruppenhomomorphismus zwischen symmetrischer Gruppe S_6 und Z_6
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Universität/Hochschule Gruppenhomomorphismus zwischen symmetrischer Gruppe S_6 und Z_6
Frege23
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-12


Hallo miteinander!



Zuallererst:

Kann mir jemand erklären, was die Notation mit eckigen Klammern bedeutet? Wir rätseln schon eine Weile rum, weil wir in unseren Aufzeichnungen nichts dergleichen sehen.

Alles Gute!



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-12


Hallo,

die Notation $[a]$ bedeutet normalerweise die Äquivalenzklasse, die den Vertreter $a$ enthält.


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Gruppen' von ligning]


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⊗ ⊗ ⊗



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Frege23
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-12


Danke erst einmal. Ich glaube, wir müssen noch weiter ausholen.

Was bedeutet denn \(\sigma (6)\)?



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-12


Normalerweise bedeutet $\pi(n)$, welches Element nach der Permutation an Position $n$ steht.


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Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-11-12


Permutationen sind ja einfach gewisse Abbildungen, also sollte eigentlich klar sein, was $\sigma(6)$ bedeutet.



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Frege23
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-12


Auch Dir gilt Dank, Einfaeltiger.

Ich fasse mal zusammen:

1) Wir haben eine Funktion, die aus der symmetrischen Gruppe S6 eine Funktion rauspickt und sie einer Äquivalenzklasse zuordnet (wobei ich nicht verstehe, wie diese Äquivalenzklasse in Z6 enthalten sein, wo doch Z6 nur die Elemente 0,1,2,3,4,5 enthält).


2) Nehmen wir einmal an, dass \(\sigma = id\). Dann ist \(\sigma (6) = 6\), weil id 6 auf 6 abbildet.

3) Liege ich richtig mit der Vermutung, dass \([\sigma(6)]\) all diejenigen Permutationen beinhaltet, die an sechster Stelle gleich sind? Es gibt dann 6 Äquivalenzklassen und jede hat 5! = 120 Elemente.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-11-12


1. Was ist denn eure Definition von $\IZ_6$?
2. Ja.
3. Nein, bitte nochmal nachdenken. Von welcher Äquivalenzrelation ist denn hier überhaupt die ganze Zeit die Rede? Das führt auch wieder zu der Frage unter 1. zurück.



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Frege23
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-12


Zu 1) Sorry, aber $\IZ_6$ sind natürlich die Restklassen modulo 6, also [0], [1], [2], [3], [4], [5]. Die Funktion bildet also Permutationen auf Restklassen ab.

3) Ich versuch es mal zu formulieren:

\([\sigma(6)]\) unter \(\varphi\) bezeichnet also diejenige Restklasse $[y]$, die mit dem Funktionswert  \(\sigma(6) =y\) einer Permutation \(\sigma\) übereinstimmt.

Beispiele:

Für \(\sigma = id: [\sigma(6)] = [0]\),


für \(\sigma = (126): [\sigma(6)] = [1]\).



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-11-12


Jetzt ist es richtig.



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Frege23
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-12


Dann möchte ich lösen:

Die Funktion $\varphi$ ist kein Homomorphismus. Gegenbeispiel:




\(\varphi ((234) \circ (256)) = [3] \neq [2] = [0] + [2] = \varphi ((234)) + \varphi ((256))\)

Ist das richtig?

Ich bedanke mich für die nette Hilfe!

Alles Gute!



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-11-12


Ja, das ist richtig.



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